固体物理习题选讲

1、固体物理习题选讲2010年12月22日第一章 晶体结构 1.3 二维布拉维点阵只有二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有答：二维布拉维点阵只有5种类型：正方、矩形、六角、种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：有心矩形和斜方。分别如图所示： 正方a=bab=90六方a=bab=120矩形abab=90带心矩形a=bab=90平行四边形abab90 3.5设有一维晶体，其原子的质量均为设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最，而最近邻原子间的力常数交替地等于近邻原子间的力常数交替地等于 和和10设有设有一维晶体，其原子的质量均为一

2、维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原，而最近邻原子间的力常数交替地等于和子间的力常数交替地等于和10， 且最近邻的距且最近邻的距离为离为a/2，试画出色散关系曲线，并给出，试画出色散关系曲线，并给出q=0和和 处的。处的。解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，处的环境不同， aq/2a3.5、质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的 力常数交错等于力常数交错等于 和和 ，并且最近邻间距，并且最近邻间距 1) 求出色散关系和分析计算求出色散关系和分析计算 处格波的频率值处格波的频率值

3、2) 大致画出色散关系图大致画出色散关系图 1c210c0,qqa解解 绿色绿色标记的原子位于标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 红色标记原子位于红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 第第2n个原子和第个原子和第2n1个原子的运动方程个原子的运动方程212222112121122112222()()nnnnnnnnmm 1(2 )221(21)221itnaqnitnaqnAeBe 体系体系N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 方程的解方程的解令令221122/,/mm11222222212121122222221212()()0()()0i aqi aqi

4、 aqi aqAeeBeeAB11222222212121122222221212(),()(),()0i aqi aqi aqi aqeeee1111222222222222121212()()0()i aqi aqi aqi aqeeee A、B有非零的解，系数行列式满足有非零的解，系数行列式满足1111222222222222121212()()0()i aqi aqi aqi aqeeee 1c210c2222012010,10ccmm22244000(11)20(10c01)osaq 220(1120cos101)qa 两种色散关系两种色散关系 220(1120cos101)qa0q

5、 220(11121)0220qa220(1181)00202 色散关系图色散关系图 两种色散关系两种色散关系 3.8 设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率振动频率 其中其中M是原子质量。是原子质量。 解解 当质量为当质量为M的原子以频率及等于原子间距的的原子以频率及等于原子间距的10的振幅振动时，其振动能为：的振幅振动时，其振动能为： 在熔点时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即在熔点时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为

6、一个一维原子的平均能量为 2/1502MTkamB2222102121aMAMEmBTk第一章 晶体结构 1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大大体积体积与与总体积总体积之比为（之比为（1）简立方：）简立方： （2）体心立方：）体心立方： （3）面心立方：）面心立方： （4）六方密堆积：）六方密堆积： （5）金刚石：）金刚石： 答：令答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的是位于晶胞内的球数，球数，Nf是在晶胞面上的球数，是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，是在晶胞棱上的球数，

7、Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：是在晶胞角隅上的球数。于是有： 6382626316111248ifecZNNNN第一章 晶体结构 边长为边长为a的立方晶胞中堆积比率为：的立方晶胞中堆积比率为：假设硬球的半径都为假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为，占据的最大面积与总体积之比为，依据题意依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：那么：= = （2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为度为4r，则其边长为，则其边长为 那么：那么： = = 334

8、*3rFZa334/3(2 )rr643r332 (4/3)(4/3 )rr38 则有：则有： mBTkaM2210212/1502MTkamB 3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容按德拜近似，试证明高温时晶格热容 2011 32TNkCDBv43209( /)1DxTvBDxe x dxCNkT TeDTx证明：由书可知证明：由书可知在高温时，在高温时，则在整个积分范围内，则在整个积分范围内为小量，因此可将上式中被积函数化简为为小量，因此可将上式中被积函数化简为 12112124122222342/2/424xxxxxxxeexexexxxx将上式代入将上式代入vC的表达式，得的表达式，

9、得 353119( /)360DDvBDCNkT TTT323119( /)1320DDBDNkT TTT213120DBNkT 5.10若热电子发射电子垂直金属表面的平均动若热电子发射电子垂直金属表面的平均动能是能是kBT，则平行于表面的平均能量也是，则平行于表面的平均能量也是kBT。解：由波尔兹曼分布率知，能量在解：由波尔兹曼分布率知，能量在EE+dE范范围内的电子的数量为围内的电子的数量为:dvveTkmNdNTkmv/BB22/23224020223)()(mTkdvvfvNdvvNfvvB电子的均方电子的均方平均速度平均速度 TkmvB23212电子的平均动能电子的平均动能 电子在垂

