2016年10月24圆锥曲线解答题

1、2.（2016?天津）设椭圆22+J=123a"（a>；）的右焦点为F,右顶点为A，已知一+-=，其中0为原点，e为椭圆的离心率.|0F|0A|FA|（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线I与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于I的直线与I交于点M,与y轴交于点H，若BF丄HF，且/MOA=/MAO，求直线I的斜率.【解答】丄+】=|of|oa|fa|解:(1)由f_3ab-Qq2_3即-一：一=_餐/7/J_3a(a-/a2-3)222aa-(a-3)=3a(a-3),解得a=2.22二椭圆方程为(2)由已知设直线I的方程为y=k(x-2),(k丰0),设B(X1,y)M(x

2、o,k(xo-2),/MOA=/MAO,二xo=1,再设H(0,yH),'y=k(x-2)联立"/，得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.I宀丄2222=(-16k)-4(3+4k)(16k-12)=144>0.由根与系数的关系得16k2-12二23+41/-12k3+4k2_8k2-6-3+4k2MH所在直线方程为y-k(xo-2)=-丄(x-xo),令x=O,得yH=(k+)xo-2k,/BF丄HF,即1-Xi+yiyH=1-81?63+4k212k5"3+4k2整理得：9二=1，即8k2-3°12(kZ+l):k=或.3.（20

3、16?浙江）如图，设椭圆C:''+y2=1(a>1)a（I）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a,k表示）（H）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值得X1=0或X2=一-：，：22、22，可得：(1+ak)x+2kax=0，=192?l+ka2直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为:I2a2|k|/5=,；-（H）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|,记直线AP,AQ的斜率分别为：k1,k2;且k1,k2>0,刘工k2,由(1)可知2/|k2|Ji+k|AQ|

4、=2a2Ik】Ijl+kJ|AP|='2a2故：2h.2i2'1+ak2，所以，(k12-k22)1+k12+k22+a2(2-l+a2k/a2)22k1k2=0，由工k2,k1,k2>0,可得:1+k12+k22+a2(2a2)k12k22=0,因此1)221i_1|a(a-2)，221+a(a-2)>1,因为式关于k1,k2；的方程有解的充要条件是：所以a>.因此，任意点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:1Vav匚,e=得，所求离心率的取值范围是：aa4.22(2016?天津)设椭圆.+J1(a>的右焦点为F，右顶点为A.已知

5、+=_|0F|0A|FA|?(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线其中O为原点，e为椭圆的离心率.I与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于I的直线与I交于点M,与y轴于点H，若BF丄HF，且/MOA<ZMAO，求直线I的斜率的取值范围.【解答】解：(“由丁+十=匸，得'Rn+Va2-3臥？-3即,a2-3a(a-寸J-3)aa(a3)=3a(a3),解得a=2.2椭圆方程为''4I的方程为y=k(x-2),(k丰0),(xo,k(xo-2),(2)由已知设直线设B(xi,yi),M/MOA<ZMAO,xo>1,再设H(0,yH),ry=k(x-2)/

6、v2，得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.联立I43122=(-16k2)2-4由根与系数的关系得22(3+4k2)(16k212)=144>0.c16八-122X|-953+4/8k2-69>3+4kz彳-12k珀二k(x1-2)=13+4kMH所在直线方程为.丄.，_':,Uku令x=o，得r，-I.：-':|(:./BF丄HF,一I工，.：,2即1-Xi+yiyH,3+4k3+4k3+4k2ku5.(2016?山东)平面直角坐标系xOy中，椭圆22+'=1(a>b>0)的离心率是/b2Vs":或整理得：9即8&a

7、mp;抛物线E:x=2y的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；(H)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线I与C交于不同的两点A,B，线段AB的中点为D，直线0D与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证：点M在定直线上；(ii)直线l与y轴交于点G,记厶PFG的面积为S1,APDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.y+【解答】解：(I)由题意可得e=：抛物线e：xy的焦点F为(0,石),即有b=JL,a2-c2=JL2 4解得a=1,c=_2可得椭圆的方程为x2+4y2=i；(H)(i)证明：设P(xo,yo),可得xo2=2yo,由y=JLx2的导数为

