振动力学基础

1、1第第6章章 振动力学基础振动力学基础人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。 振动的一般概念振动的一般概念:某物理量在某数值附近作周期性变化某物理量在某数值附近作周期性变化 机械振动：物体位置在一确定位置附近作往返机械振动：物体位置在一确定位置附近作往返运动称为机械振动。运动称为机械振动。特点特点：有平衡点，且具有重复性。有平衡点，且具有重复性。 机械振动分类机械振动分类（原因）自由、受迫、阻尼振动（原因）自由、受迫、阻尼振动。（规律）简谐、非简谐、随机振动

2、（规律）简谐、非简谐、随机振动。（位移）角振动、线振动（位移）角振动、线振动。其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。26-1 简谐振动动力学简谐振动动力学OXFOX) 1 (xkF滑块受到的合外力：xmkmFa加速度为：)2(22xamk得到：令：运动学特征。）式表达了简谐振动的（动力学特征；）式表达了简谐振动的（21一、简谐振动的特征一、简谐振动的特征3二、简谐运动的运动方程二、简谐运动的运动方程)cos(tAx它的解为：)3(0122222xdtxddtxda及其解：、简谐运动的微分方程速度、简谐运动的速度和加2Av)tsin(Adtd

3、xvm2222Aa)tcos(Adtxdamxa2可见，有：43.简谐振动的简谐振动的 x-t,v-t,a-t图图注意三者相位的关系)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAaxa234o,xav,tAAA2v)/tcos(A25三、简谐振动的能量三、简谐振动的能量221mvEk221kxEpmktAvtAx/)sin()cos(2与及考虑到)(cos21)(sin212222tkAEtkAEpk可得到：221:kAEEEpk弹簧振子的总机械能为因此，幅的平方成正比。简谐运动的总能量和振）（其机械能守恒。）作简谐运动的物体，（结论：21我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。设振动物

4、体在任一时刻t 的位移为x ，速度为v ，于是它所具有的动能EK 和势能EP 分别为66-2 简谐振动运动学简谐振动运动学)cos(tAx特征量。是描述简谐运动的三个、上式中A。幅振动系统的能量决定振、周期和圆频率2表示。用所需的时间称为周期，全振动简谐振动的物体作一次周期：）、（T1,m/k,T22又kmT2所以简谐运动的运动方程：简谐运动的运动方程：称为振幅。值，位置的最大位移的绝对表示振动物体离开平衡、振幅A17（2）频率与圆频率表示。用频率全振动的次数称为单位时间内物体所完成,*21T2频率。称为振动的圆频率或角*动快慢的物理量。周期和频率都是反映振）注意： a固有频率。该频率称为系统

5、的个系统本身的性质决定期和频率完全由这一个系统自由振动的周)b）。秒（），可记作频率的单位是赫兹（1/1)sHzc）。秒（圆频率的单位是弧度1/srad83、相位和初相则由初始条件确定。和初相位简谐振动的振幅）Ab决定频率由系统本身的性质）简谐振动的频率或圆注意： a的方法：和定下面指出由初始条件确A）。时刻振动的相位（或相称为物体在tt)(，简称为初相。时的相位，称为初相位是0t态的物理量。相位是决定物体振动状（称为初始条件）和初速度时的初位移且已知000),sin(),cos(vxttAvtAxsincos00AvAx，我们有由此，可解得：22020vxA)(001xvtg9例题例题 在一

6、轻弹簧下端悬挂在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸克砝码时，弹簧伸长长8厘米，现在这根弹簧下悬挂厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物克的物体。将物体从平衡位置向下拉动体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的厘米并给予向上的21厘米厘米/秒的秒的初速度。选初速度。选X轴向下，求振动的表达式。轴向下，求振动的表达式。m/N.lgmk08089100解：s/rad.mk072500808910s/m.vm.x21004000m./vxA05022020rad.xvtg640001)SI)(.tcos(.x6407050象限第象限第象限第13104100,tg,x10例题例题 一个