10、直于表面方向的平均能量为电子在垂直于表面方向的平均能量为: TkB*同理平行于表面的平均能量也是同理平行于表面的平均能量也是kBT。 6.10 金属铋的导带底部有效质量倒数张量为金属铋的导带底部有效质量倒数张量为 求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近求有效质量张量的各分量，并确定此能带底部附近等能面的性质等能面的性质zzyzyzyyxxaaaaam00001第一章 晶体结构解：解： 的逆矩阵即为的逆矩阵即为 矩阵，用矩阵矩阵，用矩阵计算方法，可求得计算方法，可求得: 1mmxxxxam12yzzzyyzzyyaaaam2yzzzyyyyzzaaaam2yzzzyyyzzyyzaaaam

11、m其余为其余为0 为确定等能面，在作为为确定等能面，在作为k矢量原点的能带底部矢量原点的能带底部附近泰勒展开（有用的仅二阶项），并假定能附近泰勒展开（有用的仅二阶项），并假定能带底带底E0，在能带底一阶导数为，在能带底一阶导数为0，即，即: 0ikEijijji2a*mkkE12)(1 2222122xxxxyyyyzzzyzyzE ka ka ka ka k k故有故有 显然等能面显然等能面 E kc是一个椭球面是一个椭球面解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级态原子能级相对应的能带函数表示为：相对应的能带函数表示为：NearestRRk i

12、ssssseRJJkE)()(017、 一维单原子链，原子间距一维单原子链，原子间距a，总长度为，总长度为LNa1) 用紧束缚近似方法求出与原子用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数态能级相对应的能带函数2) 求出其能带密度函数求出其能带密度函数 的表达式的表达式3) 如每个原子如每个原子s态中只有一个电子，计算态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级时的费密能级 和和 处的能态密度处的能态密度0FE0FE)(EN对于一维情形对于一维情形, 任意选取一个格点为原点任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点，坐标为：有两个最近邻的格点，坐标为：a和和aNearestRRk isss

13、sseRJJkE)()(0)()(10ikaikasseeJJkEkaJJkEsscos2)(10dkkaaJkdEs)sin2()(1kaaJkdEdkssin2)(1能带密度函数能带密度函数的计算的计算2210(1/4( ) )( )sssdkaJE kJdE k42NadZdk22102( )4( )sssNdEkJEkJ102)(cosJJkEkass210)2)(1sinJJkEkasskaJJkEsscos2)(101(1/2sin)( )sdkaJka dEk对于一维格子，波矢为对于一维格子，波矢为 具有相同的能量具有相同的能量此外考虑到电子自旋有此外考虑到电子自旋有2种取向，在

14、种取向，在dk区间的状态数区间的状态数k andk22102( )( )4( )sssdZNN EdEkJEkJ能带密度能带密度T=0K的费密能级计算的费密能级计算总的电子数总的电子数00( )( )FkEsENN E dE k0022102( )4( )FkEssEsNNdEkJEkJ0010102cos2ksskEJJkaJJ其中其中001112arcsinarcsin222FsEJJJJ00012arcsin2FkEssEEJJ00FsEJT=0K的费密能级的费密能级1( )NN EJT=0K费密能级处的能态密度费密能级处的能态密度202102( )4()FsNN EJEJ由于能带的交叠

15、，能带由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带中的部分电子转移到能带2中，而中，而在能带在能带1中形成空穴，讨论中形成空穴，讨论 时的费密能级时的费密能级其中其中 为能带为能带1的带顶，的带顶， 为能带为能带2的带底的带底18、 半金属交叠的能带半金属交叠的能带22111122220022( )(0),0.182( )()() ,0.062kE kEmmmE kE kkkmmm1(0)E20()E k120(0)()0.1EE keV0TK解：半金属的能带解：半金属的能带1和能带和能带2221112222002( )(0)2( )()()2kE kEmE kE kkkm能带能带1的能态密度

16、的能态密度13( )2(2 )kVdSN EE21kkEm1112(0)( )/km EE k1112(0)( )/kEEE km2131114( )2(2 )2(0)( )/VkN EEE km3121112222( )()(0)( )(2 )VmN EEE k13( )2(2 )kVdSN EE 同理能带同理能带2的能态密度的能态密度32222202222( )()( )()(2 )VmNEE kE k 如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带 由于能带交叠，能带由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带中的电子填充到能带2中，满足中，满足01(0)02

