2003考研数三真题及解析

1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题：本题共6小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上设f(x)设f(x)1xcosx0,0,0,其导函数在x0处连续，则的取值范围是3222已知曲线yx3axb与x轴相切，则b可以通过a表示为b设a0,f(x)g(x)a,若占,1,而D表示全平面，则0,其他，If(x)g(yx)dxdy=D设n维向量(a,0,0,a)T,a0；E为n阶单位矩阵，矩阵AET1BET,其中A的逆矩阵为B,则a.a(5)设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若ZX0.4,则Y与Z的相关系数为设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,Xn为来自总体X

2、的简单随机样本，则当1nn时，丫nXi2依概率收敛于nii二、选择题：本题共6小题,每小题4分，共24分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.f(x)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f(0)存在则函数g(x)()x(A)在x0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x0.(C)在x0处右极限不存在.(D)有可去间断点x0.设可微函数f(x,y)在点(x°,y°)取得极小值，则下列结论正确的是()(A)f(x°,y)在yy。处的导数等于零.(C)f(x°,y)在yy0处的导数小于零.设Pnan|an，qna

3、n|an，n1,2,22(A)f(x°,y)在yy。处的导数等于零.(C)f(x°,y)在yy0处的导数小于零.设Pnan|an，qnan|an，n1,2,22(B)f(x0,y)在yy°处的导数大于零.(D)f(x0,y)在yy°处的导数不存在，则下列命题正确的是()(A) 若an条件收敛，则Pn与qn都收敛n1n1n1(B) 若an绝对收敛，则Pn与qn都收敛n1n1n1ab(C)若an条件收敛，则Pn与qn敛散性都不定n1n1n1(D)若an绝对收敛，则Pn与qn敛散性都不定n1n1n1abb(4)设三阶矩阵Abab，若A的伴随矩阵的秩为1,则必有

4、()bba(A)ab或a2b0.(B)ab或a2b0.(C)ab且a2b0.(D)ab且a2b0.设1,2,s均为n维向量，下列结论不正确的是()(A) 若对于任意一组不全为零的数kk2，ks，都有匕1k22kss0,则1，2，s线性无关(B) 若1，2，s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，ks，都有k11k22kss0.(C) 1，2，s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 1，2，s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面，A3=正、反面各出现一次，A4=正面出现两次，则事件(

5、)(A)A，A2,A3相互独立(C)Al,A，人两两独立.(A)A，A2,A3相互独立(C)Al,A，人两两独立.(B)A，A3A相互独立.(D)A2,A,，A,两两独立、(本题满分8分)11设f(x)丄xsinx(1,x丄,1),试补充定义f(1)使得x)f(x)在-1,1上连四、(本题满分8分)设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足u2V21又g(x,y)122fxy,尹y)，五、(本题满分8分)计算二重积分e(x2)sin(x22y)dxdy.其中积分区域D(x,y)x2六、(本题满分9分)求幕级数1(x1)的和函数f(x)及其极值.七、(本题满分9分)内满足以下条件:设F(x)f(x

6、)g(x)，其中函数f(x),g(x)在(f(x)g(x),g(x)f(x)，且f(0)0,f(x)g(x)2ex.(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.八、(本题满分8分)设函数f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1.试证：必存在(0,3),使f()0.九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组b)X1a2X2a3X3anXn0,a1x1(a2b)X2a3X3anXn0,a1x182X2(a3b)x3anXn0,3x182X233X3(anb)Xn0,n其中ai0试讨论a1,a2,an和b满足何种关系时,i1(1)

7、方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系十、(本题满分13分)设二次型f(x1,x2,x3)XTAXax；2x22x32bx1x3(b0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b的值;利用正交变换将二次型f化为标准形并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为f(x)f(x)1卄吁，若其畀F(X)是X的分布函数.求随机变量YF(X)的分布函数十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量UXY的概率密度g(u).2003年全国硕士研究生入学统

