应力状态与强度理论

1、 131 应力状态的概念应力状态的概念132 二向应力状态分析二向应力状态分析133 三向应力状态的最大应力三向应力状态的最大应力13-4 13-4 广义虎克定律广义虎克定律13-5 13-5 强度理论强度理论P铸铁压缩铸铁压缩1 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2 2、组合变形杆将怎样破坏？、组合变形杆将怎样破坏？13-1 13-1 应力状态的概念应力状态的概念P低碳钢低碳钢一、引子一、引子 ：铸铁铸铁 普遍状态下，描述一点处的应力状态普遍状态下，描述一点处的应力状态需要九个应力分量。即：需要九个应力分量。即：三、一点处应力状

2、态的表示方法三、一点处应力状态的表示方法-单元体单元体 ( (element) )： 单元体单元体构件内点的代表物，是包围被研究点构件内点的代表物，是包围被研究点 的无限小几何体，常用的是正六面体。的无限小几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质单元体的性质aa、每一面上，应力均布；、每一面上，应力均布； b b、平行面上，应力相等。、平行面上，应力相等。二、二、一点处的应力状态：一点处的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（state of stress at a give

3、n point）。）。 xyxzzxzyyzyxxyzyx 、 xy四、四、剪应力互等定理剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。或共同背离该交线。0 : zM单单元元体体平平衡衡证证明明0)()( dydzdxdxdydzyxxy yxxy 考虑到剪应力互等定理，描述一点处考虑到剪应力互等定理，描述一点处应力状态的九

4、个应力分量中，独立的只有应力状态的九个应力分量中，独立的只有六个，即：六个，即：zxyzxyzyx 、 x五、原始单元体（五、原始单元体（Original Element）：）：例例9-1-1 9-1-1 画出下列图中的画出下列图中的A A、B B、C C点的已知单元体。点的已知单元体。xyzBCA x xB xz zxC xy yxAPP六、主单元体、主平面、主应力：六、主单元体、主平面、主应力： 、主单元体主单元体( (Principal Element) )： 各侧面上剪应力均为零的单元体。各侧面上剪应力均为零的单元体。 、主平面主平面( (Principal Plane) )： 剪应力

5、为零的截面。剪应力为零的截面。 、主应力主应力( (Principal Stress ）：）： 主平面上的正应力。主平面上的正应力。、主应力排列规定：按主应力排列规定：按代数值代数值大小，大小，321 A x x、二向应力状态（二向应力状态（Plane State of Stress）：）： 一个主应力为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。、单向应力状态单向应力状态 （Unidirectional State of Stress）：）： 一个主应力不为零的应力状态。一个主应力不为零的应力状态。 xB xz zxA x x、三向应力状态（三向应力状态（ Three-Dimensional S

6、tate of Stress）：）： 三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。13132 2 二向应力状态分析二向应力状态分析0000 xyyxzxzyz ，单元体上有一组面上的应力分量都为零。一般单元体上有一组面上的应力分量都为零。一般应力分量为零的面的外法线为应力分量为零的面的外法线为Z。这时有：。这时有：平面应力状态：平面应力状态：规定：规定： 与截面外法线同向为正；与截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转动为正；绕研究对象顺时针转动为正； 由由x逆时针转向截面外法线为正。逆时针转向截面外法线为正。图1n 设：斜截面面积为设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：由分离

7、体平衡得： Fn00cossindsindsincosdcosdd22 AAAAAyxyxyx一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力0sindcossindcosdsincosdd22 AAAAAyxyxyx F0 图1n 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx 考虑剪应力互等和三角变换，得：考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：同理： 02cos22sin:000 xyyxdd令令二、主平面和主应力二、主平面和主应力yxxy 22tan0和和两两个个极极值值：）、（由由此此得得两两个个驻驻点点：200 ！极极值值正正应应力力就就是是主主应应力力 00 22minma

8、x22xyyxyx yxxyyxxyyx 2000022222cos22sin42cos2dd主方向判定：主方向判定：与与哪哪一一个个主主应应力力对对应应？求求出出的的首首根根由由0022tan yxxy 在在或或象象限限。，即即002222 ，则则：、象象限限，02cos0 )(0ddmax022 ，有有极极大大值值，即即，时时，xyx )(0ddmin022 ，有有极极小小值值，即即，时时，xyx 0:1 dd令令xyyx 22tan1 231minmax 一一般般情情况况下下：min32max1minmax000 ，则则：，若若主主单元体单元体1 3 22minmax2xyyx 画出主单

