高中数学解三角形应用举例(有答案)

1、解三角形应用举例一.选择题（共19小题）A所在的河岸边另选定一点C,测得1. （2014?海南模拟）如图，已知A,B两点分别在河的两岸，某测量者在点A . 506mB - 2&VmAC=50m,/ACB=45°,/CAB=105°,则A、B两点的距离为（）D.50&m2. （2014?海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案：（AABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）:测量A、C、b;测量a、b、C;测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）AA.B

2、.C.D.3. （2014?重庆一模）在。点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且/POQ=90°,再过两分钟后，该物体位于R点，且ZQOR=30°,则tan/OPQ的值为（）A.日B.2aC.3D.22出4. （2014?成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北”的方向上，在B处测得塔底C在西偏北3的方向上，并测得塔顶a<2，则此塔高CD为（5. （2014?浙江模拟）如图，在铁路建设中，

3、需要确定隧道两端的距离（单位：百米）某一点C的距离分别为5和8, /ACB=60。，则A, B之间的距离为（）D. 8,已测得隧道两端点A,B到6. （2014?房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）32C. 20, 35D. 20, 4020海里的B处有一艘渔船遇险等待7. （2014?濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30。相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东卅30。角的方向沿直线前往B处营救，则sin

4、。的值为（）B.V228. （2014?成都三模）某公司要测量一水塔 CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A, B两个观测点，在A处测得该水塔顶端 一，KD的仰角为”,在B处测得该水塔顶端 D的仰角为 &已知AB=a ,0< 3< a<,则水塔CD的高度为（A . asin (0 - 5 ) sin B b .sin(Ias in。min 5sin (5- B )C. asin (匹 一 B ) sinP D.cos<l9. （2014?怀化一模）在等腰 RtAABC 中，AB=AC=4 ,点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经,

5、则 PQR的周长等于（BC, CA反射后又回到原来的点 P.若A.B.C.10. （2012?珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动, 险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（离台风中心30千米内的地区为危A . 0.5小时C. 1.5小时D. 2小时11. （2011?宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力120°角，且y=g （x）的大小分别为1和2,则有（F1,F2, F3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知 D成 ）A . F1, 53成90°角B. F1, F3成 150°角C. F2, 53成90

6、6;角D. F2, F3成 60°角12. （2011?大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km,B船在灯塔C西偏北15o且B到C的距离为jjjkm,则A,B两船的距离为（）A.5kmB.J21kmC.4kmD.Jlkm13. （2011?安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为 “ 沿倾斜角为 3的斜坡向上走a米到达B,在B处测得山顶P的仰角为y,则山（Wj PQ为（）A .B.C.asin ( 7 - 0( ) sin (Y - P )D.sin。asin C Y - a ) sin (T ' P )sin314.（2010?武昌区模拟）

7、某人朝正东方向走 xkm后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好那么x的值为（）D. 3A.215.（2010?江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距10W1海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船 A正西方,A . 100海里C. 100海里或200海里则渔船 B与救护船A的距离是（）B. 200海里D. 10跖海里16. （2010?武汉模拟）飞机从甲地以北偏西1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行）A. 1400kmB

8、. 700%用kmC. 700/3kmD. 14002 km17. （2010?石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b （0vbva）.则该平板车长度的最大值为（）C.B.A. 60八D.|2V2a+2b15_的看台上，同一列上的第一 米（如图所示），则旗杆的18. （2009?韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60。和30。，第一排和最后一排的距离为高度为（）A. 10 米B. 30 米C. 1%国米D. 10遍米19.（2009?温州一模）北京2008年第29届奥运

9、会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15。的色?上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。和30。，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）.填空题（共7小题）D-1 （米/秒）20. （2014?重庆模拟）如图，割线点 E,贝U PE=.PBC经过圆心 O, PB=OB=1 , PB绕点O逆时针旋120°到OD ,连PD交圆。于21.（2014?南昌模拟）已知4ABC中，角A,B,C所对应的边的边长分别为a,b,c,外接圆半径是1,且满足条件2（sin2A-sin2C）=（sinA-s

10、inB）b,则4ABC面积的最大值为.22. （2014?韶关二模）一只艘船以均匀的速度由 A方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角） 海里.点向正北方向航行，如图，开始航行时，从为45。，行驶60海里后，船在B点观测灯塔A点观测灯塔C的C的方位角为75°,23. （2014?潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45。，与观测站A距离20历海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北0（0°<0<45°）的C处，且cos。事,已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里/小时.24.