8、一考试数学三试题解析一、填空题【答案】2【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量【详解】是参变量，x是函数f（x）的自变量f(0)limf(x)f(0)x0x0f(0)limf(x)f(0)x0x01xcoslimxlimxqxxq11cosx0,要使该式成立，必须x叫x10,即1.当x(,0)U(0,)时,112f(x)xcosxx1sinx要使f(x)0在x要使f(x)0在x0处连续，由函数连续的定义应有limf(x)0limx1cos1x0xx2sin1f(x)x由该式得出2.所以f（x）在x0处右连续的充要条件是【答案】4a6【详解】设曲线与x轴相切的切点为(x°,0)

9、，则y又在此点y坐标为0（切点在x轴上）,于是有bx33a2xgxg(xo3a2),xx00.3x23a2,有3x023a232xq3axg0,故所以b2x0(3a2x0)224a4a4a6.【答案】a2【详解】本题积分区域为全平面【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0x1,0x1时，被积函数才不为零，则二，因此实际上只需在a2Q(x1)xdxa2重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可满足此不等式的区域内积分即可.221x1f(x)g(yx)dxdy=adxdy=aQdxxdyD0x10yx1数学（三）试题第5页（共19页）【答案】-1【详解】这里T为n阶矩阵，而T2

10、a2为数，直接通过ABE进行计算并注意利用乘法的结合律即可由题设，有T1T、_T1T1TTAB(E)(E)=EaaaETT丄(T)t=eTT2aTaaaE(12a1)TE,a1于是有12a0,即2a2a10,解得a1,a1.已知a0，故a1a2【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质D(Xa)DX,Cov(X,Ya)Cov(X,Y)又因为Z仅是X减去一个常数，故方差不会变，z与Y的协方差也不会变，因此相关系数也不会变.Cov(Y,Z)Cov(Y,X0.4)E(Y(X0.4)E(Y)E(X0.4)E(XY)0.4E(Y)E(Y)E(X)0.4E(Y)E(XY)E(Y)E(X)Cov(X,

11、Y),且DZDX.又Cov(Y,Z)Cov(X,Y),所以XY0.9.Cov(Y,Z)Cov(X,Y).DY.DZDXDY1【答案】一2【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2,Xn,当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：1np1nXi-EXi(n).ni1ni1【详解】本题中x12X21,X2,x；满足大数定律的条件，且EXi2DXi(EXi)2=-(1)25422因此根据大数定律有Yn1nxi2依概率收敛于1n21-EXi2-ni1ni12、选择题【答案】(D)【详解】方法1：直接法：由f(x)为奇函数知，f(0)0；又由g

12、(x)丄凶，知g(x)在x0x处没定义，显然x0为g(x)的间断点，为了讨论函数g(x)的连续性，求函数g(x)在0的极限.xim0g(x)0的极限.xim0g(x)lim凹x0xlimf(x)x0f(0)导数的定义0f(0)存在,故x0为可去间断点.故x0为可去间断点.x方法2：间接法：取f(x)x,此时g(x)=x1x0''可排除(A)(B)(C)三项.0,x0,【答案】(A)【详解】由函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微，知函数f(x,y)在点(x,y。)处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得都存在，又由二元函数极值的必要条件即得f(x,y)在点(x&#

13、176;,y°)处的两个偏导数都等于零.从而有df(xg,y)dyyy0(x,y)(x0,y)选项(A)正确.【答案】(B)【详解】由Pnan2anan2an，知0Pnan0qnanan绝对收敛，则1ann1收敛再由比较判别法Pn与1nqn都收敛，后者与1qn仅差一个系数，故qn也收敛，选(B).n1n1【答案】(C)【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解】方法1:根据A与其伴随矩阵A秩之间的关系nrAnrA1rAn10rAn1abb1bb1bbbab(a2b)1ab(a2b)0ab0bba1ba00ab知秩(A)=2,它的秩小于它的列数或

14、者行数,故有A(a2b)(a0b)2有a2b0或a当ab时,显然秩A12,故必有2b应选(C).方法2：根据A与其伴随矩阵秩之间的关系,rA*1,rA2.对A作初等行变换当ab时，从矩阵中可以看到A的秩为1，与秩A2，不合题意(排除(A)、(B)，以及线性相关、线性无关的等价表现【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数，ks，都有K1k22kss0,故ab，这时abb2ba3baabba2bbbAbaab011001213010ba0ab10101故a2b0,且ab时，秩(A)=2,故应选.【答案】(B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解形式应注意是寻找不正确的命题.s必线性无关