9、元体画出主单元体 45 , 410面面成成即即极极值值剪剪应应力力面面与与主主平平 三、最大切应力三、最大切应力。、，求求及及、已已知知 2 xyyx 22222222222222sincos)(sin)(cossincosxyyxyxxyyxyxxyyxyx 2sin2cos22xyyxyx 理理解解：根根据据剪剪应应力力互互等等定定和和不不变变。的的两两个个面面上上的的正正应应力力之之即即：单单元元体体上上互互相相垂垂直直 yxyx1nynxyx四、单元体两互垂面上的应力关系四、单元体两互垂面上的应力关系例例13-2-1 分析受扭构件的破坏规律。分析受扭构件的破坏规律。解：解：确定危险点并

10、画其原确定危险点并画其原 始单元体始单元体C xy yxC C xy yxxyo求极值应力求极值应力0 yx txyWT 22minmax22xyyxyx）（ 3210 破坏分析破坏分析MPa200;MPa240: ss 低低碳碳钢钢MPa300198;MPa960640MPa28098: byblb 灰灰口口铸铸铁铁低碳钢低碳钢 4522tan00 yxxy 22minmax2xyyx0022tan11 xyyx铸铁铸铁（剪坏）（拉坏）应应力力。用用解解析析法法求求斜斜截截面面上上的的已已知知单单元元体体上上的的应应力力，例例2213 MPa3 .63)21(4023502cos2sin2M

11、Pa4 . 02340)21(50102sin2cos22 xyyxxyyxyx -120MPa40MPa60MPa40 ，解解：xyyx6030403 .634 . 040nx120MPa)(例例13-2-3 13-2-3 已知单元体如图，计算斜截面上的应力。已知单元体如图，计算斜截面上的应力。 30MPa400MPa60 ，解解：xyyxMPa4621)40()23(302cos2sin2MPa4 .10)23()40(2130302sin2cos22 xyyxxyyxyx30 x306040MPa)(。求求主主应应力力及及画画主主单单元元体体已已知知单单元元体体上上的的应应力力，例例42

12、13 MPa53MPa170MPa53171835101535)2(2MPa10MPa50MPa203212222minmax ，。，解：解：xyyxyxxyyx10102050 85.167 .332325020)10(222tan000 ，yxxyn320 x画出主单元体画出主单元体)(max0 ，xyx (MPa)7070130n。位位置置，并并画画出出主主单单元元体体平平面面该该单单元元体体的的主主应应力力，主主已已知知单单元元体体的的应应力力，求求例例5231 MPa5 .300MPa5 .160MPa5 .305 .1605 .9565706565)2(2MPa700130MPa3

13、212222minmax ，。，解：解：xyyxyxxyyxx301 5 .23472131401302)70(22tan000 ，yxxy)(max0 ，xyx (MPa)50120 9 .198 .3921210120050222tan000 yxxy。求求主主应应力力及及画画出出单单元元体体已已知知单单元元体体上上的的应应力力，例例6213 MPa180138MPaMPa181387860506060)2(2MPa50MPa12003212222minmax ，解解：xyyxyxxyyx)(min0 ，xyx x310(MPa)点点的的主主单单元元体体。点点处处的的主主应应力力并并画画出

14、出该该的的的的截截面面上上离离顶顶面面以以下下端端图图示示悬悬臂臂梁梁，求求距距自自由由例例Amm40m72. 07213 、（单单元元体体见见下下图图）、解解：0MPa88. 010160808012106080401010MPa56.101016012801040102 . 7kN10mkN2 . 71539312333 yxyzzAAxzAAAAbISQIyMPQM 72m. 02mA4080160AP=10kN 73. 446. 9256.1076. 122tanMPa07. 00MPa63.10MPa07. 0MPa63.10)2(200032122minmax yxxxyxyxxx

15、y1 3 0 x)(max0 ，xyx 。、求求已已知知单单元元体体上上的的应应力力，例例xyx 8213 MPa7 .1034080MPa4 .1723316080 xyx 解解得得：MPa8024360cos60sin2MPa120234360sin60cos22030MPa80MPa120 xyxxyxxyxxyxxy 、解：解：1208030 xyx(MPa)上上应应力力。力力，用用解解析析法法求求斜斜截截面面练练习习：已已知知单单元元体体上上应应MPa621402330MPa6 .79234021303030MPa400MPa60 、解：解：xyyx604030n(MPa)力力及及画