8、y'=x，即有切线的斜率为xo,2则切线的方程为y-yo=xo(x-xo),可化为y=xox-yo,代入椭圆方程，222可得(1+4xo)x-8xoyox+4yo-1=0,222222=64x°yo-4(1+4x°)(4yo-1)>o,可得1+4x°>4yo.设A(X1,y1),B(X2,y2),8xnyn4xnynyn可得X1+X2=，即有中点D(，-),l+4x0Jl+4x02l+4x02直线OD的方程为y=-x,可令x=xo,可得y=-%4即有点M在定直线y=-上；4(ii)直线I的方程为y=xox-yo,令x=o，可得G(o,-yo),

9、12=xo(1+xo)；-1 4xn7n11S2=|PM|?|xo-|=(yo+)?2 24则sia+q吒+4-xoyoi(1+2k/)2一=x0?1皿/81+%2,S仁'|FG|?|xo|=丄xo?(丄+yo)+1人2Si哄1+丁)(1+珀2)(z(2t-l)令1+2xo=t(t>1),贝y石一=s2t则当t=2，即g时,则当t=2，即g时,=一取得最大值'',此时点P的坐标为6.（2016?宁波校级模拟）已知抛物线2x=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且-|：-.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(I)证明为定值；()设厶ABM的面积为S

10、,写出S=f(X)的表达式，并求S的最小值.【解答】解：(1)设A(xi,yi),B(X2,y2),M(xo,y。)，焦点F(0,1)，准线方程为y=-i,显然AB斜率存在且过F(0,1)22设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x消去y得：x-4kx-4=0,判别式=16(k+1)>0.X1+X2=4k,xw4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'='，则易得切线AM,BM方程分别为y=()X1(x22-X1)+y1,y=(二)x2(x-X2)+y2，其中4y1=x12,4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，Ki+Xxo=2k,yo=-1,即卩M从而，f'=

11、(,-2),l-|.(X2-X1,y2-y1)2T?：l，=(X1+X2)(X2-X1)-2(y2-y)J(x?2-x/)-2(x?2-x/)=0,(定值)224命题得证.这就说明AB丄FM.(H)由知在厶ABM中，FM丄AB，因而SAB|FM|.疋-丨；-:,(-X1,1-y1)=X(X2,y2-1),即"TrrHl，|FM而4y1=x12,4y2=x22,则X22=：,X12=4人因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=Zgf=X-+2=)于是S|AB|FM|=十)3,由2知S>4，且当X1时，S取得

12、最小值4.7.(2016?四川)已知椭圆E+'=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三a2b2角形的三个顶点，点P(7，)在椭圆E上.2(I) 求椭圆E的方程；(n)设不过原点O且斜率为丄的直线I与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C,D，证明：丨MA|?|MB|=|MC|?MD|【解答】(I)解：如图，fa=2b由题意可得由题意可得椭圆E的方程为&-_-;，解得a=4,b=1,(n)证明：设AB所在直线方程为,口古宀r/口且b+C"/口22尸知+m也22联立联立联立*2，得x+2mx+2m-2=0.=4m2-4

13、(2m2-2)=8-4m2>0,即:""-设A(百，yj,B(X2,y2),M(X0,y°),则：.!I,：.i,：，：.-_-.-：，|AB|=+!1_i'：x0=-m,则OM所在直线方程为y=-联立联立).)而MA|?MB|=(寺|桩|(1)直线I的倾斜角为(10-5m2)=_1.424&(2016?上海)双曲线x2-二=1(b>0)的左、右焦点分别为Fi,F2，直线I过F2且与双曲线交于A，B两点.,F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程;(2)设b=rj匸，若I的斜率存在，且(卜；+j)?f=0，求I的斜率.【解答】解：(1

