第九章第七节方向导数与梯度

1、 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最剧烈的方向（即梯度方向）爬行问题的提出问题的提出l000(,)Pxy一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数( , )f x y0limtft则称lf00(,)

2、xyfl0,tPP为函数在点 处沿方向 l 的方向导数方向导数.00000(cos ,cos)(,)limtf xtytf xyt在点 000(,)P xy处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P记作记作 讨论函数 在一点P 沿某一方向的变化率问题),(yxfz 0P方向导数的另一种定义形式方向导数的另一种定义形式：00000(,)2200( , )( ,)lim,()() ,tx yff x yf x ylttxxyy方向导数与偏导数存在性的关系 偏导数存在 沿 轴正向和 轴正向的方向导数存在,且与之相等. 沿x正向的方向导数存在不能推出关于x的

3、偏导数存在.xy22222(0,0)00:,(0,0)0lim1,lim.xzxyxxyfxlx 例如在处的沿 轴正向的方向导数为而不存在,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:(计算公式）计算公式）则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,0limtffltcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf( )ffffxyzo txyzt(coscoscos)fffxyz且有( )o t在点 P 可微 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 tP故coscoscoszfyfxf机动 目录 上页 下页 返回

4、结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxPflcos),(cos),(yxfyxfyxPlxyol向角 注意:此定理只是方向导数存在的充分条件.举例 在原点不连续当然不可微,但在始于原点的射线上,都存在包含原点的充分小的一段,在这一段上,f恒为零,所以在原点沿任何方向的方向导数都为零.21,0( , )yxf x y当时0,其余部分例1. 求函数求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2(2, 1,l 3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz21yx朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxzPl它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1617xy24(32 )17xy(2,3)4, 1 (174cos1机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 增长最快的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxfG,)cos,cos,(cos

6、0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax1. 定义定义grad ff或者即grad f同样可定义二元函数),(yxf),(yxP,fffffijxyxyrr称为函数 f 在点 P 处的梯度zfyfxf,fffijkxyz记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 G向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值（高）线等值（高）线 . , ),(yxfz 对函数2. 梯度的几何意义梯度的几何意义例如例如,图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数

7、xyzsin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值（高）线等值（高）线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的一个法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设P, ),(yxfz 对函数向向导导数数的的方方于于函函数数在在这这个个法法线线方方向向模模等等高高的的等等高高线线，而而梯梯度度的的值值较较值值较较低低的的等等高高线线指指向向数数从从数数线线的的一一个个方方向向相相同同，且且在在这这点点的的法法高高线线的的等等的的梯梯度度的的方方向向与与点点在在点点函函数数c

8、yxfPyxPyxfz ),(),(),(，所以所以此时此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导数为沿该法线方向的方向导数为2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样, 对应函数, ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为.gradPf指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式（这里梯度的基本运算公式（这里u,v都是都是x,y,z的函数）的函数）0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgr

9、ad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 设,52zxyzu求在点)1, 1,0(M处方向导数的最大(小)值。解,yzxu,xzyu,2zxyzu)1, 1 , 0()1, 1 , 0()2,(gradzxyxzyzu)2,0, 1(从而max|grad|5 Muulmin|grad|5Muul 例例1222222,)02,zxyuua b ccab设问 在点（处沿哪个方向增大最快，沿哪个方向减小最快，沿哪个方向变化率为例？( , , )2 21 1, ),2,1 111, ,.yza bcu

10、 ub cb cb cb cx(a,b,c)解：因为函数的方向导数反映的就是函数在该点沿指定方向的变化率，即变化快慢，而在梯度方向取得极大值，21gradu=(u-aa-11所以在方向函数增长最快，在方向函数aa减少最快,在与上述方向垂直的方向上变化率为0三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(gradPf( 势 )如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的

11、关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）四、小结最最大大值值。梯梯度度的的模模为为方方向向导导数数的的快快的的方方向向在在这这点点增增长长最最梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数 .),(yxf1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 ),

12、(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系任意方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线23 21 xtytzt在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .2. P130 题 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx

13、1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量)0,1,2(grad)2(Mf13061306arccosMfgrad机动 目录 上页 下页 返回 结束 l cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2. P130 题题 16备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugr

14、ad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d2. 函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ) 1 ,2,2(

15、AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21练练 习习 题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.三、三、 设设vu,都是都是zyx,的函数的函数, ,vu,的各偏导数都存在且的各偏导数都存在且连续连续, ,证明证明: :ugradvvgraduuvgrad )(四、四、 求求222222czbyaxu 在点在点),(000zyxM处沿点的向处沿点的向径径0r的方向导数的方向导数, ,问问cba,具有什么关系时此方向导具有什