高中数学必修5新教学案：2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)

1、必修52.1数列的概念与简单表示法（学案）（第2课时）【知识要点】1 .数列的递推公式；2 .数列的函数性质.【学习要求】1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与an的关系2.进一步理解数列的函数性质.'学可探电一_豺.洪【预习提纲,（根据以下提纲，预习教材第30页第31页）1 .数列的函数性质数列是一种特殊的函数，数列可以看成以为定义域的函数anf（n）,当自变量从小到大依次取值时对应的一列；其图象为：.2 .数列的递推公式如果已知数列an的首项或前几项，且任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可用一

2、个表示，那么这个公式叫彳数列的递推公式.（1） 利用递推公式可以给出数列；（2）通项公式直接反映之间的关系；而递推公式间接反映项an与项数n之间的关系，它是项之间的推导关系.【基础练习】1.数列1,3,6,10,15,的递推公式是（）(A) an 1*an n, n N (B)an*an 1 n, n N , n 2N ,n 2 *N ,n 2an 1 an (2n 1) ( n*N ）,则该数列的刖5项(C) an1ann1,n(D) anan1n1,n2 .设数列an满足a10,ff(n)1*3 .已知f(1)2,f(n1)(；(nN)2f(3)【典型例题】类型一数列的单调性及最大(小)项

3、例1已知数列 an的通项公式ann(14 n),考察这个数列的单调性，并求出它的最大项.解： anan 12n 15,当1 n 7时递增，当7 n时递减;又an(n7)249 当n 7时，最大项为an 49【方法点评】(1)要判断数列的单调性,只需判断an an 1的符号，这与判断函数单调性相似，(2)在解题中注意函数的思想方法的渗透及应用10c【变式练习】在数列an中，an(1n)(-°)n(nN)，试问数列an有没有最11大项？如果有，求出最大项；如果没有说明理由解：令.1(nan 12),即10、n(n 1)(邛/10、nn()11n 11,得11.r11,解得n1010.令且

4、_an 1衅)n11(n1,即(n 2)(10)n1111,得口,解得119.且 a9a10.故从第1项到第9项递增，从第10项递减;最大项为a9a10.类型二根据数列的递推公式求数列的通项公式例2 (1)已知数列an 满足 a11,a22, anan 12an,写出数列的前6项，并猜想出数列an的一个通项公式.(2)已知数列 an满足 a1 2a2 3a3nann(n1)(n 2),写出数列an的一个通项公式.(3) (2006年全国变式)已知数列an满足a11,anan 13(n 2).求a2,a3；证明an3n2类型三数列的周期性例3.(2008广州变式)已知数列 an满足a12, an

5、 1an /(n1 anN，则(1)写出数列的前5项；(2)猜想该数列的规律，并求 a1?a2?a3?a2007的值.【变式练习】(江苏)已知数列an中，a1 b,(b 0),an11,2,3,),能使anb的n的值(A) 14 (B)15 (C)16 (D)17.1 .已知数列 an中1 ,(A) a11,a21, an 1(C) a11, an 1 an2. (2008年江西)在数列(A) 2 ln n (B)3.已知数列 an1, 2, 3, 5, 8, 13,an an 1(n 2)an 1(n 1)an 中，a1x , 34,(B) a1(D) a12,an 1an2 (n 1)ln

6、 n(C) 2的一个通项公式为an4(n28n53,，的递推公式是 .1,an12an 1(n 2)1,an 1 2an an1(n 1)ln(1 1)(n 2),则 an nnln n (D) 1 n In n30) (nC N*)(1)画出数列 an的图象；(2)判断数列 an的单调性.4.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) a1 = 3, an 1 = 3an 2 (n e N).(2) a11, anan 1(nn(n 1)2).2ana1=1,an1=(n£N)；an25.数列 an中，a1.2x0,an1f(an)(nCN)其中f(x)=

7、1x(1)求a2,a3,a4。(2)猜想数列an的一个通项公式an.1拓展提高a31 .(湖南)已知数列an中，ai0,ani,(n1,2,3,)，则a为的值,3an1(A)0(B),3(C)、,3(D)-3.2 .(2007年浙江)已知数列an中的相邻两项a2k1，a2k是关于x的方程2kkx(3k2)x3k?20的两根，且a?k1a2k(k1,2,3,)，求a1，a3,a5,a7及a2n(不必证明).必修52.1数列的概念与简单表示法（教案）（第2课时）【教学目标】1 .了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；理解递推公式是给出数列的一种方法.2 .进一步理解数列的函数性质.【重

8、点】1 .了解数列的递推公式，理解递推公式是给出数列的一种方法2 .进一步理解数列的函数性质.【难点】1 .利用数列的递推公式，会求简单数列的通项公式；2 .进一步理解数列的函数性质.学万卷兔,«|_.“"_【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第28页第30页）1 .数列的函数性质数列是一种特殊的函数，数列可以看成以正整数集或它的有限子集为定义域的函数anf（n）,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值;其图象为：一系列孤立的息.2 .数列的递推公式如果已知数列an的首项或前几项，且任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可用一个公式表示,那么这个公式叫作数列的