14、)双曲线X2-上丁=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,a=1,c2=1+b2,b2直线I过F2且与双曲线交于A,B两点，直线I的倾斜角为,F1AB是等边三角形，2可得：A(c,b2),可得：-2b2=2c422、3b=4(a+b),即3b4-4b2-4=0,2b>0，解得b=2.所求双曲线方程为：x2-?=1,其渐近线方程为y=±2x.(2)b=二，双曲线x2-=1,可得F1(-2,0),F2(2,0).设A(刈,y1),B(X2,y2),直线的斜率为：k=七*直线I的方程为：y=k(x-2),fy=kx-2k由题意可得:i工/，消去y可得：(3-k2)x2+4k

15、2x-4k2-3=0,2=36(1+k2)>0,可得Xi+X2=i,k2-32贝Hyi+y2=k(xi+X2-4)=k(4)=；-.=(xi+2,yi),-.；=(X2+2,y2),?：|，=0可得:(X1+X2+4,yi+y2)?(xi-X2,yi-y2)=0,可得xi+X2+4+(yi+y2)k=0,1.2k1.2k?k=0可得：k2=,k=±k=±5解得l的斜率为:22(20i6?山东)已知椭圆C:二一+'=i(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2Ia2b2(I)求椭圆C的方程；(H)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于

16、点A,P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i) 设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明兰为定值；k(ii) 求直线AB的斜率的最小值.B【解答】解：(I)椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2'.可得a=2,/b2C=“寸:，b=：，22可得椭圆C的方程：42丄(H)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A,P(P在第一象限)，设N(-t,0)t>0,M是线段PN的中点，贝UP(t,2m),过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,Q(t,-2m),(i)证明：设直线P

17、M,QM的斜率分别为k,k',2m_mm,_2m-ink=,k'=t-0tt-0-3mF-3mF-=-3.为定值;.22(ii)由题意可得-42PN的方程为：y=kx+m,(22xy_42,可得：y=kx+m222即：(1+2k)x+4mkx+2m-4=0m2=4-t2,QM的方程为：y=3kx+m,2x2+2(kx+m)2=4,十曰2(iu2-2)2(iu2-2)可得xa=,yA=+m,(2k+l)xQ(2k+l)xQ2f肿_2)同理解得XB='yB=(18kz+l)xyB=(18kz+l)x-6k(ni2-2)亠丄，(18kz+l)p2(m2-2)2(m2-2)-3

18、2k£(m3-2)k-=(2k2+l)xQ(18k2+l)xQ(18k2+l)(2kE+l)KQ2(id2-2)-6k(m3-2)、-8k(6k2+l)(ir2-2)yA-yB=k+m-(亠:.)=,.(2k2+l)xQ(18k'+l)%(18k>l)C2kz+l)xQ=2kAB=_=.，由m>0,xo>0,可知k>0,咗藍A4k4k所以6k+：二当且仅当k='时取等号.k6此时”，即m=11,符合题意.7876丁所以，直线AB的斜率的最小值为：丄9. (2016?上海)双曲线x2=1(b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,直线I过F2且

19、与b2双曲线交于A、B两点.1T(1)若I的倾斜角为二，FiAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；_2(2) 设b=，若I的斜率存在，且|AB|=4，求I的斜率.【解答】解：(1)若I的倾斜角为,F1AB是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由tan/AFF2=tan=一，求得b2=2,b=-,63N1+护故双曲线的渐近线方程为y=±bx=土或lx,即双曲线的渐近线方程为y=±二x.(2)设b=二，则双曲线为x20),若I的斜率存在，设I的斜率为k，则I的方程为y-0=k(x-2),即y=kx-2k,2222，可得（3-k）x+4kx-4k-3=

