第六章生产函数与规模报酬

1、第六章第六章 生产函数与规模报酬生产函数与规模报酬1 1. .若干基本概念2 2. .短期生产函数与生产决策3 3. .长期生产函数与要素组合比例4 4. .生产扩张与规模报酬5 5. .齐次生产函数与范围经济本章要点本章要点l生产技术是指生产的投入、要素与产出量之间生产技术是指生产的投入、要素与产出量之间的关系。的关系。l生产的投入要素又称生产要素。通常，我们将生产的投入要素又称生产要素。通常，我们将生产要素分为三类：劳动、原料与资本品。生产要素分为三类：劳动、原料与资本品。l生产技术约束可以集中地以生产集来描述。生生产技术约束可以集中地以生产集来描述。生产集是企业面临的关于投入品与产出品的

2、各种产集是企业面临的关于投入品与产出品的各种组合的集合。生产集的边界就叫生产函数。组合的集合。生产集的边界就叫生产函数。1. 1.若干基本概念若干基本概念一、生产技术与生产函数一、生产技术与生产函数1.1.生产技术生产技术2.2.生产集生产集l生产集是关于投入品与产出品的各种组合的集生产集是关于投入品与产出品的各种组合的集合。生产集的边界就叫生产函数。合。生产集的边界就叫生产函数。00(,)xyxy0 x0yo 生产集生产集生产集的性质生产集的性质Y 1.1.非非空的空的2.,3.: 04.:,0,5.:,(0,1),6.:,1,7.:,0,8.:,9.,(0,1),(1)nnyY yY yY

3、YyY yyYyY aayYyY aayYyY aayYyY yy yy yyYyY yY aaya yY 闭集:不生产是可能的不可逆性非递增的规模报酬非递减的规模报酬常数规模报酬可加性凸性:3.3.生产函数生产函数 生产函数：一定技术条件下特定的投入组合生产函数：一定技术条件下特定的投入组合有效利用时最大的可性性产出。从而剔除了投有效利用时最大的可性性产出。从而剔除了投入品的使用使产出下降的可能，生产函数曲线入品的使用使产出下降的可能，生产函数曲线不包括产出量下降的线段。不包括产出量下降的线段。( )yf x常见的生产函数常见的生产函数（1 1）固定比例生产函数）固定比例生产函数1212(

4、,)min ,yf x xx x1x2x1qq0qq 短边规则短边规则（2 2）线性生产函数）线性生产函数1212( ,)yf x xxx2x1xo（3 3）柯布）柯布道格拉斯生产函数道格拉斯生产函数1212( ,)yf x xAx x1( )x Lo0yy1yy2yy2()xK11,224.4.生产技术的性质生产技术的性质（1 1）单调性。）单调性。如果在至少一种要素上增加投入，如果在至少一种要素上增加投入，则产出量应不会减少。则产出量应不会减少。“自由处置自由处置”（2 2）凸性。）凸性。若有两种方法生产单位的产出，则这若有两种方法生产单位的产出，则这两种方法的加权平均至少能生产同样多的产

5、量。两种方法的加权平均至少能生产同样多的产量。1xoq11221111(,)2222abab2x1b1a2b2a 等产量线等产量线二、短期和长期二、短期和长期 短期是指在此时间段内，一种或多种生产要素短期是指在此时间段内，一种或多种生产要素是无法变更的，它们的量是固定的这种在一定时是无法变更的，它们的量是固定的这种在一定时间段内不可变更的投入品也称为固定投入品。间段内不可变更的投入品也称为固定投入品。 长期是指在此时间段内所有的投入品都是可以长期是指在此时间段内所有的投入品都是可以变更的。变更的。 注意：短期与长期的划分，要根据不同的行业、注意：短期与长期的划分，要根据不同的行业、不同的企业的

6、具体情况而定。不同的企业的具体情况而定。2. 2.短期生产函数与生产决策短期生产函数与生产决策一、短期生产函数一、短期生产函数( , )( )yf K Lf L二、总产量、平均产量与边际产量的关系二、总产量、平均产量与边际产量的关系1.1.定义定义( )TP Qf LQAPLQdQMPLdL 总产量总产量 平均产量平均产量 边际产量边际产量2.2.产出曲线产出曲线LQABCDBCDLQ( )Qf LMPAP1L2L3.3.边际产量与平均量的关系边际产量与平均量的关系（1 1）C C点以前，点以前，MPAPMPAP。APAP递增，递增，MPMP把把APAP向上拉。向上拉。（2 2）C C点以后，

