2008考研数一真题及解析

1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题,每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内X2设函数f(x)°ln(2t)dt,则f(x)的零点个数()A0B1C2D3x函数f(x,y)arctan在点(0,1)处的梯度等于()yAiB-iCjD在卜列微分方程中，以yC1exC2cos2xC3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是()ayy4y4y0.Byy4y4y0.cyy4y4y0.Dyy4y4y0.设函数f(x)在(，)内单调有界,xn为数列，下列命题正确的是()A若xn收敛，则f(x

2、n)收敛.B若Xn单调，则f(xn)收敛C若f(Xn)收敛，则xn收敛D若f(xn)单调，则Xn收敛.3设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，满足A0,则()AEA不可逆,EA不可逆.BEA不可逆,EA可逆.CEA可逆,EA可逆.DEA可逆,EA不可逆.x设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x,y,z)Ay1在正交变换下的标准方程z的图形如图，则A的正特征值个数为()A0.A0.B1.C2.D3.，且X分布函数为(7) 设随机变量X,Y独立同分布maxX,Y分布函数为()AF2x.2C11Fx(8)设随机变量XN0,1,丫N1,4，且相关系数xy1,则()APY2X11.BPY2X11.C

3、PY2X11.DPY2X11.二、填空题：9-14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 微分方程xyy0满足条件y11的解是y.(10) 曲线sinxyInyxx在点0,1处的切线方程为.(11) 已知幕级数anx2°在x0处收敛，在x4处发散，则幕级数anx3°的n0n0收敛域为.(12) 设曲面是Z寸的上侧，贝Uxydydzxdzdxx2dxdy.(13) 设人为2阶矩阵，1,2为线性无关的2维列向量，A10,A2212,则A的非零特征值为.2设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PXEX.三、解答题：15-23小题，共94分请将解答写在答题

4、纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(14) (本题满分9分)求极限limx0求极限limx0sinxsinsinxsinx(15) (本题满分9分)计算曲线积分计算曲线积分sin2xdx2Lx21ydy,其中L是曲线ysinx上从点0,0至U点,0的一段.(17)(本题满分11已知曲线2z23z0，求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分）设fx是连续函数，(I)利用定义证明函数(I)利用定义证明函数xftdt可导,且Fx0(II)当fx是以2为周期的周期函数时证明函数Gx(II)当fx是以2为周期的周期函数时证明函数Gxx2ftdt02xftdt也

5、0是以2为周期的周期函数(本题满分11分)2fx1x0x展开成（以2为周期的)余弦级数，并求级数nn112的和。1n(本题满分10分)ATT,是三维列向量，T为的转置，T为的转置(I) 证r(A)2;(II) 若，线性相关，则r(A)2.(19) (本题满分12分)2a1设矩阵A2a2a.,现矩阵A满足方程AXB,其中1a22annTTXXi,，Xn,B1,0，0(I)求证Ann1a(II)a为何值，方程组有唯一解，求Xi(III)a为何值，方程组有无穷多解，求通解(本题满分11分)1设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为PXi-i1,0,1,Y的概率密310y1度为fYy，记ZXY0其匕1

6、(I) 求PZ-X02(II) 求Z的概率密度.(20) (本题满分11分)设X1,X2，Xn是总体为N(设X1,X2，Xn是总体为N(2)的简单随机样本记XXi,212212S2(XiX)2,Tx2s2n1i1n2(I) 证T是的无偏估计量.(II) 当0,1时，求DT.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题【答案】B2【详解】f(x)ln(2x)2x,f(0)0，即x0是f(x)的一个零点已知函数为通解的微分方程是已知函数为通解的微分方程是yy4y4y0有根r1,r又f(x)2ln(22)4x2x)2x20,从而f(x)单调增加(x(,)所以f(x)只有一'个

7、零点【答案】A【详解】因为fx1yfxy2/2,所以fx(0,1)1,fy(0,1)01xy/22,Ty1xy所以gradf(0,1)1i0ji【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x知齐次线性方程所对应的特征方程2i，所以特征方程为(r1)(r2i)(r2i)0,即r3r24r40.故以【答案】B)内单调有界，且Xn单调所以f(xn)单调且有界故【详解】因为f(x)在(f(xn)一定存在极限【答案】C【详解】(EA)(EAA2)EA3E,(EA)(EAA2)EA3E故EA,EA均可逆.【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面2x，其方程为务a2yb22z2c1