7、轻弹簧在一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体现将一物体)(52SIymfmK上将停在MmgsmAam22/5mgmgNNaa小物体与大物体分离。处平衡位置上方，则在如果mmAmxgx196. 0196. 0196. 02悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为4 4kgkg。待其静止后再把物体向下拉待其静止后再把物体向下拉1010cmcm，然后无初速释放。问然后无初速释放。问（1 1）此小）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（物体是停在振动物体上面还是离开它？（2 2）若使放在振动物体上）

8、若使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅的小物体与振动物体分离，则振幅A A须满足何条件？二者在何位置须满足何条件？二者在何位置开始分离？开始分离？解：0 xA P231思考题思考题6.6114 4、简谐运动的旋转矢量表示法、简谐运动的旋转矢量表示法匀速转动。为角速度作逆时针点以在图平面内绕矢量OA)2(。轴的夹角等于初位相与时刻，）（OXAt03）（：轴上的投影点的坐标为点在其末端，轴的夹角为，该矢量与在任一时刻则：tAxOXMtXtcosXOAtMx动。投影点的运动是简谐运轴上的的末端在旋转矢量，因此OXA为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，为了直观地表明简谐运动的三个特

9、征量的物理意义，可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。记作：，振幅AA（1）旋转矢量的长度等于12旋转矢量与谐振动的对应关系A谐振动旋转矢量 t+T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度园周运动周期(4）比较两个谐振动的相位差212k称同相21（2k+1）称反相210称2超前 1 20称1超前13旋转矢量旋转矢量确定初位相确定初位相000avx000avx000avx000avxXOAtMx02. 100vAx022200vAx .023300vAx .00. 400vx34365214例题：由谐振子能量推出振幅公式。pkEEE2020221212

10、1kxmvKA20202xvKmA解：mK220202)(vxA有结论：结论：xtO106. 003. 0v atO106. 003. 0tO106. 003. 0例题：35021) 1 (00vAx)(65SI06. 0)2(Avm003. 00v0000 xa21sinsin0mvv6765506 . 3mvA1.A由系统能量决定；由系统能量决定；2.t=0的含义；的含义；3.x0、v0含义。含义。155、弹簧的串并联、弹簧的串并联22112121kFkFkFxxxFFF串联：21111kkk22112121xkxkFFFxxx并联：21kkk思考思考1 1：等分等分n n段，每段段，每段

11、k k0 0=?=?思考思考2 2：n n段串联，等效段串联，等效k k0 0=?=?K0=nkK0=k/n16例题例题 一质点在一质点在X轴上作简谐振动，振幅轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期周期T=2s,其平衡位置取坐标原点。若其平衡位置取坐标原点。若t=0时刻质点第一次通时刻质点第一次通过过x=-2cm处，且向处，且向X轴负方向运动，则质点第二次通过轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为处的时刻为（A）1s （B）（）（2/3）s （C）（）（3/4）s （D）2ssT/t)B(3223232例题例题 一长度为一长度为l 的倔强系数为的倔强系数为k的轻弹簧分割成的轻弹簧分

12、割成l1和和l2的两部分，且的两部分，且l1=nl2则相应的倔强系数则相应的倔强系数k1和和k2为为)() 1() 1(1) 1(2212nkknnknkknnknk串联，相当个段，每段等分176-3微振动的简谐近似微振动的简谐近似1.单摆单摆0lg 在角位移很小的时候，单摆的在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率振动是简谐振动。角频率,振动振动的周期分别为：的周期分别为：glTlg2200单摆结论gmfsin当当 时时sin22mgdtdml182.复摆（物理摆）复摆（物理摆） Imghsin为为m绕绕O点转动的转动惯量。点转动的转动惯量。I0Imgh 总结总结：复摆的谐振动方程复

13、摆的谐振动方程： COmghOC Imghdtd22mghIT2Imgh20sin当当 时时振动的角频率、周振动的角频率、周期完全由振动期完全由振动系统本身来决定。系统本身来决定。 196-4平行简谐振动的合成平行简谐振动的合成运动，分别为：轴方向）振动的简谐（向频率相等、沿着同一方个设某个质点同时参与两X)cos()cos(222111tAxtAxXO1AA2A121xx2x运动下面用旋转矢量法求合)cos(tAx2211221112212221coscossinsin)cos(2AAAAtgAAAAA其中：一、同方向、同频率的简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成 结论：仍然是同

