概率论课件：1-4事件的独立性

1、1.4 1.4 事件的独立性事件的独立性事件的相互独立性事件的相互独立性重要定理重要定理例题讲解例题讲解小结小结 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发发生的概率生的概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独

2、立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制约的制约.事件事件A、B独立独立: :P(A|B)=P(A)若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立.两事件独立的定义两事件独立的定义例例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记张，记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件说明事件

3、A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解：解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意根据问题的实际意义去判断两事件是否独立义去判断两事件是否独立. 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的的概率，故认为概率，故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生

4、与否并不影响另一事件发生（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）的概率） 一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立独立. 因为第二次抽取的结果受到因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响第一次抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且

5、P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0, 则则A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即 问：能否在样本空间问：能否在样本空间中找两个事件中找两个事件,它们它们既相互独立又互斥既相互独立又互斥?这两个事件就是这两个事件就是 和和P( ) =P( )P()=0 与与独立且互斥独立且互斥 不难发现，不难发现， 与任何事件都独立与任何事件都独立.设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中

6、，正确的是：下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.（3）三事件两两相互独立的概念）三事件两两相互独立的概念.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互

7、独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立（4）三事件相互独立的概念）三事件相互独立的概念.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设定义定义CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 例例 一个均匀的正四面体，一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色，其第一面染成红色，第二面染成白色第二面染成白

8、色 ， 第三面染成黑色，而第四面同第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色. .现以现以 A ， B，C 分别分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立? ?解解由于在四面体中红、由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，白、黑分别出现两面， 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知,41)()()( ACPBCPABP伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例故有故有因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(C

9、PAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP ),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为相互独立的事件为相互独立的事件则称则称nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立n个事件两两相互独立个事件两两相互独立具有等式具有等式任意任意如果对于任意如果对于任意个事件个事件是是设设,1),1(,2121niiinkknAAAkn 推广推广证明证明.独独立立与与先先证证BA,)( BAABBAABA且且因为因为)()()(BAPABPAP ).()()( ABPAPBAP

10、.,也相互独立也相互独立与与与与与与则下列各对事件则下列各对事件相互独立相互独立若若BABABABA)()()()(BPAPAPBAP )(1)(BPAP ).()(BPAP . 相互独立相互独立与与从而从而BA因为因为 A、B 相互独立相互独立, 所以有所以有),()()(BPAPABP 其余情况同理可得其余情况同理可得.定理定理 例例 三个人独立地向同一目标射击，命中率分三个人独立地向同一目标射击，命中率分别为别为0.45、0.55、0.60, 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 p解：令解：令Ai=第第i 人命中目标人命中目标，i =1,2,3. 由加法定理可得由加法定理可得 则有则有

11、 A1、A2、A3相互独立相互独立.P = P(A1A2A3 )= P(A1) P(A2 ) P(A3 ) P(A1A2) P(A1A3 ) P(A2 A3 ) P(A1A2A3 )= 0.45 0.55 0.60 0.45 0.55 0.45 0.60 0.60 0.55 0.40.550.60=0.901“三个臭皮匠，顶个诸葛亮三个臭皮匠，顶个诸葛亮” 例例 某人做一次试验获得成功的概率仅为某人做一次试验获得成功的概率仅为0.2，他持之以恒，不断重复试验，求他做他持之以恒，不断重复试验，求他做10次试验次试验至少成功一次的概率？做至少成功一次的概率？做20次又怎样呢？次又怎样呢？ 解：设他

12、做解：设他做k次试验至少成功一次的概率为次试验至少成功一次的概率为pk， 则则 p10 = P( A1 A2 A10 ) = 1 ( 1 0.2 )10 0.8926 = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A10 ) Aj=第第j次试验成功次试验成功，j=1，2，“有志者事竟成有志者事竟成” p20 = P( A1 A2 A20 ) = 1 ( 1 0.2 )20 0.9885 = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A20 ) 一般，将试验一般，将试验E 重复进行重复进行k次，每次试验中次，每次试验中A 出现的概率出现的概率p（0 p 1）则）则 A 至少出现一次的至少出现一次

13、的概率为概率为kp)1(1 1)1(1 limlim kkkkpp有有 例例 (可靠性问题可靠性问题) 设有设有6个元件，每个元件在单个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为位时间内能正常工作的概率均为0.9，且各元件能，且各元件能否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作的概率。的概率。 1 2 4 3 6 5 解解 设设 Ak=第第k个元件能正常工作个元件能正常工作，k=1,26 系统的可靠性设计系统的可靠性设计 A =整个系统能正常工作整个系统能正常工作 =(A1 A2)(A3 A4)(A5 A6) A1 ，A2，A6相互独立，可以证明相互独立，可以证明A1 A2，A3 A4，A5 A6也相互独立也相互独立.970299. 0) 9 . 01 (1 32 )()(1)()(1)()(1 654321 APAPAPAPAPAP)(1)(1)(1 654321