16、画主主单单元元体体。应应力力，用用解解析析法法求求主主应应练练习习：已已知知单单位位体体上上的的120303040 44.1887.3628612040)30(222tan0MPa30MPa130MPa301305080304080MPa30MPa120MPa4000032122minmax yxxyxyx、解：解：)(min0 ，xyx 0 12(MPa) 2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx 消去参数（消去参数（2 2 ），得：），得：此方程曲线为圆此方程曲线为圆- -应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto M

17、ohr引入）引入）五、应力圆（五、应力圆（ Stress Circle） 图图2 2、建立应力坐标系，如图建立应力坐标系，如图2 2，（注意选好比例尺）（注意选好比例尺）1 1、应力圆的画法、应力圆的画法、在、在坐标系内画出点坐标系内画出点A( ( x， xy)和和 B( ( y， yx) 、AB与与 轴的交点轴的交点C便是圆心。便是圆心。、以以C为圆心，为圆心，AC为半径画为半径画圆圆应力圆；应力圆；Cxy x xy yo 图图1 1nA(x, xy)B(y, yx)oonxy x xy yo 图图1 12 n2 2、单元体与应力圆的对应关系、单元体与应力圆的对应关系、点面对应关系：、点面对

18、应关系：应力圆上一应力圆上一点（点（ ， ） 单元体上一单元体上一面上的面上的应力（应力（ ， ）、 面的法线面的法线 应力圆的半径应力圆的半径、夹角关系：、夹角关系：应力圆两半径夹角应力圆两半径夹角2 单元体单元体两面夹角两面夹角 ；且；且转向一致。转向一致。图图2 2CA(x, xy)B(y, yx),( D22minmax22xyyxyxROC ）（半半径径3 3、在应力圆上标出极值应力、在应力圆上标出极值应力22minmaxminmax22xyyxR ）（半半径径 OCx 2 22 02 1 3 3 1 1B(y, yx)A(x, xy) max min例例13-2-9 求图示单元体的

19、主应力及主平面的位置。求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：单位：MPa)45325325951502020o(MPa)(MPa)CAB解：解：、建立应力坐标系如图建立应力坐标系如图)325,45(B)325,95(A在在坐标系内画出点坐标系内画出点、AB的垂直平分线的垂直平分线与与 轴的交点轴的交点C便便是圆心，以是圆心，以C为圆为圆心，以心，以AC为半径为半径画圆画圆应力圆应力圆AB4532532595150AB 1 2 0、主应力及主平面如图主应力及主平面如图0MPa20MPa120321 300 o(MPa)(MPa)2020AB 3 3C2 0 2 2 1 1322tanMPa

20、952cos2sin20 yxxyxxyyx ，得得：由由4532532595150解法解法22解析法：解析法：建立坐标系如图建立坐标系如图xyoxyyxy MPa325MPa45?x MPa201202222minmax xyyxyx ）（60MPa325MPa956060 0MPa20MPa120321 300 1 2 0)(max0 ，xyx )MPa(10213应应力力单单位位角角及及画画主主单单元元体体。力力，主主应应力力，主主平平面面夹夹的的应应，用用应应力力圆圆求求斜斜截截面面上上已已知知单单元元体体上上应应力力如如图图例例 304060403103040060 、解：xyyx)

21、46, 4 .10(E60MPaMPa.46410 、 526200800321.MPaMPa 、801203 5320)40,60(1D)0 ,30(C)40, 0(2D1408080310主主单单元元体体。平平面面及及主主应应力力，并并画画出出，用用应应力力圆圆法法求求主主单单位位：已已知知单单元元体体上上的的应应力力例例MPa)(11213 800140 xyyx 、解：7 .654 .1312MPa1760MPa3600321 、1302)0 ,70(CD2(0,80)D1(-140,-80)604040 xyyx 、解：并画出主单元体。，用应力圆求主应力单位：力练习：已知单元体的应M