14、频率仍然是同频率的简谐振动的简谐振动20讨论一：讨论一：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。称为合振幅最大。称为干涉相长干涉相长2AA1A讨论二：讨论二：|21AAA称为干涉相消。称为干涉相消。2AA1A讨论三：讨论三：1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情况：一般情况：A1=A2 时，时， A=021例题例题 三个谐振动方程分别为三个谐振动方程分别为)tcos(Ax6113)tcos(Ax21)tcos(Ax672画出它们的旋转矢量图。并在同一画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出坐标上画出振动曲线。写出合振动方程。振动曲线。写出

15、合振动方程。3x2x1x3x2x1x合振动方程合振动方程X=022二、同方向的二、同方向的N个同频率简谐振动的合成个同频率简谐振动的合成设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为其表达式为：O1aA3aNaRPMCNtatxcos)(1)cos()(2tatx)2cos()(3tatx) 1(cos)(NtatxN)2/sin(2NRA )2/sin(2Ra 在在 OCP中：中：23所以，合振动的表达式所以，合振动的表达式2/sin)2/sin(NaA 2/ )(NCOM2/ )(COP21NCOMCOP上两式相除得上两式相除得)21cos()2

16、/sin()2/sin(NtNa)cos()(tAtxO1aA3aNaRPMCN24讨论讨论1：即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。当当, 2, 1, 02kkNaNaA) 2/sin() 2/sin(lim讨论讨论2： 这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。边形，合振动的振幅为零。,N,N,kkN11212即：以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。和衍射规律时有重要的应用。Nk/2kNk 当当 且且0)/sin()sin

17、(NkkaA25三、同方向、不同频率的简谐振动的合成三、同方向、不同频率的简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用：利用：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成振动表达式合成振动表达式：2)(cos2)(cos21212ttA21与当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅变化的周期由振幅绝对值变化来决定，其振幅变化的周期由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以

18、它是近似的谐振动。这种即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。26单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。)2cos(12t)(txt:拍周期122拍T拍频率：12拍276-5 垂直简谐振动的合成垂直简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即);cos(11tAx)cos(22tAy221222212sincos2AAxyAyAx)(12上式是个椭圆方程，

19、具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿质点沿顺时针方向顺时针方向运动；当运动；当 时，时，质点沿质点沿逆时针方向逆时针方向运动。运动。2021AA 当当 时，时，椭圆退化为圆椭圆退化为圆。一、同频率垂直简谐振动的合成一、同频率垂直简谐振动的合成28上式的推导：上式的推导： X=A1cos(t+1) Y=A2cos(t+2)变换： Y=A2cos(t+2)= A2cos(t+ 1 +2-1)令= t+1 = 2-1 则有：X=A1cos Y=A2cos(）得： Y=A2cos cos - sin sin

20、sincos1coscos22 A改写为：sincos1coscos22Ay两边平方，利用 cos =X/A1222222sin)cos1 (coscos2)cos(cos)(AyAy)(sin)cos(2)()(12212122122AxAyAxAy29讨论讨论10)(,12120221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。yx讨论讨论2 )(120221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。yx)cos(2221tAAS振动方程为：30讨论讨论3时，2)(121222212AyAx所以是在所以是

21、在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转时针旋转。1A2A讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转时针旋转。1A2A1222212AyAx时，23)(12X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。21AA 21AA 质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。31讨论讨论5则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。321021020，kk综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后

22、，合合振动在一直线上或者在椭圆上进行振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）。（直线是退化了的椭圆）。4124312454732二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。性的运动。120212当当 时是顺时针转；时是顺时针转； 时是逆时针转。时是逆时针转。 如果两个互相垂直的振动频率成整数如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。如图形。P128P128图。图。 用李萨如图形在无线电技术用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：中可以测量频率： 在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。2:1:yxTT336-6 6-7 6-6 6-7 阻尼振动