20、0,由直线与双曲线有两个交点，则3-k20，即k二.2=36(1+k)>0.求得k=，5I的斜率为L-511.(2016?天津一模)已知椭圆22C:二一+=1（a>b>0）的离心率为/b2,22圆R:x+(y-2)=4的直径，过点P(0,1)的直线I与椭圆C交于两点交于两点M,N(I)求椭圆C的方程；(H)求证：直线RA,RB的斜率之和等于零；(川)求|AB|?|MN|的取值范围.【解答】解：(I)因为椭圆C长轴长等于圆R:x2+(y-2)2=4的直径，所以2a=4,a=2;(1分)由离心率为，得e2=,2a2,长轴长为等于A,B，与圆R22所以一=，得b?=2；-（2分）2

21、2所以椭圆C的方程为二一+=1；-(3分)(n)当直线I的斜率存在时，设2I的方程为y=kx+1，与一422消去丫，得（1+2k）x+4kx-2=0;设A（xi,yi）,B（X2,y2）,则X1+X2=-',X1X2=-,-（5分）l+2k2l+2kz由R（0,2），得71-2y2-2kRA+kRB=+"X14k4k=2k-"J=0（7分）l+2k2所以直线RA,RB的斜率之和等于零；-（8分）（川）当直线I的斜率不存在时，|AB|=2_,|MN|=4,|AB|?|MN|=8；-（9分）当直线I的斜率存在时，|AB|=二y=.1-r?|Xi-X21t_-J?：

22、9;：.，=廿？，:'-'|V1+21/l+2kH2k2H2k2IMN|=2=2/,（11分）VVl+k2V1+k2所以|AB|?|MN|=？2l+2k2V1+k2=4匚?；1+21?因为直线I过点P（0,1）,所以直线I与椭圆C和圆R均交于两点，2令1+2k=t，则t>1,所以|AB|?|MN|=4匚？V-：-'=4=、？：._<8匚,又y=4一在t>1时单调递增，所以|AB|?|MN|=4一4:,当且仅当t=1,k=0等号成立；（13分）综上，|AB|?|MN|的取值范围是48刁.（14分）22（2016?衡阳三模）已知椭圆：亠-：.的左、右焦点分

23、别为F1、F2，短轴b222a=2,b=c,a=b+c，二b=2；两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD丄CD，连接CM，交椭圆于点（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.r【解答】解：（1）2椭圆方程为:-I(4分)(2)C(-2,0),D则0P=(xr¥小0M二yQ)(2,0),设M(2,yo),P(X1,y1),直线CM:，代入椭圆方程x2+2y2=4,x4yox4yo2（y-

24、8）8y0，一，2（y-8）8y0，一，4佥8)8y0:（8分）疳8202，2-9y0+8y0+8y0+8（3）设存在Q（m,0）满足条件，则MQ丄DP（11分）8y0:（8分）疳8202，2-9y0+8y0+8y0+8（3）设存在Q（m,0）满足条件，则MQ丄DP（11分）-x1=-蓝+8.(定值)(10分)一、一f4yn8yn（12分）坯+8y0+s一一4Xn则由.一1-.1,从而得m=0%+8y0+8存在Q（0,0）满足条件（14分）12. (2016?河东区一模)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为丄，且经过二点1.，过点P(2，1)的直线I与椭圆C相交于不同的两点A，B.2

25、(I)求椭圆C的方程；(n)是否存直线I，满足，J?若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由._c122【解答】解：(I)设椭圆c的方程为''.i.'.-，由题意得a2b22解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为-'i(n)若存在直线I满足条件，由题意可设直线I的方程为y=k(x-2)+1，(22222由出43得(3+4k)x-8k(2k-1)x+16k-16k-8=0.y=k(x-2)+lL一因为直线I与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(X1,yi),(X2,y2),所以=-8k(2k-1)2-4?(3+4k2)?(16k2-16

