空间向量运算的坐标公式

1、空间向量运算的坐标公式如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x、 y、 z 使得 cbapczbyaxpcba 叫做空间的一个_基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1 则这个基底叫做单位正交基底常用i j k来表示 .点 O 叫做原点向量i、j 、k 都叫做坐标向量 .通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面 .空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j 、k。以点O 为原点分别以i 、j、 k的正方向建立三条数轴x 轴、y 轴

2、、z轴它们都叫做坐标轴 .这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyzOxyzijk二、向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i 、j、k 为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3 使 1i 2j 3k有序数组1 2 3 叫做在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标记作 .aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系 O-xyz 中对空间任一点 A 对应一个向量 OA 于是存在唯一的有序实数组 xyz 使 OAxiyjzk 在单位正交基底 i j k 中与向量 OA 对应的有序实数组 xyz 叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标记作

3、 Axyz 其中 x 叫做点 A 的横坐标 y 叫做点 A 的纵坐标 z 叫做点 A 的竖坐标 .xyzOAxyzijka 三、向量的直角坐标运算 .111222axyzbxyz 设则121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例1、 1 求向量 axyz 的模 a 2 求两个非零向量111axyz222bxyz的夹角的余弦值3、已知向量235a31bz 且 ab 求 Z 的值。 练习 1.知 235a314b 求 ababa8aab 练习 2、已知cos1sinaaasin1cosbaa则向量 ab 与 ab 的夹角为 练习 3、已知

4、22ax235b 且 a 与 b 的夹角为钝角求 x 的取值范围 练习 4、已知 sincostanaaaacossincotbaaa且 ab 则且 a 角_AM1_NB_PQ练习2 如图在边长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中取D 点为原点建立空间直角坐标系N、M、P、Q分别是AC、DD1 、CC1、 A1B1 的中点写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1NMPQ例 2 设Ax1y1z1Bx2y2z2则AB证明如图因为正方体的棱长为1 分别以DA 、 DC 、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz如图棱长为1的正方体1111ABCDABCD中 EF 分别是1BB1

5、1DB中点求证1EFDA则1112E11122F所以111222EF又1101A000D所以 1101DA 所以因此 1EFDA 即 1EFDA练习已知A 、B 、C 三点的坐标分别为2-12 、45-1 、-223 若求 P 点的坐标。 12APABAC课堂小结空间向量的坐标运算公式、模长公式、夹角公式及其应用。注空间向量的坐标运算公式、模长公式、夹角公式的形式与平面向量中相关内容一致因此可类比记忆 YXZABCD1A1B1C1DEF 例 2 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、CD 的中点求证D1F 平面 ADE 练习 1 如图建立直角坐标系已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2 求正方体各顶点的坐标zxyABCDA1B1C1D1设 Ax1y1z1Bx2y2z