7、点以后，MPAPMPAPMPAP，APAP递增，因而递增，因而TPTP递增。厂商的可变投入不会停在递增。厂商的可变投入不会停在这一阶段。这一阶段。 第第阶段：阶段：MP0MPL，则，则q=K。非成本最小化。非成本最小化。 若若3LK，则，则q=K。非成本最小化。非成本最小化。 因此，成本最小的投入应是：因此，成本最小的投入应是：3:1:3qLKL K4. 4.生产扩张与规模报酬生产扩张与规模报酬一、生产经济区一、生产经济区脊线脊线L0qoK1q2qAB0A1A2A0B1B2B脊线脊线经济区域经济区域二、产出弹性、生产力弹性与替代弹性二、产出弹性、生产力弹性与替代弹性1.1.产出弹性产出弹性 定

8、义：当技术与投入品价格不变，其他投入不定义：当技术与投入品价格不变，其他投入不变，仅一种投入变动时，产出的相对变动与投入变，仅一种投入变动时，产出的相对变动与投入的相对变动之比。的相对变动之比。LLLKLKQMPQ LQELL QAPLQMPQ KQEKK QAPK2.2.生产力弹性生产力弹性 定义：当技术与投入品价格不变，所有要素都定义：当技术与投入品价格不变，所有要素都按同一比例变动时，产出的相对变动与投入的相按同一比例变动时，产出的相对变动与投入的相对变动之比。对变动之比。/edQdXdQ XEQXdXQ 定理：若产量定理：若产量Q是资本是资本K和劳动和劳动L的函数，则有：的函数，则有：

9、eLKEEE 证明：证明：Q=f(K,L)，要素向量，要素向量X=(L,K)，对，对Q进行进行全微分有：全微分有：ffQQdQdLdKdLdKLKLK K和和L按同一比例增加，即按同一比例增加，即dLdKdxLKx1111KLdQ XQdLQ dKdXdXdXQLQKQXXQ dLQ dKdLdKLQKQLKQ KQ LK QL QEEeLKEEE3.3.替代弹性替代弹性 定义：定义：K/L对对MPL/MPK变化的反映程度。变化的反映程度。LKLLKKLKKdLMPKKdMPLLEKMPMPddLMPMPMPMP 例题：例题： 已知柯布已知柯布道格拉斯生产函数：道格拉斯生产函数：( ,)f L

10、 KAL K 证明：证明：(1)替代弹性恒等于替代弹性恒等于1,(2)L KKMRTSL(3)eE11;KLMPAL KMPALK1,1(2)LL KKMPALKKMRTSMPAL KL(1)1KKKddLLLEKKKddLLL(3),LKLKLKMPMPEEAPAP11LKAPALKAPAL K1111LKeALKEALKAL KEAL KE三、规模报酬三、规模报酬 定义：当技术与投入品价格不变，所有要素都定义：当技术与投入品价格不变，所有要素都按同一比例变动时，产出变动的状况。按同一比例变动时，产出变动的状况。1.1.生产函数表示法生产函数表示法( ,),1Qf L Kt(,)( ,)f

11、tL tKtf L K(,)( ,)f tL tKtf L K(,)( ,)f tL tKtf L K规模报酬递增规模报酬递增规模报酬递减规模报酬递减规模报酬不变规模报酬不变 练习：练习： 在下列生产函数中，哪些属于规模报酬递增、不在下列生产函数中，哪些属于规模报酬递增、不变和递减？变和递减？LKLK F2),() 1 (LKLK F2),() 2 (),(),()3(LKFbbLbK F2.2.生产力弹性表示法生产力弹性表示法/edQdXdQ XEQXdXQ,dXdQXQ要素变动率产出变动率1,;1,;1,eeeEEE即规模报酬递增即规模报酬递减即规模报酬不变.3.3.等产量图表示法等产量图

12、表示法 LR 154321300 490 550 580 600275 450 520 550 570240 380 450 490 520180 300 400 430 450190 200 250 300 340K L 1 2 3 4 5四、要素价格变动：替代效应与产量效应四、要素价格变动：替代效应与产量效应KLOK1L1L2AB CQ=100Q=200E2E1K0L0替代效应：替代效应：BA产量效应：产量效应：CB五、技术进步的测定五、技术进步的测定( )( ,)QA t f L K( ( ),( )d A tA t测定技术进步 实质上是要测定lnln( )ln( ,) (1)1( (

13、)( ,)(2)( )( ,)QA tf L Kd A tdf L KdQQA tf L K( )( ,)( )( ,)( ,)( )( ,)11(3)ffA tdLdKd f L KA t df L KLKf L KA t f L KQQQdLdKQLQK,(3),(2):LKQ LQ KEEL QK Q代入式 重写式得( ( )( )( ( )( )LKLKdQd A tdLdKEEQA tLKd A tdQdLdKEEA tQLK 结论：技术进步率结论：技术进步率=产出增加率产出增加率-劳动增长率劳动增长率劳动的产出弹性劳动的产出弹性-资本增长率资本增长率资本的产出弹性资本的产出弹性。5