26、k-8)>0.整理得32(6k+3)>0.解得i-:-16k2-16k-316k2-16k-33+4以2匸8k(2k-1)乂丁，+,1£3+4k2且-.J一"，即丫.I'1，所以-I'："：，.即：；I.所以J解得.3+4k23+4kz3+4k242所以：-亠.于是存在直线I满足条件，其的方程为亠-2213. (2016?南昌校级二模)已知直线I:y=kx+1(k丰0)与椭圆3x+y=a相交于A、B两个不同的点，记I与y轴的交点为C.(I) 若k=1，且|AB|=-，求实数a的值；2(n)若L：=2|'.,求厶AOB面积的最大值

27、，及此时椭圆的方程.【解答】解：设A(X1,y1),B(X2,y2),fy=x+l2(I) 由*得4x+2x+1-a=0,3,+y11a则X1+X2=,X1X2=,-_则IABI=_：,|,.=-：-.-，解得a=2.y=kx+l99(n)由，得(3+k)x+2kx+1-a=0,L3x2+y贝yX1+X2=-2k3+k2X1X2=3+k由匚=2二得(-X1,1-y1)=2(X2,y2-1),解得X1=-2X2，代入上式得：2k2kX1+X2=-X2=-.，则X2=3+/3+“loc卜丨衍loc卜丨衍亠=2血侖阴当且仅当k2=3时取等号，此时X2=,X1X2=-2x22=-2X3+评(3+kU3

28、又X1X2=,3+k25贝U-='，解得a=5.63所以，AOB面积的最大值为丄上，此时椭圆的方程为3x2+y2=5.2(2016?陕西校级模拟)已知F1、F2分别是椭圆C:/+y2=1的左、右焦点.4(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，I?；上-',求点P的坐标；124(2)设过定点M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点A,B,且/AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围.【解答】解：(1)因为椭圆方程为知a=2,b=1，：.二'；,可得：，1-、订7!设P(x,y)(x>0,y>0),则一工，八一-:.-V-''，

29、=帀，即为P(l，=帀，即为P(l，又一；.，联立(2)显然x=0不满足题意，可设I的方程为y=kx+2,设A(X1,y1),B(X2,y2),联立,-r+y=1=>d+4k2)x2+i6ki+i2=o,y=kx+2由厶=(16k)2-4(1+4k2)?12>0，得.16k121£l+4kz1'lHk2又/AOB为锐角，即为t.':i,即Xix2+yiy2>0,xix2+(kxi+2)(kx2+2)>0,又匚L+4k2LHkz可得4又m，即为.-.,解得-:ii.2217. （2016?威海一模）已知椭圆C:'+厶/b2=1（a>

30、b>0）的离心率为丄,且过点（1,'）.V0（1）求椭圆C的方程；222（2）设与圆O:x+y=相切的直线I交椭圆C与A，B两点，求OAB面积的最大值,4及取得最大值时直线I的方程.【解答】解：（1）由题意可得，e=.，a2-b2=c2,点（i,代入椭圆方程，可得6kmX1+X2=-,1+3/由直线I与圆O:x-=1，解得a=d,b=1,22即有椭圆的方程为一+y2=1；3；(2) 当k不存在时，x=±-时，可得y=土，22OABX=；224当k存在时，设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(X2,y2),222将直线y=kx+m代入椭圆方程可得(1+3k)x+6k

31、mx+3m-3=0,3 m2-3x1x2=l+3k22'J：ii?|AB|=|汕2F拠盏）"7l+3k2FJ相切，可得=，即有4m2=3(1+k2),当且仅当当且仅当即k=土时等号成立,可得Ss=|AB|?2y=±22(2016?河北区二模)在平面直角坐标系xoy中，椭圆：.I_'I'的焦距为2,一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.(I)求椭圆C的标准方程；(H)椭圆C的右焦点为F,过F点的两条互相垂直的直线11,12,直线11与椭圆C交于P,Q两点，直线12与直线x=4交于T点.(i) 求证：线段PQ的中点在直线OT上;求：的取值范围.|PQl【