11、（2014?潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km,DB=2km,A、B间的距离为3km,某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角/CND最大，则N处与A处的距离为km.B, D两点，测出四边形 ABCD各边的长度25. （2014?台州一模）为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上（单位：km）如图所示，且/B+/D=180°,则AC的长为km.26. （2014?黄冈模拟）路灯距地平面为8m,一个身高为1.75m的人以,m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处,沿某直线离开路灯，那么人影长

12、度的变化速率v为m/s.三.解答题（共4小题）27. （2014?广州模拟）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据：/ACD=90°,ZADC=60°,ZACB=15°,ZBCE=105°,/CEB=45°,DC=CE=1（百米）.（1）求CDE的面积；（2）求A,B之间的距离.28. （2014?福建模拟）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据

13、规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A）,要求PM=PN=MN=2（单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）AMB29. （2010?福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30。且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（n）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮

14、船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（出）是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.30. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°,求山高（精确到10米,sin70=0.94）.2014年12月27日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一.选择题（共19小题）1. （2014?海南模拟）如图，已知A,B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC=50m,/ACB=45&#

15、176;,/CAB=105°,则A、B两点的距离为（）A . 50V3mB - 25V3mC. 2WmD. 50/m考点：解三角形的实际应用.专题：应用题；解三角形.分析：依题意在A, B, C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC, /ACB, B的值求得AB解答：解：由正弦定理得ABACsinNACB in/E 'V2.AR_AC-sinZACB_ -AB=SWB=1-5W2，2 .A,B两点的距离为50/2m,故选：D.点评：本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.2. （2014?海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的

16、距离，李宁同学首先选定了与A、B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案：（AABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）:测量A、C、b;测量a、b、C;测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A.B.C.D.考点：解三角形的实际应用.专题：应用题；解三角形.分析：根据图形，可以知道a,b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A,B两点间的距离唯一即可.解答：解：对于可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离.对于直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离.故选：D.点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不

17、可直接测量，注意正弦定理的应用.3. （2014?重庆一模）在。点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且Z POQ=90 °,再过两分钟后，该物体位于R点，且ZQOR=30 °,则tan/ OPQ的值为（）A. V3B. 2V3C. 32考点： 专题： 分析：解答:解三角形的实际应用.计算题；解三角形.根据题意设PQ=x,可得QR=x, ZPOQ=90°, 别在AORQ、AOPQ中利用正弦定理， 计算出 的值.解：根据题意，设 PQ=x ,则QR=2x ,ZQOR=30 °, /OPQ+/R=60°

18、.算出 Z R=60 - Z OPQ,分OQ长，再建立关于/ OPQ的等式，解之即可求出tan/OPQ/POQ=90°,/QOR=30°,./OPQ+/R=60°,即/R=60°/OPQ在ORQ中，由正弦定理得00OQ=sinZR=2XS%/R=2xsin (60 - ZOPQ)在4OPQ中，由正弦定理得 OQ=OPsin90 2xsin (60 - ZOPQ) =xsin / OPQ 2sin (60 - Z OPQ) =sinZ OPQ>Sin / OPQ=xsin / OPQ. 2/OP0 - 5sin/OFQ) =sin/ OPQ整理得VS

19、cosZOPQ=2sin/OPQ,所以tan/OPQ必啊-幺二.IcosZOPQU33故选：B点评:本题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决本题的关键.4. （2014?成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了C在西偏北a的方向上，在B测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部处测得塔底C在西偏北3的方向上，并测得塔顶BC-3,/ACBA=a兀a,AB=a,Ja<2，则此塔高CD为（）sin(叮一Q)sin(口-B)'.asiiiGbc=Kii

20、(口，CD=BCtan 尸sin (口- P )tan 丫.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力.,已测得隧道两端点A, B到5. （2014?浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米）某一点C的距离分别为5和8,/ACB=60。，则A,B之间的距离为（A . 7B. 10>/129C. 6D. 8考点： 专题： 分析： 解答:点评:6. （2014?房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料, 影部分），则其边长x （单位：cm）的取值范围是（）欲加工成一个面积不小于 800cm2的内接矩形玻璃（阴A .