22、Pa)(15.28MPa720MPa720321 、604040310 xn1302），0640(1DC）， 0640(2D角）。角）。轴与大的主应力方向夹轴与大的主应力方向夹及主平面夹角（及主平面夹角（圆，并写出主应力圆，并写出主应力画出下面单元体的应力画出下面单元体的应力例例x12213 )(a)(b)(c1)(d000321、31)(e200321、)( f点圆）、(20000321夹夹角角）。轴轴与与大大的的主主应应力力方方向向的的（主主平平面面夹夹角角图图，求求出出主主应应力力及及画画出出下下面面单单元元体体的的应应力力例例x013213 30214500321、3021450032

23、1、70406020130。求求出出两两截截面面的的夹夹角角应应力力和和主主平平面面方方位位，并并用用应应力力圆圆求求该该点点处处的的主主力力如如图图所所示示。点点处处的的两两个个截截面面上上的的应应已已知知平平面面应应力力状状态态下下某某例例 14213 2(MPa)MPa2 .35MPa2 .852 .688 .20310 、C)40,70(1D)60,20(2D023113133 3 三向应力状态的最大应力三向应力状态的最大应力o 3 3 1 1 2 21：弹性理论证明，图弹性理论证明，图a a单元体内任意一点任意截面上的单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图应力都对应着图b b的应

24、力圆上或阴影区内的一点。的应力圆上或阴影区内的一点。图图a 2 ：整个单元体内的最大剪应力为：整个单元体内的最大剪应力为：231 maxo 3 3 1 1 2 2图图b max3：最大正应力：最大正应力1max例：例：13-3-1 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（求图示单元体的主应力和最大剪应力。（M P a）解：解：、由、由单元体图单元体图a a知：知：y zy z面为主面面为主面50 x 、建立应力坐标建立应力坐标系如图，画图系如图，画图b b的的应力圆应力圆, ,得得: :xyz305040图图aCBAAB 1 3 C 2275058321 5.42max max o (M Pa)（

25、M Pa ）1010图图b b正应力及最大剪应力。正应力及最大剪应力。单元体的主应力及最大单元体的主应力及最大已知单元体如图示，求已知单元体如图示，求例例2313 40405060yzxx=50 、y=-40 、xy=-40 、 z=60 解：解：1)1)确定坐标、写出应力分量确定坐标、写出应力分量2)2)求主应力求主应力MPa2 .552 .6540455)2(2222231 xyyxyx 1=65.2MPa 、2=60MPa 、3=-55.2MPa MPa2 .602MPa2 .6531max1max 及及最最大大剪剪应应力力。求求单单元元体体的的最最大大正正应应力力已已知知单单元元体体上

26、上的的应应力力，例例3313 801206060yzxMPa2 .1022 .82607010)2(2222231 xyyxyx x=60 、y=-80 、xy=-60 、 z=-120 解：解：1)1)确定坐标、写出应力分量确定坐标、写出应力分量1=82.2MPa 、2=-102.2MPa 、3=-120MPa MPa1 .1012MPa2 .8231max1max 13134 4 广义虎克定律广义虎克定律一、单拉下的应力一、单拉下的应力 - - 应变关系应变关系Exx xyE xzE xyz x二、纯剪的应力二、纯剪的应力 - - 应变关系应变关系Gxyxy xyz x y)( 0zyxj

27、iij， ),( 0zyxii 0 zxyz 三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 - - 应变关系应变关系x xy yz z x xy z y依叠加原理依叠加原理, ,得得: : zyxzyxxEEEE 1 xzyyE 1 yxzzE 1Gxyxy Gyzyz Gzxzx zyxxE 1 1 2 3 13221 E 12331 E 32111 E 主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力 - - 应变关系应变关系: :0 zxyzz xyxyG yxxE 21 xyyE 21方向一致方向一致002tan22tan yxxyyxxy主应力与主应变主

28、应力与主应变方向一致方向一致?0202tan)()1)(1222tan yxxyyxxyyxxyEG五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV a3 1 2 3a1a2)(a)(a)(aV3322111111 3211 VVV体积应变：体积应变：)( )(zyxEE 2121321体积应变与应力分量间的关系体积应变与应力分量间的关系: :例例13-4-1 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：别为： 1=240 10-6， 2= -160 10-6，弹性模量，弹性模量E=210GPa，泊松，泊松

29、比为比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变试求该点处的主应力及另一主应变。03: 自自由由面面上上解解 MPa.).(.34410160302403011021016292121 E所以，该点处的平面应力状态所以，该点处的平面应力状态 MPa.).(.32010240301603011021016291222 E1 2 66913210334103443221021030 .).(. E62361132110160102403200344 MPa.MPa.例例13-4-2 13-4-2 图图a a所示承受内压的薄壁容器，为测量容器所承受的所示承受内压的薄壁容器，为测量容器所承受的内压