32、解答】解：(I)由椭圆得wn2,解得a=2,c=1,依二222故所求椭圆的标准方程为一.-'.5xv22(H)(i)设直线PQ的方程为:22x=my+1，代入椭圆方程'-'得(3m+4)y+6my-9=0,则判别式厶=36m2+4X9(3m2+4)>0,设P(X1,y1),Q(X2,y2),PQ的中点G(xo,yo),则yi+y2=',yiy2=J,3 异+43m'+4贝卩yo=(yi+y2)=:_,xo=myo+仁r23异+43m2+4即G(£,),；.-；.:3m-3mkoG=3mZ+4设直线FT的方程为：y=-m（x-1）,得T点坐

33、标为（4，-3m）,koT=-，4二koG=kOT,即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F,T（4，0），则|TF|=3,|PQ|=二，J-j，当20时，|TF|=_：_：1-<.j|PQ|4*-93tn2+4=12则-JI:-'I二设t=，则t>1,则y=3宀一+=3t+=3Vip+1t则y>3+1=4,异+13ui2+4（t+）在（1,+s）为增函数,则»3十综上詈A1,故求|TF|IPQI的取值范围是1,+8）.19.(2016?石家庄二模)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为V20)的直线1交椭圆C于A,B两点，

34、IMAI=A|MBI,且当直线l垂直于x轴时,(1) 求椭圆C的方程；(2) 若入丄,2，求弦长|AB|的取值范围.2【解答】解：(1)由题意可得，.-：，即厶-a222_k2122，贝Va=2b，过点M(1,IAB|=_.22把x=1代入J-.'_j,得y=+2T,2丄_ab则空75Sl联立得：a2=2,b2=1.椭圆C的方程为厂.J_-；(2)如图，当直线I的斜率存在时，设直线I方程为y=k(x-1),y=k(x_1)联立"文2o，得(1+2k2)y2+2ky-k2=0.存+y二1设A(X1,y1),B(X2,y2),_2kl+2k2yi由|MA|=A|MB|,l+2k2

35、得.TJ,(1-X1，-y1)=入(X2-1,y2),则-y1=“2,把代入消去y2得：一-亠l+2kA当疋',2时，'-一.厂衰0,.21+2/X2解得:_：.>-弦长|AB|的取值范围为口22(2016?漳州二模)已知椭圆一+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是点Fl,F2,其a2椭圆的方程为；(n)由(I)知F1(-2,0);AC丄BD；(1)当直线AC,BD中一条直线斜率不存在时，*丨1-'-；b2离心率e=,点P为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为4二.2(I)求椭圆的方程；(n)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交

36、于点Fi,1=0，求|二|+|的取值范围.【解答】解：(I)由题意知，当P是椭圆的上下顶点时PFiF2的面积取最大值;J丨一;；即八厂；由离心率为得:一联立2解得a=4,c=2,b=12；(2)当直线AC斜率为k,k丰0时，其方程为y=k(x+2),将该方程带入椭圆方程并整理得：2222(3+4k2)x2+16k2x+16k248=0;若设A(xi,yi),B(X2,y2),贝V：若设A(xi,yi),B(X2,y2),贝V：16k2-3+4k2_16k2-43,=2；3+4k2-2八2；3+4kzIAC1+lBD|_168t2-1)(3t+l)16卅12t2+t-1168t-112-rr-_

37、1'：.：.-'4：.：-=；2直线BD的方程为y=-|.一|,同理可得p|-21-'k4+3k2-亍=：；(3+4k)(4+3k2)令k2+1=t,t>1；t=1t+2设f(t)=f-,(t>1),f'(t);ttt(1,2)时,f'(t)>0,t(2,+s)时,f'(t)v0;t=2时，f(t)取最大值，又f(t)>0;4综上得.丨卜/的取值范围为亠.I2220. (2016?大庆校级模拟)如图，曲线r由两个椭圆T仁'.-：-：-.和椭圆T2：a2b2'-"-：|J组成，当a,b,c成等比数列