21、10, 30B. 25, 32C. 20, 35D. 20, 40考点： 专题： 分析：解三角形的实际应用.应用题；解三角形.设矩形的另一边长为 ym,由相似三角形的性质可得:I 60 - y、=,(0v xv 60).矩形的面积 S=x (60x),6060利用S书00解出即可.解三角形的实际应用.解三角形.由余弦定理和已知边和角求得AB的长度.解：由余弦定理知AB=：-;“：二一；一所以A,B之间的距离为7百米.故选：A.本题主要考查了余弦定理的应用.已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决.解答:解：设矩形的另一边长为ym,由相似三角形的性质可得：三尸一一,解得y=60-x,（0vxv6

22、0）60-60，矩形的面积S=x（60-x）,2矩形花园的面积不小于800m2,.x（60x）m00,化为（x20）（x40）4，解得20虫40.满足0vxv60.故其边长x（单位m）的取值范围是20,40.故选：D.点评：本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题.7. （2014?濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30。相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东卅30。A .B.退D.角的方向沿直线前往B处营救，则sin。

23、的值为（）考点：解三角形的实际应用.专题：应用题；解三角形.sin/ACB的值，即可求出分析：连接BC,在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin0的值.解答:解：连接BC,在4ABC中，AC=10海里，AB=20海里，ZCAB=120°根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC?AB?cos/CAB=100+400+200=700,BC=10.7海里，根据正弦定理得BCsinZCAB -sinZACB '20Tasin/ACB=匕=7sin9=点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系.8. （2014?成都

24、三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A,B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为”,在B处测得该水塔顶端D的仰角为&已知AB=a,0V3V,则水塔CD的高度为（）A-asin（O-PlsinPb.a-indsinbC.asin（-B）sin6d.自sin11sinClsin（口一B）cosG.sin（口一F）sinP考点：解三角形的实际应用.专题：应用题；解三角形.分析:解答:设CD=x,求出AC, BC,利用a=BC-AC,即可求出水塔 CD的高度.角的设CD=x,则AC=tan CL点评: BC=a=BC - AC , tan pta

25、n口 一 tan Psin ( Q -中)故选：B.本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，求出AC, BC是关键.9. （2014?怀化一模）在等腰 RtAABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A, B的一点，光线从点P出发，经BC, CA反射后又回到原来的点P.若,则 PQR的周长等于（A.B.C. 873考点：解三角形的实际应用.专题：综合题；解三角形.分析:解答:建立坐标系，设点 P的坐标，可得P关于直线BC的对称点Pi的坐标，和 由Pi, Q, R, P2四点共线可得4PQR的周长.解：建立如图所示的坐标系：P关于y轴的对称点P2的坐标,可得 B (4, 0) , C

26、(0, 4) , P (二，0)_ _ _ 一 4故直线BC的万程为x+y=4, P关于y轴的对称点P2 （-，0）,设点P关于直线BC的对称点Pi （x, y）,满足,P1 (4,-), ，一,由光的反射原理可知Pl,Q,R,P2四点共线,故PQR的周长等于|PiP2|=点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题.10. （2012?珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时考点：解三角形

27、的实际应用.专题：计算题.分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B到射线的距离，进而求得答案.解答：解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40,0）,台风中心移动的轨迹为射线y=x（x涮）,而点B到射线y=x的距离d=4O=2Q/2<30,故4/-（20加）2=20，故B城市处于危险区内的时间为1小时,故选B.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用.通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决.11. （2011?宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已

28、知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2,则有（）人.51,53成90°角B.F1,F3成150°角C.F2,53成90°角D.F2,53成60°角考点：解三角形的实际应用；向量的模；向量在物理中的应用.分析：处于平衡状态即三个力合力为0,利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出,T通过三角形边的关系求出角.解答：解：由司+同+可与?月二一（司-+7P?1-=，:21-?11cos120。=|-1-Ii-1一一|，一由I,I.-知，Fl,F3成90°角，故选A.点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的求法、及解

