2005考研数二真题及解析

1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分，请将答案写在答题纸指定位置上设y(1sinx)x,则dyx=3(1X)2(1) 曲线y的斜渐近线方程为vx1 xdx0(2x2),1x2(4)微分方程xy2yxlnx满足y(1).1xarcsinx.cosx是等价无穷小，则当x0时，(x)kx2与(x)k=.设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A(1,2,3)，BA(1,2,3)，B3,12243,13293)，如果A1,那么B二、选择题：7-14小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内

2、设函数f(x)设函数f(x)，则f(x)在(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,MN表示M的充分必要条件是N则必有()(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(M是周期函数(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.xt2t(9)设函数yy(x)由参数方程确定，则曲线yy(x)在x3处的法线与xyln(1t)轴交点的横坐标是()1(A)In23.8(C)8In23.1(A)In23.8(C)8In23.1(B)-I

3、n23.8(D)8ln23.(10)设区域D(x,y)x2y24,x0,y0,f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常(A)ab(A)ab(B)ab(C)(ab)(D)ab(11)设函数u(x,y)(xy)有一阶导数，则必有()xy(xy)xy(t)dt,其中函数具有二阶导数(A)(B)(C)2u-2.y(D)2u2uxy2x22-a、f(x)f(y)d、f(x).f(y)(12)设函数f(x)1冲x,则()1(A)x0,x1都是f(x)的第一类间断点.(B)x0,x1都是f(x)的第二类间断点.(C)x0是f(x)的第一类间断点,x1是f(x)的第二类间断点(D)x0是f(x)的第二类间断点

4、,x1疋f(x)的第类间断点(13) 设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为1,2,则1,A(12)线性无关的充分必要条件是()(A)10.(B)20.(C)10.(D)20.(14) 设A为n(n2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则()(A)交换A*的第1列与第2列得B*.(B)交换A的第1行与第2行得B*.(C)交换A*的第1列与第2列得B*.(D)交换A*的第1行与第2行得B解答应写出文字说明、三、解答题：15-23小题，共94分请将解答写在答题纸指定的位置上证明过程或演算步骤(15)(本题满分11分)x0(xt)f(t)

5、dt设函数f(x)连续，且f(0)0,求极限lim0xx0xx0f(xt)dt(16)(本题满分11分)1如图c和C2分别是y(1ex)和yex2的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly记G,C2与lx所围图形的面积为3(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S,x)S2(y),求曲线C3的方程x(y).(17)(本题满分11分)如图，曲线C的方程为yf(x),点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数

6、，计算定积分32n(xx)f(x)dx.(18) (本题满分12分)用变量代换xcost(0t)化简微分方程(1x2)yxyy0,并求其满足y1,yn2的特解.Jx0Jx0(本题满分12分)已知函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1.证明：(I) 存在(01),使得f()1；(II) 存在两个不同的点,(0,1),使得f()f()1.(20)(本题满分10分)已知函数zf(x,y)的全微分dz2xdx2ydy,并且f(1,1)2.求f(x,y)在椭圆2域D(x,y)x21上的最大值和最小值.4(21)(本题满分9分)计算二重积分x2y21d，其中D(x,y)0

7、x1,0y1D(22)(本题满分9分)确定常数a,使向量组(1,1,a)T,2(1,a,1)T,3(a,1,1)T可由向量组1(1,1,a)T,2(2,a,4)T,3(2,a,a)T线性表示，但向量组1,2,3不能由向量组2,3线性表示.(23)(本题满分9分)已知3阶矩阵A的第一行是1 23(a,b,c),a,b,c不全为零矩阵B2 46(k为常数),3 6k且AB0,求线性方程组AX0的通解.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【详解】先求出函数的导数,再求函数在某点的微分.方法1:利用恒等变形得y(1sinx)x=exln(1sinx)cosx1sinx,从