15、因为若1,2,s线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使得kl1k22kl1k22kss0,矛盾.可见(A)成立.(B)：若1,2,s线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数K,k2,ks,(C)为s,则1k22kss0.(B)不成立.s线性无关，则此向量组的秩为s；反过来,若向量组1,2,s的秩S线性无关，因此(C)成立.(D)s线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的例如，原命题：若存在一组不全为零的数k1,k2,ks，使得k11k1,k2,ks，使得k11k22kss0成

16、立,则1,2,s线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k1,k2,ks,都有k11k22kss0,则1,2,s线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.【答案】C【分析】【分析】(1)A,B两事件相互独立的充要条件：PABPAPB代B,C三事件相互独立的充要条件:(i)A,B,C两两相互独立；(ii)PABCPAPBPC【详解】【详解】1方法1：因为PA1-,PA,2,P4A1A2A1A31-,PA3264丄,pA2A2A3A2A4丄，且41AAJA0,4可见有AAAA,PAAPAP,PA2A3PA2PA3,AA2A3A2PA3PA4.故A,A?,人两

17、两独立但不相互独立；a2,a3,a4不两两独立更不相互独立，应选(C).方法2:由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立.可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确因此只要检查(C)和(D)111PA2A3A4POPA2PA3PA4244故(D)错，应选(C).三【详解】为使函数f(X)在11上连续，只需求出函数f(x)在x2，1的左极限limf(x)，X1然后定义f(1)为此极限值即可.limf(x)X11sinx1(11xm11n1limx1(1x)sinxsinx(1x)(1x)sinx令u1X,则当x1

18、时,u0，所以1limf(x)lim-usin(1u)x1u0usin(1u)1lim-usin(1u)1usin(1u)limu0u(sincosucossinu)u0usinux)等丄讪u還2(1u)洛丄limcosrgu0uu02u莎12sin(1u)1小1洛lim2=0=u0111定义f(1)，从而有limf(x)f(1),f(x)在x1处连续.又f(x)在-,1)上x121连续，所以f(x)在-,1上连续.2四【详解】由复合函数zf(x,y),(x,y)的求导法则，得gf(xy)xuxf1(x2y2)vx从而gf(xy)122尹2y2)所以2g2y2fy2u22f2f2u22fx2u

19、2卫(2y2f2fx-uv2f2xyuv2fuv2fv22f2v2f72xyuvx2y2)：u(x五【详解】从被积函数与积分区域可以看出作极坐标变换：设e(x2y,22fv2v2y2v(x2y2)uv222)=xy.，应利用极坐标进行计算.xrcos,yrsin)sin(x2y2)dxdye&y2)sin(x2y2)dxdy2sinrtrr22,2esinrdr00etsintdt.sintdt,则因此0eLintdt0etdcostcosttcostdttdsinteetsintetsintdt=e1A.2(1e),ier(1e)2(1e)-【分析】（1）和函数一般经过适当的变换后得

20、和函数；或者先通过逐项求导后求和（2）等比级数求和公式,考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可，再积分即可得和函数本题可直接采用后者.xx2x1)【详解】先对和函数f(x)1)n2nx求导2nf(x)nn1)x2n1)n2n2n2nx(1)xn01x1x2x1x2数学（三）试题第11页（共19页）对上式两边从0到x积分f(t)dtf(t)dt丄dt01t2f(x)f(0)i|n(1x2)2由f(0)1,得由f(0)1,得12f(x)1_ln(1x2)(x1).21 2x为了求极值，对f(x)求一阶导数,f(x)22 1x2令f(x)0,求得唯一驻点x0由于x1x2f(x)f(x)1x2(1x2)

21、2f(0)由极值的第二充分条件，得f(x)在x0处取得极大值，且极大值为f(0)七【分析】题目要求F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可.【详解】方法1：由F(x)f(x)g(x)，有22F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)=g(x)f(x)f(x)g(x)22f(x)g(x)=(2ex)22F(x)可见F(x)所满足的一阶微分方程为F(x)2F(x)4e2x.相应的初始条件为F(0)f(0)g(0)0.方法2：由F(x)f(x)g(x)，有22F(x)f(x)g(x)f