38、时，称曲线r为猫眼曲线”.b2c2(1)若猫眼曲线r过点"，且a,b,c的公比为.，求猫眼曲线r的方程；(2)对于题(1)中的求猫眼曲线r任作斜率为k(k丰0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆Ti所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：二丄为与k无关的定值；(3) 若斜率为匚的直线I为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆Ti上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求ABN面积的最大值.XXj切-2f22/I412<22J1412由0M-:;a_2,c_1,22,2TKyTy丄(2)证明：设斜率为k的直线交椭圆Ti于点C(xi,yi),D(X2,y2),

39、线段CD中点M(xo,yo),=1ii,得：一：，:丁:丁1得4=1-k存在且k工0,Xi工X2,且X0工0,同理，k?k°N_-2;(3) 设直线I的方程为/:,尸厂直+in化简得，-二二'.'一222由厶=0化简得m=b+2c,工_汁:-，联立方程得222.2丄ab化简得.+_.-J.二二_'.J-一由厶=0得m2=b2+2a2,，两平行线间距离:两平行线间距离:、Vb2+2c2+7b2+2a2赤73|AB|=2逅蜗2a?_心b2+2a2ABN的面积最大值为22(2016?抚顺一模)已知椭圆''-的左顶点为A1,右焦点为F2,过点a2b2F

40、2作垂直于x轴的直线交该椭圆于F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为丄2(I)求椭圆的离心率；()若厶AiMN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程.【解答】解：（I）由题意“，:（1分）ab3因为Ai（-a,0）,所以亠二！（2分）a+c23分）3分）将b2=a2-c2代入上式并整理得“二1.二.（或a=2c）且2所以一一（4分）4 2（n）由（I）得a=2c,、=,汪、，（或丄可4c3c5分）所以Ai（-2c,0）".i,外接圆圆心设为2P（X0,0）（6分）解得：（7分）3c（8分）（8分）4所以一,£所以AiMN外接圆在M处切线

41、斜率为1，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC方程为工二，即/-244分）与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x2-18cx+11c2=0解得一.，1.（10分）由弦长公式|_;'，:.（11分）11cT（12分）解得c=1（13分）22所以椭圆方程为-（14分）4321. (2016?莱芜一模)设椭圆C:+艺亍=1(a>b>0),定义椭圆C的相关圆”方程为/b22即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,/b22即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,22x2+y2=.若抛物线y2=4x的焦点与椭圆c的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成

42、直角三角形(I)求椭圆C的方程和相关圆”E的方程；(H)过相关圆”E上任意一点P作相关圆”E的切线与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点(i) 证明：/AOB为定值；(ii) 连接PO并延长交相关圆”E于点0,求厶ABQ面积的取值范围.【解答】解：(I)：抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，2b=c=1a=1+1=2,2“椭圆c的方程为丄.相关圆”E的方程为x2+y2='.3证明：(n)(i)当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=二3则A则A，爭，B当直线I的斜率存在时,(，_设其方程为，-二y=kx+m,设A(X1,y

43、1),B(X2,y2),尸kx+m联立方程组-联立方程组-，得x2+22(kx+m)=2,垃+梵2二4kml+2k22m2-22厂i+2k2(l+k')(2m'二2)1+2k24k3Im22+lDl+2k2痔fl.。,l+2k2二；为定值解：(ii)pq是相关圆”的直径，-f7，-;11'I，要求ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围,当直线AB的斜率不存在时，由(i)知|AB|=_3|AB|=宀=1(l+2k2)284k4+5k2+l=呂一"k4+4k2+lF4k4+4k3+l当k丰0时，|AB|=2-r-!.£,Ov4k七+48_14k

44、2v|AB|一.二,当且仅当k=I'时，取=”号.<|AB|；,_2当k=0时，|AB|=丄.|AB|的取值范围为ABQ面积的取值范围是丄，订:.324.(2016?邯郸模拟)已知椭圆24.(2016?邯郸模拟)已知椭圆x2+y2=422G:二一+一.=1(a>b>0)的焦点和一个顶点在圆/b2上.(1)求椭圆的方程；(2)已知点P(-3,2),若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.【解答】解：(I)设椭圆G的右焦点为F(c,0),2222由题意可得：b=c，且b+c=8