29、三角形.12. （2011?大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km,B船在灯塔C西偏北150且B到C的距离为Jjjkm,则A,B两船的距离为（）A.5kmB.V21kmC.4kmD.V15km考点：解三角形的实际应用.专题：计算题.分析：先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值.解答：解：依题意可得简图，可知A=150°,根据余弦定理可得，AB2=bc2+ac22BC>ACcosC=16,AB=4.故选C.测得山顶P的仰角为y,则山（Wj PQ为（专题： 分析：解答:点评：本题主要考查余弦定理的应用.属基础题.主要在于能够准确的画出图形

30、来.13. （2011?安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为“沿倾斜角为3的斜坡向上走a米到达B,在B处B.式n（T-B）sin（下一口）D.asi。1Y一a）minI¥sin?考点：解三角形的实际应用.计算题；应用题.“,，一-e一,口a?in（岂一方）、一、八一PAB中，由正弦定理可得PB=一"-7,根据PQ=PC+CQ=PB?sinasin3通分化简可得结果.sintY_J_.,.兀、K斛：PAB中，/PAB=a_3,/BPA=（a）一（力二1a,=目口PB产m3T）sin1口一0）sin1-。'sin（Y-口）asinsin(1-B)PQ=PC+CQ

31、=PB?siny+asin歹_-sin(Y-Q)故选B.点评：本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB=aKn(Q-S,是解题的关键.sin(Y-Q)14. （2010?武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好,那么x的值为（）A.2B.2C.V3D.3考点：解三角形的实际应用.专题：计算题.分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值.解答：解：如图，AB=x,BC=3,AC=yi,/ABC=30°.由余弦定理得3=x2+9-2>3>x

32、>Cos30°.解得x=2，：=或x二二故选A.54口-4-5-点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形.根据数据特点选择合适的定理建立方程求解.15. （2010?江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距1。收后海里,渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A.100海里B.200海里C.100海里或200海里D.10。的海里考点：解三角形的实际应用.专题：计算题.分析：先根据正弦定理求得sinB的值，进而确定B的值，最后根据B的值，求得AB.解答：解：设基地为与O处，根据正弦定理可知

33、=0AsinAsinB1-sinB=%?OA=/5X100后当urluu£.B=60°或120°当B=60°,/BOA=90°,ZA=30°BA=2OB=200当B=120°,/A=/B=30°OB=AB=100故渔船B与救护船A的距离是100或200海里.故选C点评：本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生转化和化归思想和逻辑思维的能力.16. （2010?武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地

34、距离为（）A.1400kmB.70072kmC.700/kmD.140Mkm考点：解三角形的实际应用.专题：计算题；数形结合.分析：设A,B,C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D,则/BAD和/DBC可知，进而求得/ABC=60。判断出三角形为正三角形，进而求得AC.解答：解：依题意，设A,B,C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D,则/BAD=75°,/DBC=75/ABC=75-15=60°AB=BC=1400AABC为正三角形AC=1400千米.故选A.点评：本题主要考查了解三角形的应用.要注意特殊三角形的运用.17. （2010?石家庄二模

35、）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0vbva）.则该平板车长度的最大值为（）D.|2V2a+2b考点：解三角形的实际应用.专题：应用题.分析：先设平板手推车的长度不能超过x米，此时平板车所形成的三角形：ADG为等腰直角三角形.连接EG与AD交于点F,利用ADG为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度解答：解：设平板车的长度的最大值为x由题意可得4ADG为等腰直角三角形，连接EG交AD于F,则EG=.口侦asin45FG=EG-EF=V2a-b得ADG为等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=2贬2b故选：C点评:本题主要考查了在实际问题中建立三角

36、函数模型，解答的关键是由实际问题：要想顺利通过直角走廊，转 化为数学问题：此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形18. （2009?韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60。和30。，第一排和最后一排的距离为高度为（）15_的看台上，同一列上的第一 米（如图所示），则旗杆的D.|l跖米A.10米B.30米C.10/5米考点：解三角形的实际应用.专题：计算题；数形结合.分析：先画出示意图，根据题意可求得/AEC和/ACE,则/EAC可求，然后利用正弦定理求得AC,最后在RtAABC中禾1J用AB=AC?sin/ACB求得