8、，即二次型的标准型为2x-2a2刍,而标准型的系数即为cA的特征值.【答案】【详解】FZzPmaxX,Y2zPXzPYzFzFzFz【答案】D【详解】用排除法设YaXb,由XY1,知道X,Y正相关，得a0,排除A、C由XN(0,1),YN(1,4)，得EX0,EY1,所以E(Y)E(aXb)aEX1,所以b1.排除B.故选择D二、填空题(9)【答案】1/x【详解】由,两端积分得IndxxyInx1C1,所以,|C|x|,又y(1)1,所以(10)【答案】【详解】设F(x,y)sin(xy)In(yx)x,则dydx【详解】设F(x,y)sin(xy)In(yx)x,则dydxFxFy1ycos

9、(xy)1yx_1xcos(xy)将y(0)1代入得dydx1,所以切线方程为y0,即(11)【答案】(1,5【详解】幕级数【详解】幕级数an(x2)n的收敛区间以x02为中心，因为该级数在x0处收敛,在x4处发散，所以其收敛半径为2,收敛域为x4处发散，所以其收敛半径为2,收敛域为4,0,即2x22时级数收敛，亦即antn的收敛半径为2,收敛域为(2,2.贝Uan(x3)n的收敛半径为2,由n0n02x32得1x5,即幕级数an(x3)n的收敛域为(1,5(12)【答案】【详解】加【详解】加1：z0(x2y24)的下侧，记与1所围空间区域为，则xydydzxdzdx2dxdyxydydzxd

10、zdx1x2dxdyxydydzxdzdxx2dxdyydxdydz(x2dxdy)412X2y2(x24y2)dxdy，则APPB1dr0(佝【答案】1【详解】A(1,2)(A1，A2)(0,212)(1,02)02)，B因为2线性无关,所以P可逆从而B1AP，即A与B相似.B|(1)0,得0及1为B的特征值.(14)【答案】【详解】由12eDXEX(EX)2,得EX2DX(EX)2,又因为X服从参数为1的泊松分布,所以DXEX1,所以EX2112,所以PX2e1-e1又相似矩阵有相同的特征值，故A的非零特征值为1.22三、解答题（15）【详解】方法lim沁x0sin(sinx)sinx4x

11、lim沁x0sin(sinx)x方法叫IKcosxcos(sinx)cosxlim1cos(sinx)x03x22sinx23x2rsinxx!x3o(x3)6lim沁x0sin(sinx)133sinxsinxo(sinx)6sin(sinx)sinx4x.4sinxlim厂x06xo(sin4x)4x（佝【详解】方法一：（直接取x为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）2Sin2xdx2（x1）ydysin2x2(x21)sinxcosxdxx2sin2xdx02xcos2x20xcos2xdx2x-sin2x221sin2xdx2002方法二：（添加x轴上的直线段用格林公式化成二重积分计

12、算）取L1为x轴上从点（，0）到点（0,0）的一段，D是由L与L1围成的区域sin2xdxLL,2(x21)ydy04xydxdyDsin2xdxx(1cos2x)dx2x0Lsin2xdx2(x21)ydy2sin2xdx2(x1)ydyJsinx12dx004xydycos2x22xsinxdx00x12一sin2xsin2xdx2200厶22l2xydy，前者与路径无关，选择沿x轴上的直线段方法三：（将其拆成Sin2xdx2ydy积分，后者化成定积分计算）2Lsin2xdx2(x1)ydy2Lsin2xdx2(x1)ydy2Lsin2xdx2ydyl2xydy1112对于丨1,因为0,故

13、曲线积分与路径无关，取（0,0）到（，0）的直线段积分yxI10sin2XdX0丨22x2ydy2x2sinxcosxdx212xsin2xdxxdcos2xL00201x2cos2x12xcos2xdx12-xdsin2x220022201211小12-xsin2x-cos2x22202所以，原式丄2(17)【详解】点(x,y,z)到xOy面的距离为|z|,故求C上距离xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数Hz2在条件x22z20与xy3z5下的最大值点和最小2值点(18)(18)【详解】(I)对任意的x,由于f是连续函数，所以由于limix0limF(x5丄x0F(x)lim-丄x0