30、力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t t = =350350l0l0-6-6，若已知容器平均直径，若已知容器平均直径D=500mm=500mm，壁厚，壁厚 =10mm=10mm，容器材料的，容器材料的 E=210=210GPa， =0.25=0.25，试导出容器横截面和纵截面上的正应力表，试导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式，计算容器所受的内压力。达式，计算容器所受的内压力。轴向应力轴向应力(longitudinal stress)(longitudinal stress)解：解： 1 1、容器的环向和纵向应、容器的环向和纵向应力表达式力

31、表达式用横截面将容器截开，受力如用横截面将容器截开，受力如图图b b所示所示, ,根据平衡方程根据平衡方程 42DpDm 4pDm 用纵截面将容器截开，受力如图用纵截面将容器截开，受力如图c c所示所示2 2、环向应力：、环向应力：(hoop stress)(hoop stress) Dlplt 2 2pDt 3 3、求内压（以应力应变关系求之）、求内压（以应力应变关系求之） 241EpDEmttMPa36. 3)25. 02(5 . 01035001. 0102104)2(469 DEptt m外表面。，求求钢钢板板厚厚度度的的减减少少值值，及及别别为为受受拉拉（如如图图）。应应力力分分直直

32、的的钢钢板板，在在两两个个方方向向垂垂：有有一一厚厚度度为为例例25. 0GPa210MPa55MPa150mm63413 E55MPa150MPaxyz解：设坐标；解：设坐标；mm.)(3441046161043210432 zyxzEMPaMPa150550 yxz 、。松松比比混混凝凝土土各各边边的的应应力力。泊泊作作用用，不不记记摩摩擦擦，求求压压力力地地放放在在刚刚性性凹凹座座里里。受受无无空空隙隙，的的正正方方形形混混凝凝土土块块，一一边边长长例例61kN300mm2004413 PaMPa.).()(MPa.z2515761010572 zyzxyyxEaPAP P解：确定坐标x

33、yz13-5 13-5 强度理论强度理论P铸铁压缩铸铁压缩1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变形杆将怎样破坏？P低碳钢低碳钢一、一、强度理论的概念：强度理论的概念：铸铁铸铁强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。材料的破坏形式：1. 屈服； 2. 断裂 。1、最大拉应力（第一强度）理论：认为构件的断裂是由最大 拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸时的强度极限时 ，构件就断了。破坏判据：0)( ; 11 b强度准则： 0)( ; 11 适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。 二、常用的四个强度理论：二、常用的四

34、个强度理论：2、最大伸长线应变（第二强度）理论：最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最 大拉应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的 极限应变时，构件就断了。破坏判据：0)( ; 11 b强度准则：适用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。 EEb 32111 b 321 3213、最大剪应力（第三强度）理论最大剪应力（第三强度）理论：认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。破坏判据：s max适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。 ss 2231maxs 31强度准则： 31332211212121 u)(32131 m

35、 2 3 1图图 a m m m图图 b 2 3 1- m- m- m图图 cbaE )(321321210 c 312321232221221 E体积应变：体积应变：（1） 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能4、形状改变比能理论（第四强度理论）形状改变比能理论（第四强度理论） ： 21323222161 Euuuvx: c比比能能其其应应变变能能称称为为形形状状改改变变单单元元体体只只有有形形状状改改变变，图图xvuuu:b变变比比能能其其变变形形比比能能称称为为体体积积改改单单元元体体只只有有体体积积改改变变，图图232126212213)()( EEumv变变形形比比能能为

36、为：状状改改变变，同同时时发发生生体体积积改改变变和和形形一一般般情情况况下下，单单元元体体将将（2 2）形状改变比能理论（第四强度理论）形状改变比能理论（第四强度理论） ：认为构件的屈服是由形状改变比能引起的。当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。破坏判据：xsxuu max强度准则适用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。 21323222161 Eux s 21323222121 21323222121三、强度理论的应用 r其中， r相当应力。11 r3212 r213232221421 r313 r ns , 2 . 0b31 yLrM（1）相当应力：(2)强度计算的步骤：1、外力分析：确定所需的外力值。2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。(b)(a)解: (a) 单元体，平面应力状态: (b) 单元体