可将阶微分方程

1、一阶微分方程小结一阶微分方程小结1 1、可分离变量方程、可分离变量方程3 3、全微分方程、全微分方程 ? ?2 2、一阶线性方程、一阶线性方程)(:)()(CdxexQeydxxPdxxP 通解通解).()(ygxfdxdy ).()(xQyxPdxdy 齐次方程齐次方程).(xyfdxdy 解法解法yux令化为可分离变量型化为可分离变量型第五节第五节 可降阶的高阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法解法解法 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解.xey 如如特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型代入原方程代入原方程, , 得得)

2、.(,(xPxfP ),(xPy 令令解法解法,Py 一、可降阶型一、可降阶型.2xexyyx 求解求解例例1 1解解,),(PyxPy 令令代入方程，为代入方程，为 111CdxexeePdxxxdxxxexPPx 2 1Cexx 1:Cexyx 即即22121CxCexeyxx 积分得通解积分得通解xxePxP 1.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 5

3、4233251dxdxdxdxdy 例例2,xdxPdP ),(yPy 令令特点特点.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, , 得得( , ).dPPf y Pdy( ),dydPyPyPdxdy),(, )(yPdxdyyP 又又解出解出.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dPyPdy 则代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得).(12CyeCyxC 含含原方程通解为原方程通解为,1yCdxdy 例例 3C , 0 yP得得由由),(yPy 令令.1)1(

4、)1(122 yyyyy求解求解解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 ,122PdydPPy ，分离变量得分离变量得ydyPPdP 212,lnln)1ln(12CyP 积积分分得得例例 4，dxydy 1212 ydxdy即即，积分得积分得212Cxy ，0, 1)1(2 Cy.12xy 解为解为,112yCP ,11 yCP12, 1)1()1( yPyy)()1()(xfyn ),()2(yxfy ),()3(yyfy ),(yPy 令令 可可降降阶阶型型,dydpPy ),(xPy 令令,Py )()()(:22xfyxQdxdyxPdxyd 一、定义一、

5、定义二阶线性方程二阶线性方程时，时，当当0)( xf二阶二阶齐次线性齐次线性时，时，当当0)( xf二阶二阶非齐次线性非齐次线性n阶线性阶线性).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 第六节高阶线性微分方程二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构1.1.二阶齐次线性方程二阶齐次线性方程定理定理 1 1 如果如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个解的两个解, , 那么那么2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常数）是常数） )1(0)()( yxQyxPy是通解吗？是通解吗？2211yCyCy 例如例如, 0 y

6、y,cos2,cos21xyxy 定定义义： 设设nyyy,21为为定定义义在在区区间间 I 内内的的 n 个个函函数数 如如果果存存在在n个个不不全全为为零零的的常常数数，使使得得 都都有有 02211 nnykykyk， 则则称称这这 n 个个函函数数在在 I 内内线线性性相相关关 否否则则称称线线性性无无关关 如如xx22sin,cos1，线性相关线性相关)0sincos1(22 xx) 0(022211 kykyk若若2112kkyy , Ix 2112kkyy 定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线性无的两个线性无关的特解关的特解, ,

7、那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . 的通解的通解是是如证如证0sincos:21 yyxCxCy,sin,cos21是解是解易证易证证明证明xyxy 线性无关线性无关与与故故常数常数且且2112,tanyyxyy 常数，常数， )()(21xyxy结论结论: .sincos212211为通解为通解xCxCyCyCy )(1xy与与)(2xy在在 I 上上线线性性无无关关 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :定理定理 3 3 设设*y是方程（是方程（2 2）的一个特解）的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应齐次方程对

8、应齐次方程(1)(1)的通解的通解, ,那么那么*yYy 是是 (2) (2)的通解的通解. . )1(0)()( yxQyxPy)2()()()(xfyxQyxPy 12:cossinyCxCxxyyx如证是的通解定理定理 4 4 设设)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的叠加原理解的叠加原理xexyxQyxPy sin)()(如如常数常数, 则则;,321yyy设线性无关函数设线性无关

9、函数都是都是)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意1122123(1).C yC yCCy例例3.提示提示:3231,yyyy 都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 是该方程的通解是该方程的通解.三、恰当导数方程三、恰当导数方程.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解将方程写成将方程写成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 注意注意: :这一段技巧性较高这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.例例.02的通解的通解求方程求