37、答案.解答：解：如图所示，依题意可知/AEC=45°,/ACE=180°-60-15=105°/EAC=180-45-105=30°CF.IAC由正弦定理可知不天占'AC=AC?sin/CEA=20 会米在RtAABC中,AB=AC ?sin/ACB=20 , 一；米答：旗杆的高度为30米故选B.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用.此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题,利用所学知识解决.19. （2009?温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15。的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆

38、顶部的仰角分别为60。和30。，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆A 卫（米/秒）底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）（米/秒）B亚（米/秒）5考点：解三角形的实际应用.专题：计算题；应用题.分析：先根据题意可知/DAB,/ABD和/ADB,AB,然后在4ABD利用正弦定理求得BD,进而在RtABCD求得CD,最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度.解答：解：由条件得4ABD中，/DAB=45°,ZABD=105°,ZADB=30°,AB=10p,由正弦定理得BD=-:-1-1?AB=20二；sinZADB1

39、贝U在RtABCD中，CD=20/3><Sin60o=30所以速度v=li£米/秒50国故选A.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生分析问题和基本的推理能力，运算能力.二.填空题（共7小题）20. （2014?重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O,PB=OB=1,PB绕点O逆时针旋120°到OD,连PD交圆。于点 E,则 PE=.考点：三角形中的几何计算.专题：计算题.分析：先由余弦定理求出 PD,再根据割线定理即可求出PE,问题解决.斛答： 解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2-2OD?OPcos120°=1+4 - 2MX2X （

40、-_1） =7,2所以PD=近.根据害U线定理 PE?PD=PB?PC得，VPE=1>3,所以pe=%71故答案为 迎7点评：已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗.21. （2014?南昌模拟）已知4ABC中，角A, B, C所对应的边的边长分别为 a, b, c,外接圆半径是1,且满足条件 2 ( sin2A - sin2C) = (sinA-sinB) b,则 4ABC 面积的最大值为考点： 专题： 分析：三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用.计算题.把b=2sinB代入已知等式并应用正弦定理得a2+b2- c2=ab由余弦定理 得c

41、osC，得至U C=60°,由ab=a2+b 2解答:-3或ab-3求得ab最大值为3,从而求得4ABC面积 工水抽口。的最大值.解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得2sin2A - 2sin2C=2sinAsinB - 2sin2B ,2 + b 2 - 2 sin A+sin B - sin C=sinAsinB , - a +b _ c =ab, ，cosC=-=2C=60°.ab=a2+b2- c2=a2+b2- （ 2rsinC） 2=a2+b2- 3或ab- 3,.ab小（当且仅当a=b时，取等号），.ABC面积为2abs2 M斓?=&

42、quot;j 故答案为旦i.4点评： 本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出abq是解题的难点.22. （2014?韶关二模）一只艘船以均匀的速度由方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角） 则A到C的距离是 30 （灰+巫）海里.A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的为45°,行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°,考点：解三角形的实际应用.专题：应用题；解三角形.分析：由题意，ZABC=105°,/C=30°,AB=60海里，由正弦定理可得AC.解答：解：由题意，ZABC=105°,/C=30&

43、#176;,AB=60海里.由正弦定理可得ac=AB>shlZABC=30（在死）海里.sinZC故答案为：30（V6+<2）点评：本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题.23. （2014?潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45。，与观测站A距离20日海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北0（0°<0<45°）的C处，且cos。乂,5已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为考点：解三角形的实际应用.专题：解三角形.分析：根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论.解答：解：

44、1cos=,sin,55由题意得/BAC=45°一依即cos/BAC=cos（45°0）第刍当邛,25U10,.AB=20亚，AC=10,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos/BAC,即BC2=（20VI）2+102-2>206刈04&800+100-560=340,710即BC=V而二左厢，设船速为x,则工冗=2山左，24x=4-（海里/小时）,故答案为：4.-：二点评：本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cos/BAC,以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键.24. （2014?潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到

