2017-2018学年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(2)学案新必

1、2.1 数列的概念与简单表示法(2)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列能根据递推公式求出数列的前几项.IT问题导学-知识点一递推公式思考 1 (1)已知数列an的首项ai= 1,且有Sh= 3an1+ 2(n1,nN)，贝Ua4=_.(2)已知数列&中，S1=S2= 1，且有Sn+2=Sn+Sn+1(门 N)，贝US4=_.答案(1)53(2)3梳理 如果数列an的第 1 项或前几项已知，并且数列 an的任一项an与它的前一项an-1(或 前几项)间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是数列的一种表示方法.思考 2 我

2、们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么 不同呢？答案通项公式和递推公式都是表示数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意 一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.知识点二数列的表示方法思考 以数列 2,4,6,8,10,12，为例，你能用几种方法表示这个数列？答案通项公式法：an= 2n.a1= 2,递推公式法：*|an+1=an+ 2,n N.列表法:n123kan2462k梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.2.理解递推公式的含义,图象法:2例 1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中

3、，着色的小三角形的个 数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它 的图象.A A A A解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前 4n d项都是 3 的指数幕，指数为序号减 1.所以，这个数列的一个通项公式是an=在直角坐标系中的图象为一些孤立的点（如图所示）.30272I2118151296反思与感悟 数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n,且n N*,所以善于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的.跟踪训练 1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数

4、学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第10 个三角形数是_答案 55解析 三角形数依次为 1,3,6,10,15 ，第 10 个三角形数为 1 + 2 + 3+ 4+-+ 10= 55. 类型二数列的递推公式命题角度 1 由递推公式求前若干项a=1，例 2 设数列an满足1*!an=1 +azn1,N1写出这个数列的前 5 项.3”11315138解 由题意可知a1= 1,a2= 1 = 2,a3= 1 = ,a4= 1H =,as= 1 = 1+ =.aa22a33a455引申探究数列a满足a1= 2,1

5、+an十an+1= 口n，求a2 016.4an=ai+ (比ai) + (a3a2)+ (anan_1)=订 +2+2匸2= 2(n 1) + 1 = 2n 1.(n-1)个 2a1= 1 也适合上式，1 +a11 + 2解a2=匚 W = 口 =_3,1 +a21- 311 -a2=-2，1 +a31 a313,1 +a41 a411+31=2=13故an是周期为 4 的数列.1a2 016=a4X503+ 4=a4= 3.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.对于通项公式，已知n的值 即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若项数很

6、大，则应考虑数列是否有规律性.跟踪训练 2 在数列an中，已知a1= 2,a2= 3,an+2= 3 少+1 2a（n1），写出此数列的前 6 项.解a1= 2,a2= 3,a3= 3 比一 2a1= 3X3 一 2X2= 5,a4=3a32a2=3X52X3=9,a5=3a42a3=3X92X5=17,a6=3a52a4=3X172X9=33.命题角度 2 由递推公式求通项例 3(1)对于任意数列an,等式：a1+ (a2 aj + (a3a?) + (ana-1) =an(n2,n N*)都成立试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a1= 1,an+1an= 2，求通项an；a23B

7、an*若数列an中各项均不为零，则有31一一 一一=an(n2,n N)成立.试根据这3132an1ann 1*一结论，完成问题：已知数列 an满足：a1= 1, =(n2,n N)，求通项an.an1n解（1）n2时,5所以数列an的通项公式是an= 2n 1.ra2a3an(2)n时，an=a1.a1a2an-112n 1 1=2 3nn.a1= 1 也适合上式，1所以数列an的通项公式是an = -.n反思与感悟形如an+1an=f(n)的递推公式，可以利用a+ (a2a+ (a3a2)+ (an*a“+1an1) =an(n2,n N)求通项公式；形如 =f(n)的递推公式，可以利用a

8、na2a3an*a1孑a. =an(n2,n N)求通项公式.跟踪训练 3已知数列an中，a1= 1,a2= 2,an+2= a+1an,试写出a3,a4,a5,a?,a8,你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016 项？解a1= 1,a2= 2,a3= 1,a4= 1,a5= 2,a6= 1,a7= 1,a3= 2,.发现：an+6=an,数列an具有周期性，周期T= 6,证明如下：an+2=an+1an,-an+3=an+2an+1= (Nn+1an) Nn+1= an.-an+6= an+3= ( an) =an.数列an是周期数列，且T= 6.a2 016= a33

9、5X 6+6= 1.当堂训练1.数列 1,3,6,10,15 ，的递推公式是()*A. an+1=an+n, n N*B. an=an1+n, nN,n2*C.an+1=an+ (n+ 1) ,n ND.an=an-1+(n1),nN*,n2答案 B解析 由已知得a2ai= 2,a3a2= 3,a4a3= 4,a5-a4= 5,，anan1=n,n N,n2,故选 B.2.已知数列 an 满足ai= 2,an+1+ 1 = 0(n N*)，则此数列的通项an等于()2A.n+1 B .n+ 1 C . 1 nD . 3n6答案 D解析an+1an= 1. an=a1+ (a2 aj + (a3