8、而dyx=y()dxdx.方法2：两边取对数，lnyxln(1sinx),对1,.、xcosx4yln(1sinx)y1sinx于是y(1sinx)xln(1sinx)ln(1sinx)y故dy=y()dxdx.xx求导，得xln(1sinx)ecosx_x,1sinx(2)曲线3(1x)2x的斜渐近线方程为【详解】由求斜渐近线公式axb(其中alimxf(x)xblimf(x)ax),得:alimxf(x)limx3(1x)2X、x1,blimxf(x)axlimx(13x)2x于是所求斜渐近线方程为(3)【详解】通过还原变换求定积分方法1：令xsint(0t2),则xdx0(2x2).1x

9、2sintcost2dt(2sint)cost啤;dtsintidcost201costarctan(cost)|#4方法2:令1x2t，有x21t2,所以有xdxtdt,其中yexm(x)(x)1xarcsinxkx2、cosx=limx0xarcsinx1cosxkx2(1xarcsinxvcosx)所以12kxm0xarcsinx12x1arcsinx1cosx2klimx0xlimx02xcosxlim-cosx1,limarcsinx.ulim12arcsinxx02x0xxu0sinu又因为(x)1limx(x)2k(21)34kdx1xdxarctant01t210(2X2)j1

10、x204(4)【答案】y111-xlnxx.39【详解】求方程色P(x)yQ(x)的解,有公式P(x)dxP(x)dxQ(x)edxC(其中C是常数).2将原方程等价化为yyInX,于是利用公式得方程的通解x?dx3dxyexInxexdxC211C1 xInxdxC=xInxx2,(其中C是常数)x39x111由y(1)得C0,故所求解为yxlnxx.939(5)【详解】由题设【答案】2【详解】方法1:因为(11123)(1,2,3)1,(122343)(1,2,3)21493)(3)3,923,12243,13293)一(3)113)，两边取行列式汙是有2.，把某行的各元素分别乘以非零常数

11、加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变方法2:利用行列式性质(在行列式中又因为23=2二、选择题【答案】【详解】分段讨论2243,13293113,3,2283223一一一一3,232,13一23322,2=211,故B2.，并应用夹逼准则，当|x|1时,有n1n1|x|3nn2，命取极限，得limn1n1,limn2n1,由夹逼准则得f(x)limn1|xjn3n当|x|1时,f(x)limn1n1limn2n当|x|1时,|x|3卩讦n2FTn2|x|3,命n取极限,得limn2|x|3n|x|3,由夹逼准则得nf(x)limn|x|3(&|x|1

12、1)；|x|3.1,所以f(x)3x|x|1|x|1再讨论f(x)的不可导点.按导数定义，易知x1处f(x)不可导，故应选(C).(8)【答案】A【详解】方法1应用函数奇偶性的定义判定，x函数f(x)的任一原函数可表示为F(x)of(t)dtC,且F(x)f(x).当F(x)为偶函数时，有F(x)F(x),于是F(x)(1)F(x),即f(x)f(x)亦即f(x)f(x),可见f(x)为奇函数；x反过来，若f(x)为奇函数，则F(x)0f(t)dtC,令tk,则有dtdk,所xxx以F(x)of(t)dtCqf(k)dkCof(k)dkCF(x),x从而F(x)qf(t)dtC为偶函数，可见(

13、A)为正确选项.方法2：排除法，令f(x)1,则取F(x)x1,排除(B)、(C);12令f(x)x,则取F(x)-x,排除(D);2(9)【答案】A2【详解】当x3时，有t2t3,得ti1,t23(舍去,此时y无意义),dy1曲线yy(x)的导数为dydt1t1dxdx2t22(t1)2，dt所以曲线yy(x)在x3(即t11)处的切线斜率为18于是在该处的法线的斜率为8,所以过点(3,ln2)的法线方程为yIn28(x3),一1令y=0,得其与x轴交点的横坐标为：ln23,故应(A).8(10)【答案】D【详解】由于积分区域D是关于y【详解】由于积分区域D是关于yx对称的，所以x与y互换后

