线性代数XD3-6

1、3.6 几种常用的特殊矩阵几种常用的特殊矩阵对角矩阵对角矩阵准对角矩阵准对角矩阵三角矩阵三角矩阵对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵小结小结一、对角矩阵一、对角矩阵A()ijAa0,( ,01,2, )ijaij i jn可简记为可简记为11nnaa1122000000000nnaaAa 定义定义1 1 如果如果阶方阵阶方阵n中的元素满足，中的元素满足，则称则称 对角矩阵对角矩阵即：即：对角矩阵的运算有下列性质：对角矩阵的运算有下列性质：（1 1）同阶对角矩阵的和、差以及数与对角矩阵的乘）同阶对角矩阵的和、差以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵积仍是对角矩阵（2 2）对角矩阵的转置仍是对角矩

2、阵，且）对角矩阵的转置仍是对角矩阵，且.TAA（）（）任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，并且它们是可以交换的并且它们是可以交换的（5）对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元素都）对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元素都不等于零且不等于零且BAbababbaaABnnnnnnnn 11111111可逆时，有1naAa 1111naaA(4)naaA1 naaa21 kEkkA 对角矩阵对角矩阵称为称为n阶数量矩阵，阶数量矩阵，数量矩阵有性质：数量矩阵有性质： 用数量矩阵左乘或右乘（若可用数量矩阵左乘或右乘（若可乘）一个矩阵乘）一个矩阵,B其乘积

3、等于用数其乘积等于用数k乘矩阵乘矩阵.B记为记为.kE二二 准对角矩阵准对角矩阵定义定义2 2 形如形如的分块矩阵，的分块矩阵，称为准对角矩阵称为准对角矩阵 其中主对角线上的其中主对角线上的都是小方阵，可简记为都是小方阵，可简记为12000000sAAA12,sA AA12sAAA对角矩阵可作为准对角矩阵的特殊情形对角矩阵可作为准对角矩阵的特殊情形如下列矩阵都是准对角矩阵：如下列矩阵都是准对角矩阵：12200000310000570019AAA12200001200000300013BBB准对角矩阵具有下列性质：准对角矩阵具有下列性质：（1 1）两个具有相同分块的准对角矩阵的和、差、数）两个具

4、有相同分块的准对角矩阵的和、差、数与准对角矩阵的乘积仍是准对角矩阵与准对角矩阵的乘积仍是准对角矩阵1122,ssABABABAB 12,skAkAkAkA 准对角矩阵的转置仍是准对角矩阵，但是（一般）准对角矩阵的转置仍是准对角矩阵，但是（一般）TAA 准对角矩阵的乘积仍是准对角矩阵，但是（一般）准对角矩阵的乘积仍是准对角矩阵，但是（一般）ABBA 1111sAAA 准对角矩阵可逆的充分必要条件是准对角矩阵可逆的充分必要条件是iA可可逆逆1sAAA 12.TTTTsAAAA 三三 三角形矩阵三角形矩阵定义定义3 3形如形如的的n阶方阵，阶方阵，即主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵即主

5、对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵形如形如的的阶方阵，阶方阵，n111212220000nnnnaaaaaa11212212000nnnnaaaaaa即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵上（下）三角形矩阵具有下述性质：上（下）三角形矩阵具有下述性质：（1 1）若）若, A B是两个同阶的上（下）三角形矩是两个同阶的上（下）三角形矩阵，则阵，则,AB kA AB仍为上（下）三角形矩阵；仍为上（下）三角形矩阵；（3 3）上（下）三角形矩阵可逆的充要条件是）上（下）三角形矩阵可逆的充要条件是它的主对角元都不为零它的主对角元都不为零

6、 当上（下）三角形矩阵可当上（下）三角形矩阵可逆时，其逆矩阵仍为上（下）三角形矩阵逆时，其逆矩阵仍为上（下）三角形矩阵（2 2）TA 上上下下三三角角TA 下下上上三三角角11212212000,nnnnaaaAaaa 111112210.*nnaaAa 则则四四 对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵定义定义4 4如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足,TAA则称则称A为对称矩阵为对称矩阵由定义知，对称矩阵由定义知，对称矩阵()ijAa中的元素中的元素( ,1,ijjiaai j2, ),n因此，对称矩阵的形式为因此，对称矩阵的形式为111211222212.nnnnnnaaaaaaaaa111

7、212220,00nnnnaaaaaAa 11111221*.0nnaaAa 对称矩阵有下列性质：对称矩阵有下列性质：（1 1）如果）如果,A B是同阶对称矩阵，则是同阶对称矩阵，则,TAB AB kA A也是对称矩阵也是对称矩阵（2 2） 可逆对称矩阵可逆对称矩阵A的逆矩阵的逆矩阵1A仍是对称矩阵仍是对称矩阵注意注意两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例如例如均为对称矩阵，均为对称矩阵，1101,1010AB 1()TA1()TA1A()TTTABB ABAAB?但但不是对称矩阵不是对称矩阵110111,101001AB定义定义5 5 如果如果n阶方阵阶方阵A

8、满足满足,TAA 则称则称A为反对称矩阵为反对称矩阵由定义知，反对称矩阵由定义知，反对称矩阵()ijAa中的元素满足中的元素满足( ,1,2, ).ijjiaai jn 因此，反对称矩阵主对角线因此，反对称矩阵主对角线上的元素一定为零即反对称的形式为：上的元素一定为零即反对称的形式为：1211221200.0nnnnaaaaAaa 根据反对称矩阵的定义，易证以下性质：根据反对称矩阵的定义，易证以下性质：（1 1）若）若,A B是同阶反对称矩阵，则是同阶反对称矩阵，则,TAB kA A都是反对称矩阵都是反对称矩阵 （2 2）可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称

9、矩阵TAA （3 3）奇数阶反对称矩阵不可逆，因为奇数阶的）奇数阶反对称矩阵不可逆，因为奇数阶的反对称矩阵的行列式等于零反对称矩阵的行列式等于零注意注意 两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵1()TA 1()TA 1()A 1A ()()()TTTABB ABABA AB ?例例1证明：证明： 为对称矩阵，则为对称矩阵，则 对称对称 A, ()TTTAAA A k AA ()Tk AA 反对称反对称 证明：证明：TAA ()TTAA()TTTAA TAA TAA对对称称()TTA A()TTTAA TA A TA A对对称称()TTk AA () )TTTk AA()Tk AA()Tk AA()Tk AA对对称称()TTk AA () )TTTk AA()Tk AA()Tk AA ()Tk AA反反对对称称例例2 对称对称 ， 反对称，证明反对称，证明 反对称。