22、(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)22f(x)g(x)又由f(x)g(x)2ex.有f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)，g(x)f(x)，于是F(x)4e2x2f(x)g(x)4e2x2F(x)可见F(x)所满足的一阶微分方程为F(x)2F(x)4e2x.相应的初始条件为F(0)f(0)g(0)0(2)题(1)得到F(x)所满足的一阶微分方程，求F(x)的表达式只需解一阶微分方程又一阶线性非齐次微分方程dyP(x)yQ(x)的通解为dxP(x)dxyeQ(x)eP(x)dxdxC所以F(x)e2dx2x4e2dx2x4x2xedxC=e4edxC=eCe将F(0)0代入上式

23、，得01C,C1.所以F(x)e2x2xe.八【分析】题目要证存在(0,3),使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等题目中已知f(3)1,只需要再证明存在一点c0,3),使得f(c)1f(3)然后在c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)f(1)f(2)3等价于丄0一d1问题转化为1介于f(x)的最3值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】方法1:因为f(x)在0,3上连续，所以f(x)在0,2上连续，则在0,2上必有最大值M和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是mf(0)M,mf(1)M,mf(2)M三式相加3mf(0)f(1)f

24、(2)3M.f(0)f(1)f(2)彳-从而m1M.3由介值定理知，至少存在一点c0,2,使f(of(0)fyf(2)1.因为f(c)f(3)1,且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理知，必存在(c,3)(0,3)，使f()0.方法2:由于f(0)f(1)f(2)3,如果f(0),f(1),f(2)中至少有一个等于1,例如f(2)1,则在区间2,3上对f(x)使用罗尔定理知,存在(0,2)(0,3)使f()0.如果f(0),f(1),f(2)中没有一个等于1,那么它们不可能全大于1,也不可能全小于1即至少有一个大于1,至少有一个小于1,由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)

25、内至少存在一点使f()1在区间,3对f(x)用罗尔定理知,存在(,3)(0,3)，使f()0.证毕.九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式a1ba1ba2a3ana1a2a1a2a3a3banana1a2a3anbaia2a3an(b(baiaiaia)ai)a2a3ana2a2a3ba2a2ba2a2a2bana3a30ana3a3a3a3an0ananb=bn1(bnai)

26、.i1n当A0,即b0且bai0时，秩An,方程组仅有零解.i1（2）当b0时,A0，原方程组的同解方程组为n当A0,即b0且bai0时，秩An,方程组仅有零解.i1（2）当b0时,A0，原方程组的同解方程组为aixia2x2anxn0.n由aiii0可知,ai（ii,2,n）不全为零不妨设ai0,得原方程组的一个基础解系a?ta3t(,i,0,0)T,2(-,0,i,0)T,aiai(色,0,0,i)T.aiainaii0.这时0，原方程组的系数矩阵可化为aia2aiai将第i行的（-加到其余各行i)倍a2a3a3anana2a2aia3naiiiana3annaiia2a3annaiiia

27、iiinaiii从第2行到第n行从第2行到第n行aia2a3an同乘以-V1倍aii1将第i行的（aj倍加到第1行，i2,3，n由此得原方程组的同解方程组为X2X1,X3X1,XnX1原方程组的一个基础解系为(1,1,1)T.十【分析】特征值之和等于A的主对角线上元素之和，特征值之积等于A的行列式，由此可求出a,b的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】a（1）二次型f的矩阵为A00.设A的特征值为i（i1,2,3）,由题设得223a11a22a332(2)1,解得a1,b求矩阵3|

28、A|4a2b212.A的特征值2(2)(3)0,得矩阵A的特征值12,33.对于22,解齐次线性方程组（2EA）x0,系数矩阵为础解系0，得基对于解系0，得基础1(2,0,1)T,2(0,1,0)T.3,解齐次线性方程组（3EA）x0,系数矩阵为02(1,0,2)T.由于2,3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将3单位化，由此令矩阵11Q,5)T,2(0,1,。)T,3(4，-4)t.-52"501"501_、5则Q为正交矩阵.在正交变换XQY下，有qtaq且二次型的标准形为f2y22y；【评注】本题求a,b也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定:二次型f的