45、,.b=c=4,ooo故a=b+c=8，22椭圆G的方程为，-(4分)84(H)以AB为底的等腰三角形ABP存在.理由如下22设斜率为1的直线I的方程为y=x+m，代入中，84化简得：3x+4mx+2m-8=0,(6分)因为直线I与椭圆G相交于A,B两点，=16m2-12(2m2-8)>0,解得-2W-:,(8分)设A(xi,yi),B(X2,y2),贝0垃+玄二一如，忑芷二.x13123于是AB的中点M(xo,yo)满足'o2已知点P(-3,2),若以AB为底的等腰三角形ABP存在，一2q-则kpM=-1,即=-1，将M(-丄王)代入式,XQTJ3J得m=3(-2二，2二)满足

46、(10分)此时直线l的方程为y=x+3.(12分)25.(2016?广州一模)已知椭圆_C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(-2,0),点B(2,匚)在椭圆C上，直线y=kx(20)与椭圆C交于E,F两点，直线AE,AF分别与y轴交于点M,N(I)求椭圆C的方程；(H)在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化，总有/MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.22【解答】解：(I)由题意可设椭圆方程为一+一=1(a>b>0),Jb2则c=2,a2-=，一+'=1，解得：a2=8,=4.a222可得椭圆C的方程为'+=1

47、；8422(H)如图，设F(X0,y°),E(-X0,-y°),则目+=1,A(-22,0),84AF所在直线方程y=J（x+2匚）,N(0,：AE所在直线方程为y=(x+2),取x=0,得y=.x0-2V2则以MN为直径的圆的圆心坐标为（则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0,-20y0)半径r=8-4丄xo圆的方程为x2+(y-三2'即x2+（八）(S-x02)2取y=0,得x=±2.2,0)可得以MN为直径的圆经过定点（土可得在x轴上存在点P（±2，0）,使得无论非零实数k怎样变化，总有/MPN为直角.【解答】解：(I)证明：x2+3y2=6即

48、为厂+八=1,62即有a=汽、,b=:,c=_:=2,由直线PQ过椭圆C的右焦点F2(2,0),且倾斜角为30°可得直线PQ的方程为可得直线PQ的方程为y=丄丄(x-2),代入椭圆方程可得，x2-2x-1=0,即有X1+X2=2,xix2=-1,1?厂=33'由椭圆的定义可得|FiP|+|PQI+IQFi|=4a=4:,33由椭圆的定义可得|FiP|+|PQ|+|可得IFiP|+|QF1|=4I-：-=：=2|PQ|,则有|FiP|、|PQ|、|QFi|成等差数列；(n)设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6,消去y得：(1+3k2)x2+6kmx+3(

49、m2-2)=0,2222则厶=36km-12(1+3k)(m-2)22=12(6k-m+2)>0,6km3(m2_2)Xi+X2=-l+3kl+3k22故yiy2=(kxi+m)(kx2+m)=kxix2+km(X1+X2)+m,直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，2+m=0,即有-l+3k直线PQ的斜率k为土即km(x1+x2)21由于mm。，故k=,27.(2016?常德一模)已知椭圆Ci：厂一'.'I的离心率为一，焦距为二a2b232抛物线C2：x=2py(p>0)的焦点F是椭圆Ci的顶点.(I)求Ci与C2的标准方程；(n)Ci上不同于F的两点P,Q满足-I,且直线PQ与C2相切，求厶FPQ的面积.第31页(共34页)【解答】解：（I）设椭圆Ci的焦距为2c，依题意有乙I.，亠二a322解得二b=2,故椭圆Ci的标准方程为：,-（3分）124丄2又抛物线C2：x=2py（p>0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，F（0,2）,p=4,2故抛物线C2的标准方程为x=8y