高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)

1、高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27n.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为4向12、求长方体的外接球的有关问题例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上

2、的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为J14,故球的表面积为14n.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为A. 16二B 20nC 24nD 32 n1解析：长、宽、高分别为2,2,43.求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同91I x - - ,2h = 3.一个球面上，且该六棱柱的体积为8,底面周长为3,则这个球的体积为6x=3,9巾326xh,解设正六棱柱的底面边长为X,高为h，则有J4rd3，正六棱柱的底面圆的半径2,球心到底面的

3、距离2.，外接球的半径R=r2d2=122.2小结本题是运用公式R=r+d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为J3,则其外接球的表面积是解把这个三棱锥可以补成一个棱长为由的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.则有（2*2=（而十（而十（而=9R2924 .故表面积S = 4江R = 9江.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直222径.设其外接球的半径为R,则有2R=Va+b+c.出现“

4、墙角”结构利用补形知识，联系长方体。例6.一个四面体的所有棱长都为J2,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A. 3 二B. 4二D. 6 二5解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2,四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为J3,从而外接球的直径也为3例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=600,E为AB的中点，将MDE与ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱奉|P-DCE的外接球的体积为（C4 .3nA. 27,6JTB. 2C. 6n8,6nD. 24解析：（

5、如图3）AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1即三棱锥P-DCE为正四面体,至此，这与例6就完全相同了DA _L 平面 ABC例8（2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D,ABIBC,DA=AB=BC=®则球O的体积等于解析：DA=AB=BC=J3,则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，禾IJ9一31用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于2.（如图4）2、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB_L平面BCD,BC_LDC,若AB=6,AC=2而,AD=8,则球的体积是解析：构造下面的长方体，于是AD为球的直径（如图5）D三.寻求轴

6、截面圆半径法例4正四棱锥S -ABCD的底面边长和各侧棱长都为 短，点、S、在同一球面上，则此球的体积为解球心O必在SO1所在的直线上.4Ase的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在 AASC 中，由 SA=SC = V5, AC =2,得3 2 2 AC 2 .4 二球=.故3 .AASC是以AC为斜边的RtAAC12是外接圆的半径，也是外接球的半径A B、C、D 都五.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3 ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B -AC -D则四面体ABCD的外接球的体积为（C ）125125125125nkJinA.

7、 12B. 9C. 6D. 3解 点0到四面体的四个顶点 A、B、C、D的距离相等，即点0为5、,4一3125 R = OA = - V 球=-R R = 江四面体的外接球的球心，2 .故36P【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球。的球面上，AB1BC且尸，pB=5PC=百，4c=10,求球。的体积。解：+回,=10，所以知=+所以户W户CcR=-AC=5取斜边的中点°,即为该四面体的外接球的球心2所以该外接球的体积为500开1.（陕西理？6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A.乎B.SC.1答案B1的球面上，其中底面的三个顶点.-3122.

8、直三柱ABC-ABiCi的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,NBAC=120©,则此球的表面积等于解:在AABC中AB=AC=2,/BAC=120、可得BC=2j3,由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O',球心为O,在RTAOBO'中，易得球半径R=J5,2故此球的表面积为4二R=20二.3 .正三棱柱ABC-ABG内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为冗，则正三棱柱的体积为.答案84 .表面积为2J3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为3答案A2Ji32.2ji398M等=2向知,a =1,则此球的直径为5 .已知

9、正方体外接球的体积是V2,故选32元，3A。那么正方体的棱长等于（A.2 22,3B.34,2C.34,3D.3答案 D6 . （ 2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为C. 1 ： 3 . 3D. 1 ： 9【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由答案C7. （2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体积为答案38. （2007天津理？12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为答案14冗2 cm的球

10、面上。如果正四9. （2007全国H理？15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为cm2.10. （2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF ,则此正六棱锥的侧面积是P。I*AFB答案 6,711. （辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形（正四面体的截面）的面积是 答案212. （2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）A.C.3 二16 二B. 2nD.以上都不对213.（吉林省吉林市2008届上期末）设正方体的棱长为则它的外接球的表面积为（D.A.8nB.2兀C.4兀3答案C1.（20