14、积分值不变，所以有a(x)b、f(y)ddvf(x)f(y)a(x)b、f(y)ddvf(x)f(y)a、f(y)b、f(x)d、f(y),f(x)(11)【答案】Bu(11)【答案】Bu【详解】因为2可见有一2x(12)【答案】1ajf(x)bf(y)2da、f(y)b.、f(x)(x(xif(x),f(y)；f(y)d.f(x)y)y)(xy)22应选(D).(xy)(xy)(xy),(xy)(xy)(xy)(xy),(xy)(xy),(xy)(xy)(xy)(xy),2u-2y2u2y【详解】由于函数且limf(x)x0(xy)(xy)(xy)(xy),，应选(B).f(x)在x，所以0

15、,x1点处无定义，因此是间断点x0为第二类间断点;limf(x)0,limf(x)1,所以x1为第一类间断点，故应选(D).x1x1(13)【答案】B【详解】方法1:利用线性无关的定义1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义,有A111,A222A(12)1122.设有数k,k2，使得k11k2A(12)0,则k11k211k?220(kk?1)1k?220因12，因不冋特征值对应的特征向量必线性无关，故1,2线性无关，则k1k210,k220.当1120时,方程只有零解，则k10,k20,此时1,A（12）线性无关；02反过来,若1,A（12）线性无关,则必然有20

16、（否则,1与A(12)=11线性相关）,故应选（B）.方法2:将向量组的表出关系表示成矩阵形式由于由于1,A(2分别是特征值1,A2221A(12对应的特征向量A(12)111,1122,根据特征值、特征向量的定义2,因不同特征值对应的特征向量必线性无关2）线性无关，则1,A(12）2线性无关min,r2,2,从而r2,从而r2,从而1,1,1A(1从而1,A(0,则r2,又2,2线性无关，则2)12）线性无关的充要条件是20.故应选（B）.方法3:利用矩阵的秩2分别是特征值2分别是特征值2对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义因12,因不冋特征值对应的特征向量必线性无关，故1,2线性无关

17、，又A(12)1122，故1，A(12）线性无关r(1,A(12)2将1的-1倍加到第2列又因为1,11221,22则r(1,1122)(1,22)220(若20,与r(1,22)2矛盾）11,A222A(i2)11221，2分别是特征值1，2分别是特征值方法4:利用线性齐次方程组1,2对应的特征向量,根据特征值、特征向量的定义1,A(1,A(1,1,A222A(12)1122.2，因不同特征值对应的特征向量必线性无关2）线性无关22线性无关0,X0只有零解，又0只有零解1,11，故2线性无关,2线性无关时X1X21,2Y0只有零解，故YX1X20,只有零解，0的系数矩阵是个可逆矩阵X2方法5

18、：方法5：0，故应选（B）2线性无关1,2分别是特征值1,2对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有11,A222A(12)向量组2和向量组II:1,A(12)1122.显然向量组II可以由向量组线性表出；当0时，不论1的取值如何，向量组I可以由向量组II线性表出1)A(122),从而I,II是等价向量组20时,r1，2(14)【答案】【详解】(C)方法1:由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第行所得),使得E12AB,(A进行行变换，故A左乘初等矩阵),于是B(%A)E12,又初等矩阵都是可逆的，故e121E12E12又E121(行列式的两行互换，行列式反号),E12

19、1巳2,故AE12AE121*1*E12AE12AE12,即A*E12B*，可见应选(C).方法2:交换A的第一行与第二行得B,即BE12A.又因为A是可逆阵，E121故BE12AE12AA0,所以B可逆,且B1(E12A)1A1E12.1A1B又A|A，BBBA同,故冋闪E12,又因BA,故A*E12三、解答题【详解】x0f(x(15)作积分变量代换0t)dtxf(u)(du)tu,则x0f(u)du,x0(xlimxx0x0f(xt)dtxx0f(t)dtlim-x0Xx0f(u)dutf(t)dt洛必达法贝q0xf(t)dtxf(x)xf(x)lim-rx00f(u)duxf(x)整理上

