应用泛函分析教学导案

1、第六节 压缩映象原理及其应用本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach 压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。随着现代电子计算机技术的开展， 我们在解方程 包括常微分方程、 偏微分 方程、积分方程、差分方程、代数方程等的过程中，大量使用的是逐次逼近的 迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出 了这个方程 当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、 解的稳定性和收敛速度等问 题。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否 那么就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换映射、映照的不 动点。例如求方程 fx=

2、0 的根，我们可令 gx=x-fx ，那么求 fx=0 的根就变 成求 gx 的不动点，即求 , 使 . 而在通常求映射的不动点的方法中， 最简单的就是下面我们所讲的 -Banach 压缩映象定理。 定义压缩映象设 T 是度量空间 X 到 X 中的映照，如果 对 都有是常数那么称T是X上的一个压缩映照。从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了不 超过 dx,y 的 倍定理 1 Banach 压缩映照原理 1922年 Banach 1892-1945 波兰数学家设X,d是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，那么丅有唯一的 不动点。即 的 使 证：任取 令此即解方程的

3、逐次迭代法先证 是Cauchy点列 先考虑相邻两点的距离再考虑任意两点的距离当n>m时是Cauchy点列是完备度量空间 ,使下证 x 为不动点再证不动点唯一假设还有 , 使那么因 必须注：定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下(a)假设X不完备,那么定理不成立例如 ： 令 X=(0,1), 用欧氏距离 ,那么但不动点(b) 定理不成立 例如：令X=R用欧氏距离那么但显然 T 无不动点。假设将空间 X 条件加强为紧距空间，那么压缩因子条件可放宽为 1，即可改为限于我们的学时，我们只介绍一下 Banach压缩映象原理的简单应用。定理 2(隐函数存在定理)设 在带状区域 上处处连续，处

4、处有关于y的偏导数，且如果存在常数 m,M适合那么方程 f在闭区间 上有唯一的连续函数, 使。证：(在中考虑映照)，假设其为压缩映照，那么有不动点在完备度量空间中作映照, 显然 , 对由连续函数的运算性质有。是到自身的一个映照下证是压缩的 .即证分中值定理 , 存在, 使, 任取由微令 那么 , 故取最大值映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理在 上有唯一的不动点 使显然这个不动点适合注： 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照这是难点，然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Ba nach压缩映照定理解题的一般方法。 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在

5、定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数下面我们介绍 Banach 不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应 用 -Picard 定理 .定理 3：Picard 定理 Cauchy-Peano 微分方程解的存在唯一性定理Picard 法国人 1856 1941 Pea no 意大利人 1858-1932设 在 矩 形 上 连 续 , 设又 在 R 上关于 x 満足 Lipschitz 德国人1832-1903 条 件 , 即 存 在 常 数 k 使 对有, 那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解 . 其中证：设表示在区间上的连续函数全体。对成完备度量空

6、间。又令 表示中满足条件的连续函数全体所成的子空间。显然 闭, 因而 也是完 备度量空间 .令如果 当时,而是R上的二元连续函数，映照中积分有意义。又对一切故 T 是 到 的一个映照下证是压缩的。由 Lipschitz 条件 , 对 中的任意两点有令 , 那么由 有那么故 T 是压缩的由 Banach 压缩映象定理 ,T 在 中有唯一的不动点 .即使即且即 是满足初值条件的连续解。 再证唯一性。如果 也是满足 的连续解 .那么 因而而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.故有唯一解。注：题设条件中 Lipschitz 条件的要求是十分强的， 它保证了解的唯一性。 实际 上満足 Lipscht

7、z 条件即为一致收敛。 因而可在积分号下求导， 如果把解的 要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程那么题设条件可大大放宽： 只要 有界, 即可利 用 Lebesgue 控制收敛定理得到广义解。注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的 方法 - 逐 次逼近法 ：即 只要任取令那么解.且在Banach不动点定理的证明中,有此式给出了用 逼近解 的误差估计式补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函 分析中一个十分活泼的重要分支，下面我们简单介绍Brouwer不动

8、点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。一、Brouwer不动点定理及其应用：一 Brouwer不动点定理Brouwer:荷兰人 1881-1966定义凸集：X为一集，假设那么称A为X的凸子集。定理1 Brouwer不动点定理：设为的有界闭凸集，连续,那么使证：1、假设证明如下：不妨设作辅助函数显然在上连续从而变成证明使即可显然：否那么那么0为f之不动点;否那么那么1为f之不动点：证毕由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得使证毕。2、 假设，其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张

9、石生?不动点定理及其应用?，或一般常微分方程教材的附录。3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱。 下面我们讨论Brouwer不动点定理的应用。二证明代数根本定理：代数根本定理：复系数一元n次方程至少有一个复根证：令作辅助函数考虑闭圆盘：显然c为有界闭凸集，且 连续只要考虑z=1连续即可，而这是显然的。下证 将c映入C：当 时将c映入c. 由Brouwer不动点定理使证明Perrou定理:证毕Perrou 定理:矩阵即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。证：设标准单纯形，那么作映照下面先证将显然为连续映照.映入注意到由Brouwer不动点定理令那么有下证 的每

10、个分量严挌大于零.由的第i个分量方程为正矩阵一定存在正特征值和特征向量。四Rother证明定理：Brouwer定理条件可以减弱，作为Brouwer不动点定理的推广，下面我们证 明Rother定理。Rother 定理：为单位球， 在上连续，且当时，使证：作辅助函数那么连续,且作，那么F在上连续,且将映入由Brouwer不动点定理,F有不动点.,使得下证此假设假设为之不动点.先用反证法证明假设，那么矛盾,从而故f有不动点证毕Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈。 对此有兴趣的同学可参阅张石生?不动点理论及其应用?。我们可以进一步将Brouwer不动点定理推广到 无穷维空间一这就是Schauder不动点定理。二、Schauder不动点定理：Sc