一次函数与三角形面积

1、一次函数相关的面积问题思路：画出草图，把要求的图形构建出来，根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。规则图形(公式法) 不规则图形 (切割法)不含参数问题含参数问题(用参数表示点坐标，转化成线段)注意：坐标的正负、线段的非负性。求面积时，尽量使底或高中的一者确定下来(通过对图像的观察，确定底和高)，然后根据面积公式，建立等式。1、求直线y = -2x +4, y = 2x -4及y轴围成的三角形的面积。2、已知正比例函数y = 2x与一次函数y = x +2相交于点P,则在x上是否存在一点A,使SAPOA=4若存在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由3、

2、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于 M点，交x轴于点N (-6, 0),已知点M在第二象限，其横坐标为-4,若SANOM=15,求正比例函数的解析式4、如图，直线li的解析表达式为y=-3x+3,且li与x轴交于点D,直线心经过点A, B,直线li,I2交于点C (1)求点D的坐标；(2)求直线12的解析表达式；(3)求ZXADC的面积；(4)在直线12上存在异于点C的另一点P ,使得 ADPAADC的面积相等，请直.接.写出点P的坐标. 图115、如图，直线L的解析表达式为y = -x +2,且与x轴、y轴交于点a、b，在y轴上有一点C 2(0, 4),动点M从A点以每秒1个单位的速

3、度沿x轴向左移动。(1)求A、B两点的坐标；(2) ZXCOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；(3)当何值时 COM白AAOBI,并求出此时M点的坐标。一次函数(动态问题)举一反三：如图(十二)，直线l的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别相交于 A B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与 x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒(0vt4).(1)求A、B两点的坐标；(2)用含t的代数式表示 AMON的面积§ ；(3)以MN为对角线作矩形 OMPN，记4MPN和zOAB重合部分的面积为 S2,当2<t

4、«4时，试探究S2与t之间关系式；在直线m的运动过程中，当t为何一5S为ZXOAB面积的一16【答案】解(1)当 x=0 时，y=4；当 y=0 时，x=4-A(4,0), B 0,4);(2)QMN/AB, OM OA 1, OM ON t, S1 -OM ON 1t2 ；ON OB22(3)当2 t0 4时，易知点P在AOAB的外面，则点P的坐标为(t, t)，X t,rr _ ,、 iE、F点的坐标满足即F(t,4 t),同理E(4 t, t),则PFy t 4,PE t (4- t) 2t 4,所以S2SA MPNSA PEFSA OMNSA PEF1 2 11 2 1t2P

5、E PF t2(2t 4)( 2t 4)2222_ . _12 1251当 0 t02 时，S2 t,t 4 42216 2.一,3 95舍去；当 2 t 0 4 时，S2-t 8t 8 -,223 2t2 8t 8；2勺，解得t1J5 0, t2 芯 2,两个都不合题意,2解得 t33, t4 7 ,3综上得，当t7 一 一 . 5或t 3时，S2为OAB的面积的一 316模仿操练：如图，直线yx 4与两坐标轴分别相交于点，点M是线段AB上任意一点(两点除外)，过M分别作 MCLOA于点C, MDLOB于D.(1)当点M在AB上运动时，你认为四边形 OCMD的周长是否发生变化并说明理由；(2

6、)当点M运动到什么位置时，四边形 OCMD的面积有最大值最大值是多少(3)当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a (0 a 4), 正方形OCMD与4AOB重叠部分的面积为 S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象.6、在 ABC中， C Rt ,AC 4cm, BC 5cm,点D在BC上，且以CD = 3cm,现有两个动点P、Q 分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以s的速度沿BC向终 点C移动。过点P作PEE/ BC交AD于点E,连结EQ。设动点运动时间为 x秒。(1)用含x的代数式表示 AE、DE的

7、长度；(2)当点Q在BD (不包括点B、D)上移动时，设 EDQ的面积为y(cm2),求y与x的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，EDQ为直角三角形。7、如图1,在平面直角坐标系中，已知点 A(0,4J3)，点B在x正半轴上，且/ABO 30°.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒J3个单位的速度运动，设运动时间为t秒.在x轴上取两点 M, N作等边 PMN .(1)求直线AB的解析式；(2)求等边4PMN的边长(用t的代数式表示)，并求出当等边 4PMN的顶点M运动到与原点。重合 时t的值；(3)如果取OB的中点D,以OD为边在RtzXAOB内部作如图2所

8、示的矩形ODCE，点C在线段AB 上.设等边 4PMN和矩形ODCE重叠部分白面积为 S,请求出当00t0 2秒时S与t的函数关系式， 并求出S的最大值.8、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点 C、F重合，且BC DF在一条直线上，其中AC=DF=4, BC=EF=3.固定RtA ABC不动，让RtA DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止.设FC=x,两个三角形重叠阴影部分的面积为y.(1)如图2,求当x=1时，y的值是多少2(2)如图3,当点E移动到AB上时，求x、y的值；(3)求y与x之间的函数关系式；9、（重庆课改卷）如图 1所示，一张三角形纸片 ABC,

