吴传生经济数学71

1、第一节 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离六、小结六、小结 思考题思考题 三、曲面方程的概念三、曲面方程的概念四、空间曲线方程的概念四、空间曲线方程的概念五、五、n维空间维空间x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 原点原点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三条坐标轴的正方向三条坐标轴的正方向符合符合右手法则右手法则.一、空间点的直角坐标( space rectangular coordinates system )(abscissa axis) (ordinate axis)(origin)(vertical axis)xyozxOy面面yO

2、z面面zOx面面空间被分为空间被分为八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx一一一一对对应应特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O坐坐标标原原点点),(zyxM xyzO)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,CxyozxOy面面yOz面面zOx面面空间被分为空间被分为八个卦限八个卦限x0,y0,z0 x0,z0 x0,y0 x0,y0,z0 x0,z0 x0,y0,z0,y0 x0,y0,z0八个卦限中点的坐标八个卦限

3、中点的坐标解解设所求对称点的坐标为设所求对称点的坐标为 ，则，则 222,xyz(1)即所求的点的坐标为即所求的点的坐标为 212112,0,xxyy zz 111,;xyz (2)1212210,0,xxyyzz 即所求的点的坐标为即所求的点的坐标为 111,;xy z (3)1212120,0,0,xxyyzz 即所求的点的坐标为即所求的点的坐标为 111,;xyz (4)121212,222xxyyzzabc即所求的点的坐标为即所求的点的坐标为 1112,2,2.axbyczxyzO 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股

4、定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离,121xxPM,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd 则则.222zyx xyzO 1MPNQR 2M解解依题意有依题意有 因所求点因所求点M 在在y 轴上，可设其坐标为轴上，可设其坐标为 ， 0, ,0y,MAMB 即即 2222220310100102yy解之得解之得 3,2y 故所求点为故所求点为 30,0 .2M 解解 221MM,14)1

5、2()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 定义定义0),(zyxF如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程 则则

6、F( x, y, z ) = 0 叫做叫做曲面曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的图形图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程 SzyxO三、曲面方程的概念两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时, ,求曲面方程求曲面方程. .(2) 已知方程时，研究它所表示的几何形状已知方程时，研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 例例5 求三个坐标平面的方程求三个坐标平面的方程. 解解同理，同理，yOz平面的方程为平面的方程为

7、0.x zOx平面的方程为平面的方程为 0.y 例例6 作作 （c为常数）的图形为常数）的图形. 解解zc 同理，同理， 和和 分别表示平行于分别表示平行于yOz平面和平面和xOz平面平面. xa yb 求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得化简得即即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.例例7: :222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程轨迹方程. . 前面三个例子中，所讨论的方程

8、都是一次方程，前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程，所考察的图形都是平面所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平可以证明空间中任意一个平面的方程式三元一次方程面的方程式三元一次方程 0,AxByCzD,A B C D,A B C其中其中 均为常数，均为常数， 且不全为且不全为0. 故所求方程为故所求方程为例例8. 求动点到定点求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程方程. . 特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解: : 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹MOxyz0M222yxRz表示上表示上( (下

9、下) )球面球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例9. . 研究方程研究方程042222yxzyx解解 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M可见此方程表示一个球面可见此方程表示一个球面说明说明 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面. . 表示表示怎样怎样半径为半径为0)(222GFzEyDxzyxA球心为球心为 一个一个球面球面 , , 或或点点 , , 或或虚轨迹虚轨迹. .5)2() 1(222zyx四、空

10、间曲线方程的概念空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线, ,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S五、n维点集n维空间维空间： niRxxxxRinn, 2 , 1,21 表示为表示为：一一 般地，设般地，设n为一个取定的正整数，为一个取定的正整数，n元有序实数组元有序实数组 的的全体构成的集合全体构成的集合. ),(21nxxxnRn维空间维空间 中的中的点点：nRn元有序数组元有序数组),(21nxxx其中，数其中，数 称为该点的第称为该点的第i个坐标个坐标. ixn维空间中维空间中两点间的距离两点间的距

11、离： 注：当注：当n=1,2,3时，上式即是数轴、平面及空间时，上式即是数轴、平面及空间 两点间的距离两点间的距离 .2222211)()()(nnxyxyxyPQ其中，点为其中，点为),(21nxxxP),(21nyyyQ和和空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（轴、面、卦限）（轴、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM n维空间维空间 niRxxxxRinn, 2 , 1,21空间曲线方程的概念空间曲线方程的概念曲面方程的概念曲面方程的概念六、小结思考题思考题在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D思考题解答思考题解答A ; B ; C ; D . 1. 1.下列各点所在卦限分别是：下列各点所在卦限分别是： ._1,3,2_4,3, 2_4,3,2_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 dcb_;_,_)1,2,