9、递推公式（1）利用递推公式可以给出数列；（2）通项公式直接反映项an与项数之间的关系；而递推公式间接反映项an与项数n之间的关系，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系【基础练习】1.数列1,3,6,10,15,的递推公式是（b）.*（A）an1ann,nN（B）anan1n,nN,n2*（C）an1ann1,nN,n2*（D）anan1n1,nN,n2*2 .设数列an满足a10,an1an（2n1）（nN），则该数列的前5项为rrf(n)1*53 .已知f(1)2,f(n1)-(nN)2f(3)-.24【典型例题】类型一数列的单调性及最大(小)项例1已知数列an的通项公式ann(1

10、4n),考察这个数列的单调性，并求出它的最大项.【审题要津】数列是一种特殊的函数，可利用函数的性质研究数列的单调性，并求它的最大项.解：anan12n15(n2),当1n7时，an递增，当7n时，an递减;又an(n7)249当n7时，最大项为an49.【方法点评】(1)要判断数列的单调性，只需判断anan1的符号，这与判断函数单调性相似；(2)在解题中注意函数的思想方法的渗透及应用,10c.一【变式练习】在数列an中，an(1n)()n(nN)，试问数列an有没有最11大项？如果有，求出最大项；如果没有说明理由解：令整理得an令一an整理得a9anan 11111(n 1)n1011n101

11、11.一，解得n 10.10(n 1)n10(n 2)11“n 110111,11一,解得n 9.10n1011故从第1项到第9项递增，从第10项起递减；最大项为n10a9 a101111类型二根据数列的递推公式求数列的通项公式例2（1）已知数列an满足a11,a22,an2an12an,写出数列的前6项，并猜想出数列an的一个通项公式.（2）已知数列an满足a12a23a3nann（n1）（n2）,写出数列an的一个通项公式.（3）（2006年全国变式）已知数列an满足a11,anan13（n2）.求a2,a3；证明an3n2.【审题要津】由递推公式写出数列的前几项，再对前几项进行分析、变形

12、、归纳、猜想出数列an的一个通项公式；或通过递推公式寻找相邻项间的关系，通过连续相加得出通项an的公式.n1解：(1)易得数列的前6项为：1,2,4,8,16,32.猜想an2a12a23a3nan(n1)(n2)a12a23a3(n1)an1(n1)n(n1)相减得nan3n(n1)an3(n1)(3)a11,anan13(n2)（累加法）1色明3, a3a23, anan 1 3a?4,a?7左边相加得an3n2【方法点评】递推公式也是产生数列的办法，利用递推公式写出数列的前几项，再an的公式如：对形如进行分析、变形、归纳、猜想出数列an的一个通项公式；或通过递推公式寻找相邻项间的关系，通

13、过连续相加（减）或乘（除）等处理得出通项an1anf（n）的递推公式，可采用累加法求得类型三数列的周期性例3.（2008广州变式）已知数列 an满足a12, an 11 an(nN )，则(1)写1 an出数列的前5项；（2）猜想该数列的规律，并求 a1 ?a2 ?a3 ?a2007的值.【审题要津】由递推公式写出数列的前几项，再对前几项进行分析、变形、归纳、猜想出数列 an的一个通项公式；周期性是某类函数的性质，可通过对特殊项的观察、分析、总结、猜想等办法发现规律. 1 1解：（1）写出数列的前5项为：2, 3, , ,2;2 3（2）可以看出该数列每隔 4项，各项的值重复出现一次，可见该数

14、列作为函数具有周期性，周期为4,且a1?a2?a3?a41,故 ai ?a2 ?a3?a2007502aa2a3a43a2008'2'3'4'5规律证明:故数列1 anan 4an 217an,an ,an 2anan为周期数列.【方法点评】周期性是函数的重要性质，可通过从特殊观察、总结到定义证明的渐近过程.【变式练习】（江苏）已知数列 an中，a1b,(b 0),an 11(n1,2,3,),an1能使anb的n的值c(A)14(B)15(C)16(D)17.1.已知数列an中1,1,2,3,5,8,13,x,34,53,，的递推公式是A(A)a11,a21,

15、an1anan1(n2)(B)a11,an12an1(n2)(C)a11,an1anan1(n1)(D)a11,an12anan(n1).2.（2008年江西）在数列an中，a12,an1an1、，ln(1)(n2),则ann(A)2lnn(B)2(n1)lnn(C)2nlnn(D)1nInn3.已知数列an的一个通项公式为an4(n28n30)(nCN*)（1）画出数列解：（1）an的图象；（2）判断数列an的单调性.ananl(n28n41an1-(2n41230)n2,an14(n1)8(n1)9)n4,anan10;n5,anan130).0.故当n4时，数列an递减；当n5时，数列a

16、n递增.4.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项,并归纳出通项公式a1=3,an1=3an2(neN).(2)a11,anan1n(n1)(n2).a1=1,an1=-2a£an一(nCN)；2解:（1）它的前五项为:3,7,19,55,173.猜想数列ann1的一个通项公式an2313579(2)它的前五项为：1亡5,9.；猜想数列an的一个通项公式an2n12121(3)它的前五项为：1,t,2.32532狷想数列an的一个通项公式an.n12x5.数列an中，aa0,an1f(an)(neN)其中f(x)=1x(1)求 a2,a3,a4； (2)猜想数列an的一个通项公式 an.解：（1） a22aa 1,a34a3a 18a7a 12na（2）狷想数列an的一个通项公式an（2n1）a11.（湖南）已知数列an中,a 3a10,an 1, (n 1,2,3,),则 a20 的值 B,3an 1(A