9、/ACB=90:AC=8,BC=6沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 AC1D1和 BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片 ACi Di沿直线D2B （AB）方向平移（点A, Di,D2,B始终在同一直线上)，当点Di于点B重合时，停止平移.在平移过程中，CiDi与BC2交于点E,ACi与C2D2、BC2分别交于点F、P.(1)当 ACiDi平移到如图3所示的位置时，猜想图中的 DiE与D2F的数量关系，并证明你的猜想;(2)设平移距离 D2Di为x, ACiDi与 BC2D2重叠部分面积为 y,请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围;(3)对于(2)中的结论是否存在这样的 x的值

10、；使得重叠部分的面积等于原Di D2图2AD2DiB图3i0、已知：如图， ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、BC方向匀速移 动，它们的速度都是 icm/s,当点P到达点B时，P、Q两 点停止运动.设点 P的运动时间为t (s),解答下列问题：(i)当t为何值时， PBQ是直角三角形(2)设四边形 APQC的面积为丫(52),求丫与1的求出相应的t值;关系式；是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是 ABC面积的三分之二如果存在,不存在，说明理由;三角形面积与函数解析式的几种题型、利用面积求解析式1、直线y 2x b与坐标轴围成的三角形的面积是9

11、,则b =(分类讨论)2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于 A、B两点，直线l经过原点，与线段 AB交于点C,把, AOB的面积分为2: l两部分，求直线l名的解析式.3、如图，已知直线PA： y x n(n 0)与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线y 2x m(m n)与x轴交于B,与直线PA交于P求：(1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示)若AB=2且S四边形PQOB=5，求两个函数的解析式.64、已知直线y x 2与x轴、y轴分别交于 A点和B点，另一条直线y kx b(k 0)经过点C(1,0),且把 AOB分成两部分(1)若 AOB被分成的两部分面积相等，则 k和

12、b的值(2)若 AOB被分成的两部分面积比为1： 5,则k和b的值一、，-35、已知一次函数 y x 3的图象与y轴、x轴分别交于点 A、B,直线y kx b经过OA上的二分之 2一点D,且交x轴的负半轴于点 C,如果S aob S DOC ,求直线y kx b的解析式.二、利用解析式求面积1、直线y kx b过点A ( 1, 5)和点B(m, 5)且平行于直线 y x, O为坐标原点，求 AOB的面 积.kx b的图像经过A, B两点，与x轴交于C2、如图，所示，一次函数 y求：(1) 一次函数的解析式；(2) AOC的面积，设两直线与x轴分别交于A,B,贝U SA ABC=设两直线与y轴交

13、于PQ,则SA PCQ=3、已知：直线y 2x 4与直线y x 3,它们的交点 C的坐标是4、一次函数yikix 4与正比例函数y k?x的图象都经过(2,-1)，则这两个函数的图象与 x轴围成的三角形面积是5、已知，直线 y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标；(2)求4 ABC的面积.在直线BC上能否找到点P使得SaAPC=6,若能，请求出点 P的坐标，若不能请说明理由。与x轴交于点C,6、如图，直线y=-4x+4与y轴交于点 A,与直线y= 4 x+4交于点 B,且直线y=4x+4 35555求 ABC的面积。7、已知直线y kx b经过点A (0, 6),且平行于

14、直线y2x .(1)求该函数的解析式，并画出它的图象；(2)如果这条直线经过点 P (m, 2),求m的值；(3)若。为坐标原点，求直线 OP解析式；(4)求直线y kx b和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。三、关于面积的函数关系1、已知点A (x, y)在第一象限内，且 x+y=10,点B (4, 0), 4OAB的面积为S.(1)求S与x的函数关系式，直接写出 x的取值范围，并画出函数的图像；(2) 4OAB的面积为6时，求A点的坐标；2、如图，直线y kx 6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8, 0),点A的坐标为(-6, 0)。(1)求k的值;(2)若点 P ( x,

15、与x的函数关系式,并写出自变量 x的取值范围;y)是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出 OPA的面积S,_, . , .27 、，、，一 一，(3)探究：当点 P运动到什么位置时， OPA的面积为27,并说明理由。84、如图(1),在矩形 ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发，沿AD路线运动，到D停止;点Q从D出发，沿D- C- B-A路线运动，到A停止.若点P、点Q同时出发，点P的 速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变 为dcm/s .图(2)是点P出发x秒后4APD的面积S1(

16、cm2)与x(s)的函数关系图象；图(3)是点Q出发x秒后 AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.(1)参照图(2)，求a、b及图(2)中c的值；(2)求d的值；(3)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm),请分别写出动点 P、Q改变速度后 y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式，并求出P、Q相遇时x的值；(4)当点Q出发 s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.mx b过点(1, 0),且把AOB分成两部(1)(2)(3)8.如图，直线l1过A (0, 2), B (2, 0)两点，直线l2： y分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S