概率论与随机过程第1章4-5节(v15)

1、4 4 条件概率条件概率(一) 在有些问题研究中，有时还需要知道在在有些问题研究中，有时还需要知道在 “事事件件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生的概率。发生的概率。” 其称其称为为“事件事件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生的条件概发生的条件概率率”, ,记为记为P(B|A)P(B|A)。 一般一般P(B|A) P(B).P(B|A) P(B).例如例如: :某产品一盒共某产品一盒共1010只，已知其中有只，已知其中有3 3只次品，从中取只次品，从中取2 2次，每次任取一只，作不放回抽取，试求第一次取到次次，每次任取一只，作不放回抽取，试求第一次取到次品后

2、第二次再取到次品的概率。品后第二次再取到次品的概率。 解解: : 设设A A：第一次取到次品；：第一次取到次品； B B：第二次取到次品。：第二次取到次品。 第一次取走一只次品后，第一次取走一只次品后，盒中还剩下盒中还剩下9 9只产品，其中只产品，其中只有只有2 2个次品，故个次品，故又又 ，且且 故故 .92/ABP1039310792103)()()(_BAPABPBPBAABB )(BAAB)(/BPABPv 从样本空间分析：从样本空间分析：第一次抽取时的样本空间第一次抽取时的样本空间 当当A发生后，发生后，S缩减为缩减为 由此可知：由此可知：P(B/A)是在缩减样本空间是在缩减样本空间

3、 上计算的。上计算的。 问题问题: 应该如何来定义和计算条件概率呢应该如何来定义和计算条件概率呢?可想的方法可想的方法: 由于事件的由于事件的频率频率与与概率概率有一定关系，所以是否有一定关系，所以是否 可从此着手研究该问题可从此着手研究该问题? 正正品品次次品品,10,43,2,1.,eeeeeS 正正品品次次品品,10,4,2,1.,eeeeSiiAAS事件事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的频率：发生的频率： 设事件设事件A A、B B是古典概型的样本空间是古典概型的样本空间S S中的两个事件，中的两个事件，并设并设n n次试验中，其中次试验中，其中A A，ABAB事件

4、分别出现事件分别出现n nA A ，n nABAB次，次，故在故在“事件事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的频率发生的频率”为为: :)()()|(AfABfnnnnnnABfnnAABAABn 条件概率条件概率定义定义: 设设A，B为随机试验为随机试验E的二个事件，且的二个事件，且P(A)0，则，则称称 为为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率。发生的条件概率。 问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、 可列可加性三条件可列可加性三条件?P(B|A)P(B|A)计算的两种方法计算的两种方法: :

5、1) 1) 在样本空间在样本空间S S的缩减样本空间的缩减样本空间S SA A中直接计算中直接计算B B发生发生 的概率的概率P(B/A)P(B/A)； 2) 2) 在样本空间在样本空间S S中中, ,分别计算分别计算P(AB)P(AB)和和P(A),P(A),再计算再计算)()/(APABPABP)()()/(APABPABP 例例1: 设在一只盒子中混有新旧设在一只盒子中混有新旧2 2种乒乓球，在新乒乓球中种乒乓球，在新乒乓球中有白色有白色4040只，红色只，红色3030只；在旧乒乓球中有白色只；在旧乒乓球中有白色2020只，红色只，红色1010只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的

6、概率只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的概率是多少是多少? ?解解: 按题意按题意,即求即求P(W/N)=? 1) 在缩减样本空间在缩减样本空间N中考虑计算中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。类型类型W(白白)R(红红)共计共计N(新新)4030 70O(旧旧)201030共计共计 60 40 100741007010040/ 2) 用公式求解用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)=(二二) 条件概率的三定理条件概率的三定理 1. 概率的乘法定理概率的乘法定理: : 设设A、BS，P（A）0,则则 P(AB)P(A)P(B|A)。 可推广到三个事件的情形：可推广到

7、三个事件的情形： A、B、CS，P（AB）0，则有，则有 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1An1) 0 ，则有，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)。例例2:2:袋中有袋中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只，观察个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球袋中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得红球次取