10、a?) + (anan1)i= 2+(1)+( +(1)共(n1)个=2+(1)x(n1)=:3n.3用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是答案an= 2n+1,nN*解析a1= 3,a2= 3+ 2 = 5,a3= 3 + 2+ 2= 7,a4= 3 + 2+ 2 + 2= 9, an= 2n+ 1, n N*.p-规律与齐法-11. an与an是不同的两种表示，an表示数列a1,a2,，an,，是数列的一种简记形式. 而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系.2数列的表示方法：（1）图象法；（

11、2）列表法；（3）通项公式法；（4）递推公式法.3通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即 金是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子， 它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.40 分钟课时作业一、选择题1.已知an+1an 3 = 0，则数列an是（ ）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定答案 A解析an+1an= 3 0，故数列an为递增数列.161773.数列an中，ai= 1，对所有的n2,n N ,都有ai& a3-2a1a2a3a4a55 ,2aa2a3a4

12、= 4 ,故a3+a5=16答案 C解析Tan=an1+ 3,.anan1= 3.-a2a1= 3,a3a2= 3,a4a3= 3,以上各式两边分别相加, 得ana1= 3(n1), an=a+ 3(n 1) = 1 + 3(n 1) = 3n2,1 12 .已知数列an的首项为a1= 1，且满足an+1= an+ 2,则此数列的第4 项是（）A. 11B.25D.8答案解析11113a2= 2a1+2 =1；a3= 2a2+4 = 4；1a4=空+ 8=1 18 2.25A.25B.厉61C.亦31D.15答案解析2 2aa2a3= 3 ,aa2= 2 ,则a3= $=9,5225a5=厂恆

13、.an5.右a1=1,an+1=，则给出的数列 an的第 4 项是（）an=n2,贝Ua3+a5等于4 .已知ai= 1,an=an1+ 3(n2,nN），则数列的通项公式为（A.an= 3n+ 1B.an= 3nC. an= 3n 2D.an= 3(n 1)anan1=3,故选 C.161781B.9由于 n N*,数列an中的最大值为a7= 108.二、填空题答案 6536解析 计算得a2= 7,a3= 7,a4=7,故数列an是以 3 为周期的周期数列，6又知 2 017 除以 3 余 1,所以a2 017=a1= 7.C.101D.25答案解析aai_1_ 1a2=3ai+ 1=4a2

14、a3=3a2+14+117,a4=30+1=713 = 10.+ 16.已知数列an中，an= 2n2+ 29n+3,则数列中最大项的值是(A. 107B. 1081C. 1088D. 109答案 B解析由已知得2an= 2n+ 29n+ 3 = 2292+ 1081487.已知数列an满足an+1=2an,0wI 2an1,J1an2,1an1.贝ya2 017=29故当n取距离了最近的正整数7 时，an取得最大值 108.103n+ 1,n为正奇数，8 .已知数列an的通项公式为an= *则它的前 4 项依次为_4n 1,n为正偶数，答案 4,7,10,15解析a1= 3 + 1 = 4；

15、a2= 4X2 1 = 7；a3=3X3+1=10；a4=4X41=15.9.已知数列an满足：ana+1,an=n+入n,n N ,则实数 入的最小值是 _ .答案 3解析anWan+1?n2+ 入nw( n+ 1)2+ 入(n+ 1)?入一(2n+ 1),n N?入一 3.答案n2n+ 1解析 图(1)只有 1 个点，无分支;2 个分支，每个分支有 1 个点;3 个分支，每个分支有 2 个点;4 个分支，每个分支有 3 个点;猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n 1)个点,. . 2故第n个图中点的个数为 1 +n(n 1) =nn+ 1.三、解答题211211.已知数

16、列中，a1= 1,a2= , + =3an2anan1(n N*,n3)，求as,a4.2 112解 由a1= 1,a2=且+一=,3an2anan1 112121知当n= 3 时，_+_=_,_ = _ _= 3 1 = 2,a1aaa/&a?a10.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图中有个占I图(2)除中间 1 个点外，有图(3)除中间 1 个点外，有图(4)除中间 1 个点外，有111a3=:21 12.丄2丄3当n= 4 时，+ 一=4-a2a4a3a4a3az25 5一2 21212根据下列条件，写出数列的前4 项，并归纳猜想它的通项公式.(1)ai= 0，an+1=an+ 2n i(n N)；an*(2)aI= 1,an+1=an+n+(n N)；1厂*(3)a1= 1,an+1=an+，(n N)n n+1解 (1)a1= 0,a2= 1,a3= 4,a4= 9.猜想