14、. 5.齐次生产函数与范围经济齐次生产函数与范围经济一、齐次生产函数与欧拉定理一、齐次生产函数与欧拉定理1212(,)(,)kf tx txt f x x 若生产函数满足下列性质，被称为若生产函数满足下列性质，被称为k次齐次生次齐次生产函数。（其中，产函数。（其中，t为正实数，为正实数，k为常数）为常数）1,1,;1,1,;1,1,tktktk则生产规模报酬递增则生产规模报酬递减则生产规模报酬不变. 上式等式对上式等式对t求导，得：求导，得：11112221212(,)(,)(,)kx f tx txx ftx txktf x x 令令t=1，得到：，得到：112212(,)x fx fkf

15、x x 要素投入量与其边际产量相乘，正好等于要素投入量与其边际产量相乘，正好等于k乘乘产出量。产出量。欧拉定理欧拉定理欧拉定理的应用欧拉定理的应用1.1.齐次幂与产出弹性之间的关系齐次幂与产出弹性之间的关系 对欧拉定理两边除以对欧拉定理两边除以 。并且。并且12(,)f x x12(,)Qf x x1212xxQQkQxQx 若生产函数是含两要素的齐次函数，则要素的若生产函数是含两要素的齐次函数，则要素的产出弹性之和等于齐次生产函数的幂。产出弹性之和等于齐次生产函数的幂。2.2.产品分配净尽定理产品分配净尽定理 若生产函数是一次齐次函数，则欧拉公式为：若生产函数是一次齐次函数，则欧拉公式为：1

16、12212(,)x fx ff x x1212,:(,)LKxL xKL MPK MPf xxy设则有 含义：若规模报酬不变，含义：若规模报酬不变，若按要素的边际产量若按要素的边际产量对要素对要素L和和K付酬，刚好分光总产量。此即付酬，刚好分光总产量。此即产品产品分配净尽定理。分配净尽定理。产品分配净尽定理的两个含义产品分配净尽定理的两个含义 （1）若规模报酬不变，）若规模报酬不变，但要素的报酬超过了但要素的报酬超过了其边际生产量，会导致总需求超过总供给，出现其边际生产量，会导致总需求超过总供给，出现通货膨胀。（工资增长率不要超过劳动生产率增通货膨胀。（工资增长率不要超过劳动生产率增长率）长率

17、） （2）相对收入分配比例与该定理有关。）相对收入分配比例与该定理有关。11212(,)qf x xAx x11112212(1)fAxxfAx x1111221212(1)(1)x fx fAxxAx xyyy1212,:(1)xL xKyLfyKf设则有 总产出量在劳动与资本间分配的相对比例为总产出量在劳动与资本间分配的相对比例为和（和（1-）之比。说明柯布）之比。说明柯布道格拉斯函数若是一道格拉斯函数若是一次齐次的次齐次的 ，则，则和（和（1-）实质上是资本和劳动在国民收入中的相对份额。实质上是资本和劳动在国民收入中的相对份额。1( ,)yf L KAK L二、联合生产与范围经济二、联合

18、生产与范围经济 定义：生产过程产出两种或以上产品，且其在定义：生产过程产出两种或以上产品，且其在技术上相互依赖，此即联合生产。技术上相互依赖，此即联合生产。1.1.联合生产与生产转换线联合生产与生产转换线 若企业只用一种要素若企业只用一种要素x，同时生产，同时生产q1和和q2。可。可得生产隐函数：得生产隐函数：12(, )0H q qx 解出解出x：12(,)xh q q 生产转换曲线：生产转换曲线：012(,)xh q qE1qo2q1Q2Q3Q(1)x(2)x(3)x联合生产中不同联合生产中不同产出的转换线产出的转换线2.2.范围经济范围经济 定义：当一个企业以同一资源（或同样的资源定义：当一个企业以同一资源（或同样的资源量）生产一种以上的产出品时，由于生产活动维量）生产一种以上的产出品时，由于生产活动维度的增加（即生产范围在横向上的扩展）所带来度的增加（即生产范围在横向上的扩展）所带来的效益增进（或利润上升，或成本节省），叫做的效益增进（或利润上升，或成本节省），叫做范围经济。范围经济。 如果企业联合生产的产出低于两个独立企业所如果企业联合生产的产出低于两个独立企业所能达到的产量之和，则称这种状态为范围不经济。能达到的产量之和，则称这种状态为范围不经济。 联合生产的优势：联合生产的优势： （1 1）投入要素的共同