45、一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km,DB=2km,A、B间的距离为3km,某公交公司要在A、间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角/CND最大，则N处与A处的距离为2JS-3km.考点：解三角形的实际应用.专题：应用题；三角函数的求值.分析：设出NA的长度x,把/CNA与/DNB的正切值用含有x的代数式表示，最后把ZCND的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N对C、D两个小区的视角/CND最大时的x值，即可确定点N的位置.解答：解：设NA=x,/CNA=a,/DNB=&依题意有tano=,tan户一-,93-ztan/CND=

46、tan兀（o+3）=tan（廿3）=1-1-x2-3i+2x3-R令t=x+3,由0vxv3,得3vtv6,贝UtanZCND=r-二一t£-9t+20t4阳藻+<3+t|3t=2V5,即x=2V5-3时取得最大角，故N处与A处的距离为（2代-3）km.故答案为：25-3.点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题,是中档题.25. （2014?台州一模）为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上B,D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）如图所示，且/B+/D=180°,则AC的长为/I_km.S考点

47、：解三角形的实际应用.专题：计算题；解三角形.分析：利用余弦定理，结合ZB+ZD=180°,即可求出AC的长.解答：解：由余弦定理可得AC2=22+32-2?2?3?cosD=13-12cosD,AC2=52+82-2?5?8?cosB=89-80cosB,/B+ZD=180°,2AC2=13+89=102,AC=h/Tkm.故答案为：一点评：本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键.26. （2014?黄冈模拟）路灯距地平面为8m,一个身高为1.75m的人以jm/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处,沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为二_m/s

48、.5考点：解三角形的实际应用.专题：解三角形.分析：由题意画出几何图形，设出人从C点运动到B处路程、运动时间及人影长度，由三角形相似求出人影长度与运动路程间的关系式，把运动路程用运动速度和运动时间替换，求导后得答案.解答：解：如图，路灯距地平面的距离为DC,人的身高为EB.设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为V,BE/CD,AC-CD.V.L75 y=X, 25故答案为:点评:又.x=t,ny=则y=1,5人影长度的变化速率为-m/s.5解答此题的关键是明确题意，把实际问题转化为数学问题，是中档题.三.解答题（共4小题）27. （2014?广州模拟）如图，

49、某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C;并测量得到数据：/ACD=90°,/ADC=60°,ZACB=15°,ZBCE=105°,ZCEB=45°,DC=CE=1（百米）.（1）求CDE的面积；（2）求A,B之间的距离.考点：解三角形的实际应用；余弦定理.专题：计算题.分析：（1）连接DE,在4CDE中，求出/DCE,直接利用三角形的面积公式求解即可.（2）求出AC,通过正弦定理求出BC,然后利

50、用余弦定理求出AB.解答：解：（1）连接DE,在4CDE中，/DCE=360°-90°-15°-105°=150°,（1分）SaeCD4tle比式n150"=1尺式门3。口><2=（平方百米）（4分）（2）依题意知，在 RTAACD 中，55 分）在 4BCE 中，/ CBE=180 - / BCE - / CEB=180 - 105 - 45 =30°由正弦定理 型=选一sinZCEB -sinZCBEBC二. %mTin/CEa-X 名i口4 5 口二V?sinZCBEgin 30得cos15 =cos （6

51、00- 45°） =cos60 cos45 +sin60 °sin45°（7分）（8分）（9分）在 ABC 中，由余弦定理 AB2=AC2+BC22AC?BCcos/ACB（10 分）可得卜屋=杼+娟2 -gxg x=2-V?（11分）物在二猫（百米）（12 分）点评：本题考查三角形的面积的求法，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力.28. （2014?福建模拟）如图，经过村庄 A有两条夹角为60°的公路AB, AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内 建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄 A）,要求PM=PN=MN=2 （单位：千米）.如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）考点：解三角形的实际应用.专题：综合题；解三角形.分析：设/AMN二依在4AMN中，求出AM,在4APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简,孙一二_Mlsin60sin（1200-9）即可得出结论.解答：解：设ZAMN=0,在4AMN中,因为MN=2,所以AM=一；sin（120-0）.3在4APM中，cos/AMP=cos（60°+。）.-6分AP2=AM2+mp2-2AM?MP?cosZA