线性代数课后习题答案全解.pdf

1、第一章 行列式1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式 :(1)21- 1 0 1- 4 - 1; 8 3解21- 1 0- 4 8 1- 1 3=2×(- 4)×3+0×(- 1)×(- 1)+ 1×1×8- 0×1×3- 2×(- 1)×8- 1×(- 4)×(- 1)=- 24+8+ 16- 4=- 4.(2)ab cbca c ab;解ab cb c a cab= acb+ bac+ cba- bbb- aaa- ccc= 3abc- a3- b3- c3.(3)1

2、1 1a b c ; 2 2 2a b c解1a2a1b2b1 c2c2+ ca2+ab2- ac2- ba2- cb2=bc= (a- b)( b- c)( c- a).(4)xx y+yx y+ xyx+ x yy.解xxy+yx y+ xyx+ x yy= x(x+y)y+yx( x+y) +(x+ y)yx- y 3- (x+y)3- x3= 3xy(x+ y)- y 3- 3x2 y- x3- y3- x3=- 2(x ). 3+y32 . 按自然数从小到大为标准次序 , 求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4 ;解 逆序数为 0(2)4 1 3 2 ;解 逆序数为 4: 41

3、, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1 ;解 逆序数为 5: 3 2 , 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3 ;解 逆序数为 3: 2 1 , 4 1, 4 3.(5)1 3 ?(2n- 1) 2 4 ?(2n);解 逆序数为n(n -21):3 2 (1 个)5 2 , 5 4(2 个)7 2 , 7 4, 7 6(3 个)? ? ?(2 n- 1)2, (2n- 1)4 , (2n- 1)6 , ?,(2n- 1)(2 n- 2) (n- 1 个)(6)1 3 ? (2 n- 1) (2 n) (2 n- 2) ?2.解 逆序数为 n( n- 1) :3 2

4、(1 个)5 2 , 5 4 (2 个)? ? ?(2 n- 1)2, (2n- 1)4 , (2n- 1)6 , ?,(2n- 1)(2 n- 2) (n- 1 个)4 2(1 个)6 2 , 6 4(2 个)? ? ?(2 n)2, (2n)4, (2n )6, ?,(2 n)(2 n- 2) (n- 1 个)3 . 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项.解 含因子 a11a23的项的一般形式为(- 1) ,ta11a23a3ra4s其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 , 这种排列共有两个 , 即 24 和 42.所以含因子 a11a23的项分别是( - 1) ,ta11a23

5、a32a44=(- 1)1a11a23a32a44=- a11a23a32a44( - 1) .ta11a23a34a42=(- 1)2a11a23a34a42=a11a23a34a424 . 计算下列各行列式 :(1)4110 01251 2021 4 207;解4110 01251202142074c - c2 3 1= 10c - 7c 4 30- 1 2302021-102 140=4110- 1 23- 10214×(-1)4+3c +c4 - 1 102 39 9 10= 1 2 - 2 = 0 0 - 2 =0110 3 14 c + c 17 17 141 2 3.(

6、2)23151 4 1- ;1 2 12 3 20 6 2解2315 1- 1 20423611222 1c - c4 2 -3 1= = 1 25 042360202 2 1r - r4 2 -3 1= 1 22 142340200r - r4 1=2310 1- 1 20 4 2 30 0 200=0.(3)- ab bdbf ac- cd cfaede- ef;解- ab bdbf-accdcfaede- ef=adf- b bb c- c cee- e - 1 1 1= adfbce 1 - 1 1 = 4abcdef . 1 1 - 1(4)a 1 0 0- .1 b 1 00 -

7、1 c 10 0 - 1 d解 a- 1 001b- 1 001c- 1 0 0 1dr +ar1 2= 0- 1 001+ ab b- 1 0a1c- 1 0 0 1d1+ ab=( 2+1- 1)( - 1) - 1 0a c- 1 0 1dc + dc1+ ab a ad3 2= - 1 c 1+ cd 0 - 1 01+ ab ad= + 1 1( 3 2 =abcd+ab+cd+ad+1. - +cd- 1)(- 1)5 . 证明:(1)2a2a 12ab b3a+b 2b = (a- b) ; 1 1证明a22a 1 aba+b 1b22b 1c - c2 1= =c - c3 12a2a 1ab - b-02 aa2b2b-02a2a2 2 2ab - a - b- - a b+ab a3= 3+ ( )( )1 2(- 1) = a b a = (a- b)1b- a 2b- 2a.(2)axayaz+by +bz+bx