17、()012( )( )FFkEEEEN E dENE dE1(0)0312112222()(0)( )(2 )FEEVmEE k dE02()03222202222()( )()(2 )FkEEVmE kE k dE01(0)02()03/23/23/23/21112220(0)( )( )()FFkEEEEmEE kmE kE k0011220(0)()FFm EEm EE k01122012(0)()Fm Em E kEmm120.18,0.06mm mm120(0)()0.1EE keV020()0.075FEE keV19、 设有二维正方晶格，晶体势场设有二维正方晶格，晶体势场)2co

18、s()2cos(4),(yaxaUyxU用近自由电子近似的微扰论用近自由电子近似的微扰论近似求出在布里渊顶角近似求出在布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的能隙解：晶体布里渊顶角解：晶体布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的能隙112VEg近自由电子近似中，势能函数的第近自由电子近似中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数aGidUeanVn02)(1)(nRryxdddnGkk )(),(2222yaiyaixaixaieeeeUyxU 晶体势场晶体势场2211,anyanxnRr)(),(2211222221aiaiaiaieeeeUU)2cos()2cos(4),(yaxaUyxU

19、aGidUeanVn02)(1)(nxykGkkkaa 22nxyGkkaa 布里渊区布里渊区的顶角的顶角21bb代入代入yxaaaabbia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)11()(0 02222212121)(1xykkkaayxaaia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)22(0 0222221)(1a ayxaiaiddeeUaVyx0 04421)1)(1 (1UV1UEg21布里渊顶角布里渊顶角 处的能隙处的能隙),(aa解：将解：将 改写为改写为)(2222yxkkmE2222mEkkyx 给定能量，该方程在波矢给定能量，该方程在波矢k空间

20、表示的是一个圆空间表示的是一个圆22)2(2Lk空间，单位面积内的状态数空间，单位面积内的状态数2k20、限制在边长为、限制在边长为L的正方形中的的正方形中的N个电子个电子)(2222yxkkmE1）求能态密度）求能态密度2）求二维系统在绝对零度时的费米能量）求二维系统在绝对零度时的费米能量电子的能量电子的能量222)2(2kLZEmLZ2222mEk 半径半径 的圆内的状态数的圆内的状态数dEmLdZ22能态密度能态密度22)(mLEN能量能量 之间的状态数之间的状态数dEEE能态密度能态密度22)(mLEN能量能量 电子的数目电子的数目dEEEdEEfENdN)()(dEEfmLdN)(2

21、20220220FEEmLdEmLNF绝对零度时的费米能量绝对零度时的费米能量220mLNEF21、设一维晶体的电子能带可以写成、设一维晶体的电子能带可以写成)2cos81cos87()(22kakamakE式中式中a为晶格常数，计算为晶格常数，计算1) 能带的宽度能带的宽度2) 电子在波矢电子在波矢k的状态时的速度的状态时的速度3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量能带底部和能带顶部电子的有效质量)2cos81cos87()(22kakamakE解：解：1) 能带的宽度的计算能带的宽度的计算能带底部能带底部0k0)0(Eak222)(maaE能带顶部能带顶部)0()(EaEE能带宽度能带宽度

22、222ma电子的速度电子的速度dkkdEkv)(1)()2sin41(sin)(kakamakv)2cos81cos87()(22kakamakE2) 电子在波矢电子在波矢k的状态时的速度的状态时的速度2*22/Emkcos(1/2)cos2mkaka*2mm*23mm )2cos81cos87()(22kakamakE电子的有效质量电子的有效质量有效质量有效质量有效质量有效质量3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量能带底部和能带顶部电子的有效质量能带底部能带底部0kak能带顶部能带顶部*123222123m m mmmmm22、 设电子等能面为椭球设电子等能面为椭球323222221212222)(mkmkmkkE,*qBm外加磁场外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为相对于椭球主轴方向余弦为1) 写出电子的准经典运动方程写出电子的准经典运动方程2) 证明电子绕磁场回转频率为证明电子绕磁场回转频率为其中其中恒定磁场中电子运动的基本方程恒定磁场中电子运动的基本方程( )dkqv kBdt )(1)(kEkvk323222221212222)(mkm