20、下同除xdXL/VfXo叫HXxf(x)f(u)du而lim1X0xx0f(t)dtx(0f(t)dt)limx0xlim0f(x)f(0)x0所以由极限的四则运算法则得原式x0f(t)dtlimx0xf(t)dt1Xf(X)-0f(t)dtlimf(x)lim1Xf(t)dtx0x0f(0)01f(0)f(0)f(0)2(16)【详解】由题设图形知,C3在G的左侧,根据平面图形的面积公式得xt1t1Si(x)0et1et)dt-(exyS2(y)1(lnt(t)dt,由3(x)S2(y),得1xy?(ex1)1(lnt(t)dt,注意到M(x,y)是yex的点，十口1y于是(ylny1)1(

21、lnt(t)dt整理上面关系式得函数关系为:(y)lny2y(17)【详解】由直线h过(0,0)和(2,4)两点知直线h的斜率为2.由直线h是曲线C在点(0,0)2.另外由点(3,2)是曲线C的一的切线，由导数的几何意义知f(0)2.同理可得f(3)个拐点知f(3)0.由分部积分公式3(x20x)f(x)dx320(x2x)df(x)(x2x)f(x)3300f(x)(2x1)dx(18)【详解】由题设xdydtdtdx(323)f(3)(0230(2x1)df(x)(231)f(3)(2=162f(3)cost(0t丄史ysintdtf(0)30)f(0)0f(x)(2x1)dx332f(x

22、)dx00(2x1)f(x)301)f(0)20f(x)dx20.sint,由复合函数求导的链式法则得dydtdtdxcostdy跖二2itd#sintdt十),d2y(代入原方程,(1cos2t)学鱼2sintdtsintdt佥)cost(1dy)sintdt0,化简得马dt2y0,其特征方程为10,特征根1,2i,通解为yC1costC2Sint所以yC1costC2sintC1xC21x2将初始条件X。1,代入得,1C10C2、10C2,即C21.C1xC2(.1x)C12x2、1x220x02代入得2C1：C1,即G2.2/10将C1将C12,C21代入通解公式得满足条件的特解为y2x

23、-.1x2,1.(19)【详解】(I) 令F(x)f(x)1x,则F(x)在0,1上连续，且F(0)10,F(1)10,于是由闭区间连续函数的介值定理知存在(0,1),使得F()0,即f()1.(II) 在0,和,1上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点01于是f()f()()1f()1111.(20)【详解】由dz2xdx2ydy知-zz-2x2y.对2x两边积分得xyxzf(x,y)x2c(y)将z(x,y)2xc(y)代入-2y得c(y)2y.所以yc(y)y2c.所以zx2y2c.再由x1,y1时z2知，c2.于是所讨论的函数为z22xy2.求z在x22y1中的驻点.

24、由z2x,二2y得驻点(0,0)，对应的4xyzf(0,0)2.2讨论zx2y22在D的边界x2-=1上的最值，有两个方法4方法1：把y24(1x2)代入z的表达式，有z22cu2xy2=5x2,1x1J10x命zx0解得x0,对应的y2，zx0，y22还要考虑1x1的端点x1，对应的y0，zx1，y03由z2，z2，z3比较大小，故minz2(对应于x0,y2)，maxz3(对应于x0，y2)方法2：用拉格朗日乘数法，作函数F(x,y,)x2y22(x21)4Fxx2x2(1)x0,解方程组Fyfy2y1y0y22F2x2匕104由上面的第-个方程解得x0或1:i当x0时由最后一个方程解得y