8、得红球的概率。的概率。70384736352)3N)(2N)(1N(NCCCC11n1n11m1m法2(古典）:703)AAA|A(P)AA|A(P)A|A(P)A(P)AAAA(P 84736352321421312143216352121 )A|A(P;)A(P84733214213 )AAA|A(P;)AA|A(P解：设解：设Ai为第为第i次取球时取到白球，次取球时取到白球，则则 例例3：一批灯泡共一批灯泡共100100只，次品率为只，次品率为 1010，不放回地抽取三次，不放回地抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。)(321AAAP9

9、8119CCC310019019110A法2:989099910010213121)(,)(,)(AAAPAAPAP00830989099910010.)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP解解：设设 Ai =第第i次取得合格品次取得合格品，i=1，2，3。显然，。显然， P第三次第三次才才取得合格品取得合格品=例例4(4(补充补充) )：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为为0.20.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.30.3；若甲机未被击落，则再进攻

10、乙机，击落乙机的概率为若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.40.4。求。求在这几个回合中：在这几个回合中：(1)(1)甲机被击落的概率；甲机被击落的概率；(2)(2)乙机被击落的概乙机被击落的概率。率。解：解：设事件设事件A=甲机被击落甲机被击落，事件，事件B=乙机被击落乙机被击落， 事件事件A i=第第i回合射击成功回合射击成功，i=1,2,3。则由乘法定理可有。则由乘法定理可有: 2. 2. 全概率公式全概率公式 样本空间的划分样本空间的划分定义定义: : 设设S为随机试验为随机试验E的样本空间，的样本空间， B1，B2，Bn 为为E的一组事件，若的一组事件，若 n,.,j,

11、 i),ji(,BB;SBjiini211 则则称称B1，B2，Bn (n可为可为 ) 为样本空间为样本空间S的一个划分的一个划分。 样本空间的划分可构造的条件样本空间的划分可构造的条件: : 一次试验一次试验E，事件，事件B1，B2，Bn中必有一个且仅有中必有一个且仅有一个事件发生一个事件发生。1B2B3B1nBnBS全概率公式全概率公式: : 设试验设试验E E的样本空间为的样本空间为S，B1，B2，, Bn是是S的一个划分，且的一个划分，且P(Bi)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件A S有有 证：证： 且且 由概率和与乘法定理可得：由概率和与乘法定理可得： niii)B|A(P

12、)B(P)A(P11B2B3B1nBnBSA nnBPBAPBPBAPBPBAPAP/2211nn21ABABABBBBAASA21)(.,)(kiABABki * * 全概率公式可由以下框图表示：全概率公式可由以下框图表示：设设 P(BP(Bj j)=p)=pj j, P(A|B, P(A|Bj j)=q)=qj j, j=1,2,n, j=1,2,n易知：易知：11njjpSP1P2Pn.B2B1Bn.q2q1qnA 1|njjjP AP BP A B例例5: 5: 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别

13、为三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次，且三家工厂的次品率分别为品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。，试求市场上该品牌产品的次品率。)()()()(321BAPBAPBAPBP解：解：设：设：B B：买到一件次品：买到一件次品; ; A A1 1 : :买到一件甲厂的产品买到一件甲厂的产品; ; A A2 2 : :买到一件乙厂的产品买到一件乙厂的产品; ; A A3 3 : :买到一件丙厂的产品。买到一件丙厂的产品。例例6: 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙个红球，乙袋

14、中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？取一球，问此球是红球的概率？解解：设设A A1 1从甲袋放入乙袋的是白球；从甲袋放入乙袋的是白球； A A2 2从甲袋放入乙袋的是红球；从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；从乙袋中任取一球是红球；127314332212211)()|()()|()(APABPAPABPBP甲乙3. 贝叶斯公式贝叶斯公式定理：设试验定理：设试验E E的样本空间为的样本空间为S，B1, B2