14、X丄Xf(t)dtx0f(t)dt厶xlimjx0f()1Xf(t)dtlimx0f(宀xlim0f()，其中二x0f(x),可知函数F(x)在x处可导，且F(x)f(x)介于x与x也X之间令L(x,y,z,)2z(x22y2z2)(xy3z5)Lx2x0(1)Ly2y0(2)所以Lz2z4z302x22y2z0xy3z5(5)2z20J由(2)得xy，代入(5)有x2x3z5x5x1解得y5或y1z5z1(II)方法一：要证明G(x)以2为周期，即要证明对任意的x,都有H(x)x22f02tdt(x2)0ftdtx2ft0dtx2f0tdt222f(x2)/0ftdt2f(x)f0:tdt0

15、又因为H(0)G(2)G(0)220ftdt22f0tdt00所以H(x)0，即G(x2)G(x)由于f是以2为周期的连续函数，所以对任意的x,有x22x2G(x2)G(x)2ftdt0(x2)f/0tdt2ft0dtxftdt02x22x2ftdtftdtftdtftdt0200x20ftdtxfu2du02xft02ftdt0G(x2)G(x),H(x)G(x2)G(x),则即G(x)是以2为周期的周期函数(19)【详解】由于所以a。anf(x)0,有(1x2)dx222(1a02f(0)又f(0)1，所以x2)cosnxdxancosnx1)nn1,2/1-cosnx(1)n12n1n1

16、)n1212(20)【详解】(1)r(A)r(TT)r(T)r(T)r()r()2(II)由于：,线性相关，不妨设k.于是r(A)/TT、r()r(1k2)Tr()12n1n(21)【详解】（I）证法2a2a2a2a12a2a2a3a22a1r2a*23a"22a2a2an1rnarn1n证法二：记Dn1时,D12时,D2假设结论对小于Dn|A|证法三：所以Dn4a3(n1)a|A|,下面用数学归纳法证明Dn2a,结论成立.2a1a22a3a2,结论成立.n的情况成立.2aDn12aDn1(n1)anDn按第行展开得2a(na2Dn2a2a2a2anan(n2a1)an2记Dn|A|

17、，将其按第一列展开得2aDn1aDn1aDn2a(Dn3a4a231)an.(n1)an(n上(n1)annDn2aDn1aDn2,aDn2)a2(Dn2aDn3)na2(D2aDJanDnanaDn1ana(an1aDn2)2ana2Dn2(n2)anan2D2(n1)anan1D1(n1)anan12a(n1)an(II)因为方程组有唯一解，所以由AxB知A0,又A(n1)an即由克莱姆法则將Dn的第1列换成b，得行列式为，故a0.1012a2a12a2a12a、2a2a12a*1-亠.112a2ann2a2a(n1)(n1)n1Dn1na(III)方程组有无穷多解，由A0,有a0，则方程

18、组为01101X2001Xn100Xn0此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为TTk10000100,k为任意常数.所以(22)【详解】Dn1n3?(n1)a(I)P(Z丄|x0)P(XY21X0)1P(X0,Y)2P(X0)1P(Y1)(II)Fz(z)PZzPX丫zPXYz,X1PXYz,X0PX1PYz1,X1PY乙X0PYz1,X1PYz1PXPYz1PX1PYzPX0PYz1PX11-PYz1PYzPYz11Fy(z1)Fy(z)Fy(z1)3所以所以fz3fY(Z1)fY(Z)fY(Z1)0,其它（23）【详解】22(I)因为XN(-,），所以X-N（，-),从而EX,DXnn因为E仃）212E(Xs2)2EX-e（s2）nndX2121(EX)2-e(s2)-22122nnn所以,T是2的无偏估计(II)方法一：D(T)ET2(ET)2,E(T)0,E(S2)21s4"2n24222所以D(T)ETE(X-XSn4221E(X)-E(X)E(S2)-E(S