§86空间曲线及其方程

1、§8.6空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线.设F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是两个曲面方程,它们的交线为C.因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程,所以应满足方程组.反过来,如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在两个曲面上,所以它的坐标不满足方程组.因此,曲线C可以用上述方程组来表示.上述方程组叫做空间曲线C的一般方程.例1 方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy面上的圆,圆心在原点O,半径为1.方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面,由于它的准线是zOx面上的直线,因此

2、它是一个平面.方程组就表示上述平面与圆柱面的交线。o例2 方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半行为a的上半球面.第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,它的准线是xOy面上的圆,这圆的圆心在点,半行为.方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.例2¢方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半行为2a的上半球面.第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,它的准线是xOy面上的圆,这圆的圆心在点(a, 0),半行为a.方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线.二、空间曲线的参数空间曲线C的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式表示,只要将C

3、上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: .当给定t=t1时,就得到C上的一个点(x1,y1,z1);随着t的变动便得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2 上以角速度w绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解 取时间t为参数.设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a, 0, 0)处.经过时间t,动点由A运动到M(x,y,z)(图7-44).记M在xOy面上的投影为M¢,M¢的坐标为x,y,0.由于动点在圆柱面上以角速度w 绕

4、z轴旋转,所以经过时间t,AOM¢= w t.从而 x=|OM¢|cosAOM¢=acos w t, y=|OM¢|sinAOM¢=asin w t,由于动点同时以线速度v沿平行于 z轴的正方向上升,所以 z=MM¢=vt .因此螺旋线的参数方程为,也可以用其他变量作参数;例如令q=wt,则螺旋线的参数方程可写为,其中,而参数为q . *曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程,形如.例如空间曲线G (a£t£b),绕z轴旋转,所得旋转曲面的方程为 (a£t£b, 0£q&#

5、163;2p).(4)这是因为,固定一个t,得G上一点M1(j(t),y(t),w(t),点M1绕z轴旋转,得空间的一个圆,该圆在平面z=w(t)上,其半径为点M1到z轴的距离,因此,固定t的方程(4)就是该圆的参数方程.再令t在a,b内变动,方程(4)便是旋转曲面的方程.例如直线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为.(上式消t和q,得曲面的直角坐标方程为)又如球面x2+y2+z2=a2可看成zOx面上的半圆周 (0£j£p)绕z轴旋转所得,故球面方程为 (0£j£p, 0£q£2p).三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C为准线、母线平行于

6、z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线,或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影).设空间曲线C的一般方程为.设方程组消去变量z后所得的方程 H(x,y)=0 ,这就是曲线C关于xOy面的投影柱面.这是因为: 一方面方程H(x,y)=0表示一个母线平行于z轴的柱面,另一方面方程H(x,y)=0是由方程组消去变量z后所得的方程,因此当x、y、z满足方程组时,前两个数x、y必定满足方程H(x,y)=0 ,这就说明曲线C上的所有点都在方程H(x,y)=0所表示的曲面上,即曲线C在方程H(x,y)=0表示的柱面上.所以方程H

7、(x,y)=0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面.曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为: .讨论: 曲线C关于yOz 面和zOx面的投影柱面的方程是什么?曲线C在yOz 面和zOx面上的投影曲线的方程是什么? 例4 已知两球面的方程为x2+y2+z2=1, (5)和x2+(y-1)2+(z-1)2=1, (6)求它们的交线C在xOy面上的投影方程.解 先将方程x2+(y-1)2+(z-1)2=1化为x2+y2+z2-2y-2z=1,然后与方程x2+y2+z2=1相减得 y+z=1.将 z=1-y代入x2+y2+z2=1 得 x2+2y2-2y=0.这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程.两球面的交线C在xOy面上的投影方程为.例5 求由上半球面和锥面所围成立体在xOy面上的投影.解 由方程和消去z得到x2+y2=1.这是一个母线平行于z轴的圆柱面,容易看出,这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面,因此交线C在xOy面上的投影曲线为：.这是xOy面上的一个圆,于是所求立体在xOy面上的投影,就是该圆在xOy面上所围的部分:x2+y2