15、 , , Bn是是S的一个划分，的一个划分，且且P(Bi) 0, i1, 2, , n。对于任何事件对于任何事件A S，P(A)0，则有则有贝叶斯公式：贝叶斯公式：., 2, 1,)|()()()()(1njiBAPBPBAPBPABPnjjjiii APB)PBAP(APABPABPiiii)( NkkkB)PBAP(AP1.,)|()()()()(niBAPBPBAPBPABPniiiiii211证：证：由条件概率可得：由条件概率可得： 由全概率公式可得：由全概率公式可得： 故有故有贝叶斯公式：贝叶斯公式：例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差

16、的概率为80%80%，若甲出差，则乙出差的概率为若甲出差，则乙出差的概率为20%20%；若甲不出差，；若甲不出差，则乙出差的概率为则乙出差的概率为90%90%。(1)(1)求近期乙出差的概率；求近期乙出差的概率；(2)(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 ( )0.80, ( | )0.20, ( |)0.90P AP B AP B A已知ABAB与不相容解：设解：设A=A=甲出差甲出差 ，B=B=乙出差乙出差 设试验只可能出现设试验只可能出现H1, H2, , Hn有穷或可列有穷或可列多个不同的情况，而事件多个不同的情况，而事件A只能伴随这些情况

17、发只能伴随这些情况发生。生。 试在试在A事件发生的条件下，事件发生的条件下，Hk发生的条件概发生的条件概率。率。贝叶斯公式贝叶斯公式通常用于下列问题中通常用于下列问题中:例例7: 7: 设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1a1个白球个白球b1b1个黑个黑球；乙箱内有球；乙箱内有a2a2个白球个白球b2b2个黑球；箱内有个黑球；箱内有a3a3个白球个白球b3b3个黑球。现任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果个黑球。现任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。试在事件发现此球为白球。试在事件AA此球为白球此球为白球的条件的条件下，求下，求H1H1此球属于甲箱此球属

18、于甲箱的条件概率的条件概率P(H1/A)P(H1/A)。解解: : 设设H1，H2，H3分别表示分别表示“此球属于甲乙丙箱此球属于甲乙丙箱”。 ，且且 ， 由全概率公式可得：由全概率公式可得：由由贝叶斯贝叶斯公式可得：公式可得：31321HPHPHP1321HHHPSHii31 33322211131313131baabaabaaHAPHPAPnnn/ 3311132211123332221111111111131313131baabaabaabaabaabaabaabaaAPHAPHPAHP/)(/101080210.)(,.)(,.)(APAPAP191254142041824204191

19、0CCABPCCABPABP)/(,)/(,)/(例例8(补充补充)：玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只。假设各箱含只。假设各箱含0 0，1 1，2 2只残次品的概率分别是只残次品的概率分别是 0.80.8，0.10.1，0.10.1。一顾客欲购买一箱。一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员任取一箱，而顾客开箱后随机地查玻璃杯，在购买时售货员任取一箱，而顾客开箱后随机地查看四只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试看四只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求求：(1)顾客买下这箱玻璃杯的概率顾客买下这箱玻璃杯的概率p p；(2)(2)在顾客买下的这箱中，确实没有残

20、次品的概率在顾客买下的这箱中，确实没有残次品的概率q q。 解解：设设B=顾客买下所查看的一箱玻璃杯顾客买下所查看的一箱玻璃杯， Ai =箱中恰好有箱中恰好有i件残次品件残次品，i=0，1，2，由题设知：，由题设知：(1)由全概率公式由全概率公式 (2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式 94.019121 .0541 .018 .0|20 iiiABPAPBPP 85.094.018.0/000 BPABPAPBApq例例9:9: 数字通讯过程中，信源发射数字通讯过程中，信源发射0 0、1 1两种状态信号，其中发两种状态信号，其中发0 0的概率为的概率为0.550.55，发，发1 1的概率为的概率为0

21、.450.45。由于信道中存在干扰，。由于信道中存在干扰，在发在发0 0的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.90.9、0.050.05和和0.050.05接收为接收为0 0、1 1和和“不清不清”。在发。在发1 1的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.850.85、0.050.05和和0.10.1接收为接收为1 1、0 0和和“不清不清”。现接收端接收到一个。现接收端接收到一个“1 1”的信号。问发射端发的是的信号。问发射端发的是0 0的概率是多少的概率是多少? ?解：解：设设 A-发射端发射发射端发射“0”， B-接收端接收到一个接收端接收到一个“1”的信号。的