25、2；1是由第二个方程解得y0,这时由最后一个方程解得1.故解得4个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0),(1,0).计算对应z的值:再与(0,2)2，Z(0,2)2，z(1,0)3,z(1,0)3（0,0）2比较大小，结论同方法1.的圆周，划分D如下图为D1与D2.0为以O为中心半径为(21)D2后一个积分用直角坐标做2222【详解】D:xy1(x,y)D2(x,y)D1(x21)dxdy22(xy1)dxdyD21120dx1x2(x1)dy1(x2021)(x1)1x2(1-3x2)2dx1(x20223)3(13x2)2dx2122xdxdx-003310(13x2)2dx方法

26、02(1。珂1o(14前一个积分用极坐标做，所以D1(122cos2tcos2t)dt2cos2t1cos4t)dt2y2)dxdyy21d2cos2t学dto2d02(2cos2t10(1r2)rdr2:由于区域D2的边界复杂，计算该积分较麻烦cos4t1)d8，可以将d2内的函数扩充”到整个区域D2/22(Xy1)d(x2Dy21)d因此22xy1d=(1X2y2)dDD1D2(1X2y2)d+(x2y21)dD1D2(1x2y2)d22+(xy1)dD1D由极坐标(1X2y2)dxdy0；(1r2)rdrD=DAJD2，再减去扩充”的部分，就简化了运算即2（XD1(x2D10珂0D1(x

27、2y21)d1)dy21)d4)d(x21)d10dy0(X21)dx103(y211)x0dy所以011dy0(y21yoX21d=2（22）【详解】方法1a0a11a01a1a21方法1a0a11a01a1a21记A（!,2,3）,B（1,2,3）.由于1，2，3不能由1，2，3线性表出，故AAr(A)1,2,3线性表出）,从而2a11按第3列展开(2a)(1)131提取第1行的公因子（2a）(21a)1a(2a)(a1)20（其中（1）13指数中的1和3分别是1所在的行数和列数）从而得a1或a2.当a1时,12311,1,1T,则12310203，故1,2,3可由1,2,3线性表出，但2

28、2,1,4t不能由1,2,3线性表出（因为方2111k1k2k32程组21K1k21k31，即k1k2k31无解），故a1符合题意.4111k1k2k34当a2时，由于122:112122:1122行1行,BA122:121000:0333行1行2242:211006:0003,系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等,故方程组因r(B)2r(B2)BX2无解，故2不能由1,2,3线性表出，这和题设矛盾，故a2不合题意.因此a1.方法2：对矩阵A（1,2,31,2,3）作初等行变换，有12211aA(1,2,31,2,3)=1aa1a1a4aa111行，122:11a2行3行1行0a2a20a10a0

29、42a3a01a1a122:11a3行2行20a2a20a10,00a4-03(1a)1a122112当a0000302时,A,不存在非零常数匕*2,k30060331122使得3k10k20k30,2不能由1,2,3线性表示，因此a2；3006当a4时,122114A0660300000933不能由3线性表示，不存在非零常数K,k2,k3,使得而当a4时,秩r（1,2，3）3,此时向量组1,2,3可由向量组1,2,3线性表示.又11a122(1,2,31a11aaa11a4a2行1行，3行1行a1220a2a2042a3a11ai:1223行2行0a11a:0a2a2,002a2a:063a

30、4a2由题设向量组组1,2,3不能由向量组1,2,3线性表示，则方程组123X1或123X2或123X3无解,故系数矩阵的秩增广矩阵的秩，故r(B)r123又当a2且a4时,r(B)3,则必有a10或2aa20,即a1或a2.综上所述，满足题设条件的a只能是：a1.1,2,3线性表出，故r（A）3,（若r（A）3,则任何三维向a1002aa1提取第1行的公因子（2a）（2按第3列展开(2a)(1)131111a)1a1a110a1a10方法3：记A1,2,3,B1,2,3,对矩阵AB作初等行变换，得11a:122A：B(1,2,31,2,3)1a1:1aaa11:a4a11a:1222行1行,0a11a0a2a23行1行a201