高中函数的概与表示导学案

1、百度文库好好学习,天天向上学生年高学数学教师姓名孙洪文课题：函数的概念与表示|上课时间：2014年月日学习重点函数三要素：定义域、值域、解析式的求解学习难点函数三要素：定义域、值域、解析式的求解【知识要点】1 .函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x,在集合8中都有唯一确定的数兀X）和它对应，那么就称fA-3为从集合A到集合8的一个函数。记作：y=f（X）,其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合（/（x）lxCA叫做函数的值域。注意：（1）“丁成0”是函数符号,可以用任意的字母表示，如

2、“尸g（x）”；（2）函数符号“户/5）”中的./U）表示与x对应的值，一个数，而不是/乘心2 .构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方

3、法求一些简单函数的值域问题c配方法（将函数转化为二次函数）：判别式法（将函数转化为二次方程）：不等式法（运用不等式的各种性质）：函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3 .两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域。和对应法则/当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4 .区间容（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;（2）无穷区间：（3）区间的数轴表示a5 .映射的概念一般地，设A、8是两个非空的集

4、合，如果按某一个确定的对应法则了,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合8中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应力AfB为从集合A到集合8的一个映射。记作Af函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到8的映射与8到A的映射是截然不同的.其中，表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2） “都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个：二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思O6 .常用的函数表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数

5、关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系：(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。7 .分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8 .复合函数若产次u),u=g(x)/e(a,b),ue(m.n),那么)5g(x)称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。【典例解析】题型1：函数概念x4-V4-6r>0例1.21.(2009天津卷文)设函数/*)=1'-则不等式/&)>/的解集是()x+6,x<0A.(

6、-3,1)u(3,+s)B,(-3,1)u(2,+s)C.(-IJ)u(3,+s)D.(-co-3)j(1,3)(2)请设计一个同时满足下列两个条件的函数y=f(x)：图象关于y轴对称:对定义域内任意不同两点玉、七，都有/(内)+/(修)<2/(三旦)答：.-2百度文库好好学习,天天向上变式题：(2009北京文)已知函数/(x) =yV<1'一'若/(x)=2,则x=一X,X>1,例2.(2007安徽文理15)(1)函数“X)对于任意实数X满足条件/(x+2)=一，若/=一5,则/(5)=一Jx)题型二：判断两个函数是否相同例3.试判断以下各组函数是否表示同一

7、函数?A>0,x<0;(1)/(a),g(x)=V?:(2) f(a)=,g(x)=PX-1(3)/(aO=2哪2向，g(x)=(2柢)(£N.)：(4) f(a)=4yx+1,g(x)=y/x2+x:(5) /(a,)=炉一2x1,g(t)=t22t1o题型三：函数定义域问题例4.求下述函数的定义域：(1) fM八+(32"：lg(2.v-l)(2) f(x)=lg(xka)+lg(x2-a1).例5.已知函数/(x)定义域为(0,2),求下列函数的定义域：(1)/(丁)+23；(2)y=/(C+1。'Mg,(2-A).4百度文库好好学习,天天向上变式

8、题：已知函数（x）=的定义域是R,则实数”的取值范围是（ax+cix-3A.r/>lB.-12<。<0C.-2<a<0D.a-33题型四：函数值域问题例5.求下列函数的值域:-6(1)(4)y = x + 4也一x ： (5)y = x +(6) y =lx-ll + lx + 41：y=3x2-x+2：(2)y=yl-x2-6x-5：(3)y=-x-2(7)2/_x + 2,c、2x2-x+1z1、/八1-sinxy=(x>-)：(9)y=212-2-cosx改题：求函数y=3/x+2,xel,3的值域。注：总结y=+而+d型值域,变形：y=cix2+b+

9、lcx2+d或丁=ax2+b+>Jcx+d题型五：函数解析式例6.(1)已知/(工+!)=/+L，求/(x)；XX2(2)已知/(-+l)=lgx,求/(x)；X(3)已知/(X)是一次函数，且满足3/(x+l)2/(xl)=2x+17,求/(x)；(4)己知/(幻满足2/(x)+/'(L)=3x,求/(X)。x百度文库好好学习,天天向上例7.已知向量a=（sinx,）,h=（cosx,-1）.（1）当2_1_3时，求x的值.（2）（文科考生做）求/（工）=仅+可-B的最大值与最小值.（理科考生做）求工）=仅+可-B,在-3,0上的最大值与最小值.例8.据调查，某地区100万从事

10、传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x（x>0）万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3000“元（>0）。（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围：（2）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。百度文库好好学习,天天向上例9.北京奥运会纪念章某特许专营店销售

11、纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元(x£N*).(I)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(II)当每枚纪念销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值.15.已知函数/(幻的定义域为0,1,且同时满足：对任意x

12、JO,总有/")之2：(2)/(1)=3(3)若玉>0,x220且玉+x2<1,则有/(x,+x2)>f(x)+f(x2)-2.求/(0)的值；)求/(x)的最大值；(IH)设数列an的前项和为S,且满足=T(a”-3),eN”.求证：/(«,)+/(«,)+/(%)+/(丹)*+2一zr-例10.若不等式2工一1>?（/一1）对满足一207«2的所有11都成立，求X的取值范围。例11.（2009四川卷文）设V是已知平面例上所有向量的集合，对于映射记。的象为f（a）o若映射/:VfV满足：对所有。、及任意实数人都有/（+勿=%/（

13、4）+"/（），则/称为平面M上的线性变换。现有下列命题：设/是平面M上的线性变换,。、beV,则f（a+r）=/3）+"）若e是平而例上的单位向量，对atV,期3）=+e,则/是平面M上的线性变换；对aeV,设/'（a）=。，则/'是平而M上的线性变换：设/是平面M上的线性变换，6/eV,则对任意实数4均有/（而）=夕（白）。其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【方法总结】“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的X的取值范围，它依赖于对各种式

14、的认识与解不等式技能的熟练。1 .求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知f（x）求/。（切或已知fg（x）求/（%）：换元法、配凑法;（3）已知函数图像，求函数解析式；（4） /（X）满足某个等式，这个等式除了"）外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法:（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。2 .求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合：（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义：（3）已知/"）的定义域求/g（x）的定

15、义域或已知/&3）的定义域求/1）的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域：若已知/(幻的定义域其复合函数/g(x)的定义域应由a<g(x)W解出。3.求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域：(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。直接法：利用常见函数的值域来求一次函数户3H0)的定义域为R，值域为R：反比例函数y=-(k*0)的定义域为xNW0,值域为y产0：二次函数/(x)=a/+x+c(a#0)的定义域为R，当心0时，值域为ylyN(”/):4a当<0时，值域为ylyg竺二Ql04a配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值：常转化为型如：f(