22、信号。例例10(10(补充补充): ): 某制帽厂生产的帽子合格率为某制帽厂生产的帽子合格率为0.80.8。一盒中装。一盒中装有四顶帽子，一位采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行有四顶帽子，一位采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，如两顶帽子都合格，就买下这盒帽子。求：检验，如两顶帽子都合格，就买下这盒帽子。求：(1)(1)每盒每盒帽子被买下的概率帽子被买下的概率p p；(2)(2)在采购员买下的一盒中都是合格品在采购员买下的一盒中都是合格品的概率的概率q q。 10043210208044,j,A|BP.,i,.CAPjiiii .4 ,3,2,|242 kCCABPKk例解：例解：设设

23、B=一盒帽子被买下一盒帽子被买下， Ai=一盒帽子中有一盒帽子中有i顶合格顶合格， i=0,1,2,3,4，由题设知：，由题设知：(1)由全概率公式由全概率公式(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式全概率公式与全概率公式与BayesBayes公式公式定义：设定义：设S S为试验为试验E E的样本空间，的样本空间，B B1 1,B,B2 2,B,Bn n 为为E E的一组事件。若：的一组事件。若： 则称则称B B1 1,B,B2 2,B,Bn n为为S S的的一个划分一个划分, ,或称为一组完备或称为一组完备事件组。事件组。12( ) niBBBS( ) , , ,1,2,ijiiBBiji jnB1B

24、2BnS即：即：B B1 1,B,B2 2,B,Bn n至少有一发生是至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。必然的，两两同时发生又是不可能的。 定理：设试验定理：设试验E E的样本空间为的样本空间为S S，A A为为E E的事件。的事件。B B1 1,B,B2 2,B,Bn n为为S S的的一个划分，一个划分，P(BP(Bi i)0)0，i=1,2,ni=1,2,n；则称：则称：12nAASABABAB1() (|)(|)() (|)iiinjjjP B P A BP BAP B P A B()(|)( )iiP B AP BAP AijABABij与不相容1( )()(|)njjj

25、P AP BP A B为为全概率公式全概率公式1( )()njjP AP AB1()(|)njjjP BP A BB1B2BnSA证明：证明： 定理：接上定理条件，定理：接上定理条件， 称此式为称此式为BayesBayes公式公式。亦称为亦称为蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国美国的电视游戏的电视游戏节目节目Lets Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提。问题名字来自该节目的主持人蒙提霍尔（霍尔（Monty Hall）。）。三门问题（三门问题（Monty Hall problem）玛丽莲玛丽莲沃斯沃斯莎凡特莎凡

26、特（Marilyn vos Savant）这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。要不要

27、换另一扇仍然关上的门。 明确的限制条件如下：明确的限制条件如下： 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。 主持人知道每扇门后面有什么。主持人知道每扇门后面有什么。 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。主持人永远都会挑一扇有山羊的门。 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。的门。 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中如果参赛者挑了一扇有汽车

28、的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。挑一扇有山羊的门。 1. 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。一道门。 参赛者最初选择时有参赛者最初选择时有1/3的相同概率选择汽车、的相同概率选择汽车、A羊和羊和B羊，羊，转换后的获胜概率为转换后的获胜概率为2/3。解解1： 由于只需考虑换门由于只需考虑换门(A) 和中车和中车(B) 这两个事件，故对全体样本这两个事件，故对全体样本作如作如下设定：下设定： 1.第一次选羊第一次选羊a，换，中，换，中 ;2.第一次选羊第一次选羊b，换，中，换，中 3.第一次选羊第一次

29、选羊a，不换，不中，不换，不中 ; 4.第一次选羊第一次选羊b，不换，不中，不换，不中 5.第一次选车，换，不中第一次选车，换，不中 ; 6.第一次选车，不换，中第一次选车，不换，中 从而按照从而按照B1（中）（中）,B2（不中）的划分为（不中）的划分为 B1，中，中， P(B1) = 概率概率 B2，不中，不中， P(B2) = 概率概率 （注意是在已经打开一扇门二选一的前提下）嘉宾换门（A）这一事件发生的条件下，抽中车（B1）的概率。 P(B1/A) =? 例例(补充补充)：对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为产品的合格率为

30、98%98%，而当机器发生某种故障时，其合格率，而当机器发生某种故障时，其合格率为为55%55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%95%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好概率是多少？概率是多少？ 解：解：设设A=产品合格产品合格， B=机器调整良好机器调整良好作业：将二信息分别编码为将二信息分别编码为A A和和B B传送出去，接收站接传送出去，接收站接收时，收时，A A被误收作被误收作B B的概率为的概率为0.020.02，而，而B B被误收作被误收作A A的概率为的

31、概率为0.010.01。信息。信息A A与信息与信息B B传送的频繁程度传送的频繁程度为为2:12:1。若接收站收到的信息是。若接收站收到的信息是B B，问原发信息是，问原发信息是A A的概率是多少？的概率是多少？6 独立性 例：有例：有1010件产品，其中件产品，其中8 8件为正品，件为正品，2 2件为次品。从中取件为次品。从中取2 2 次次, ,每次取每次取1 1件，设件，设A Ai i=第第i i次取到正品次取到正品 ，i=1,2i=1,221278(|)()910P AAP A2128(|)()10P AAP A不放回抽样时，放回抽样时，即放回抽样时，即放回抽样时，A A1 1的发生对

32、的发生对A A2 2的发生概率不影响的发生概率不影响 同样，同样，A A2 2的发生对的发生对A A1 1的发生概率不影响的发生概率不影响5 5 事件的独立性事件的独立性定理一：定理一：设设A、B是两事件，且是两事件，且P(A)0。若。若A，B相互独立，则相互独立，则P(B/A)= P(B)。反之亦然。反之亦然。 &定义：定义： 设设A、B是两事件，若满足是两事件，若满足 P(AB)P(A)P(B) ， 则称事件则称事件A与与B相互独立，简称相互独立，简称A，B独立。独立。注意注意：若若P P( (A A) )0 0， P P( (B B) )0 0，则，则A A，B B相互独立与相互

33、独立与A A，B B互不相容不能同时成立。互不相容不能同时成立。 定理二：定理二：若若事件事件A A，B B相互独立，则下列各对事件也相互独立相互独立，则下列各对事件也相互独立 与与 ， 与与 ， 与与 。 多个事件的独立性多个事件的独立性 若三个事件若三个事件 A、B、C满足：满足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立； 若在此基础上还满足：若在此基础上还满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件则称事件A A、B B、C C相互独立相互独立。 一般，

34、设一般，设A1, A2, , An是是n个事件，若对于其中任意个事件，若对于其中任意2个个，3个，个，n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率的个事件的积事件的概率，都等于各事件概率的积，则称事件积，则称事件A1，A2，An相互独立。相互独立。AABBAB 注意：注意： , 1A BA BA BA BP ABP AP BP ABP AABP AP ABP AP BP A P B相互独立相互独立相互独立相互独立当时1 两两独立不能相互独立2 实际问题中，常常不是用定义去验证事件的独立性， 而是由实际情形来判断其独立性。含义：含义： 事件相互独立事件相互独立, 它们中一个已经发生，不影它们中一个已

35、经发生，不影响另一个发生的概率。响另一个发生的概率。 A,B两时间之间没有关联或者关联很微弱，就可以认为是相互独立的。两时间之间没有关联或者关联很微弱，就可以认为是相互独立的。事件独立性的应用事件独立性的应用1、简化运算、简化运算：若若事件事件A1，A2，An相互独立相互独立, 则则 2、应用应用例例1：如图，如图，1 1、2 2、3 3、4 4、5 5表示继电器触点，假设每个触表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为点闭合的概率为p p，且各继电器接点闭合与否相互独立，求且各继电器接点闭合与否相互独立，求L L至至R R是连通的概率。是连通的概率。)()().121nnAPAPAAAP12345LR解：解：设设A-L至至R为通路，为通路，Ai-第第i个继电器通，个继电器通，i=1,2,5。1245LR1