材料力学第4章-弯曲强度2

1、华中科技大学华中科技大学 力学系力学系钱钱 勤勤E-mail：Tel: 87543438(O) 第四章第四章 弯曲强度弯曲强度材料力学材料力学* * 平面平面弯曲的概念弯曲的概念* * 梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图* * 剪力与弯矩剪力与弯矩* * 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图* * 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系* * 纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力* * 梁的切应力梁的切应力* * 梁梁弯曲时的强度计算弯曲时的强度计算剪力与弯矩剪力与弯矩梁的内力梁的内力弯曲变形弯曲变形 直直线变成曲线线变成曲线的变形形式，简称的变形形式，简称弯曲弯曲。

2、梁梁外力外力垂直于垂直于杆的轴线，使得杆的杆的轴线，使得杆的轴线由轴线由以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件平面弯曲平面弯曲外力外力作用在梁的作用在梁的纵向对称平面纵向对称平面内，内，使梁的使梁的 轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形剪力剪力( (FS ) ) 与横截面的法向垂直的内力与横截面的法向垂直的内力 弯矩弯矩( (M ) )横截面上的内力偶矩横截面上的内力偶矩剪力与弯矩剪力与弯矩梁的内力梁的内力xaFAyF1FByF2bCMMSFSF符号规定符号规定剪力与弯矩剪力与弯矩梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩的正负号规则的正负号规则 剪力剪力

3、FS使截开部分梁段产生顺时针方向转使截开部分梁段产生顺时针方向转动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。 FSFS由下转向上为正由下转向上为正(微段向上凹微段向上凹)，反之为负。反之为负。实用法则实用法则弯矩弯矩：剪力与弯矩剪力与弯矩 1axFxFMAy (外力矩外力矩)左顺右逆，左顺右逆，M为正。为正。剪力剪力：S1 AyFFF(外力外力) 左上右下，左上右下，FS为正。为正。xaFAyF1FByF2bCMMSFSF剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图第四章第四章 弯曲强度弯曲强度三、列方

4、程法作剪力图和弯矩图三、列方程法作剪力图和弯矩图四、叠加法作弯矩图四、叠加法作弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力方程剪力方程一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程弯矩方程弯矩方程 SSFFx xMM 剪力随横截面变化的函数表达式剪力随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式剪力图剪力图二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图弯矩图弯矩图2. .剪力剪力正正值画在值画在上上方，方，负负值画在值画在下下方。方。做法：做法：1. .横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；剪力随横截面的变化曲线剪力随横截面的变化曲线弯

5、矩随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图3. .弯矩弯矩正正值画在值画在下下方，方，负负值画在值画在上上方。方。正值弯矩在受拉边正值弯矩在受拉边MxM图图FxF 图图SS作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图的方法：的方法：二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图 1. .列方程法列方程法 2. .叠加法叠加法 3. .控制点法控制点法剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 解：解：1）求约束反力：）求约束反力： MA(F )=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kNBAM0q4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0 Fx=FAx

6、=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0 x1FAy0qMM1 1FS1剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAM0q4m4m2m2mxCDEFAyx2FAy0BqMM2 2FS2x3FAy0BqCM0MM3 3FS3x4FAy0BqCM0FDMM4 4FS4剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAM0q4m4m2m2mxCDEFAyx4FAy0BqCM0FDMM4 4FS40 x4MM4 4FS4剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAM0q4m4m2m2mxCDEFAy剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图BAM0q4m4m2m2mxCDEFAyx-+491332+M/kNmBACDEx124128150剪力图和弯矩图剪力图

7、和弯矩图四、四、 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图qMFeFqMexxxx可见：可见： 剪力方程和弯矩方程都是剪力方程和弯矩方程都是载荷载荷F、q和和Me的的线性函数线性函数 SFx Fx q0 eM xMFx2 21x q eM剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图四、四、 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图叠加原理：叠加原理： 由由几个几个外力外力同时同时作用时所引起的构件内的某一参数作用时所引起的构件内的某一参数 （内力、应力或位移等）（内力、应力或位移等） 由由各个各个外力外力单独单独作用时所引起的构件内的该一参数作用时所引起的构件内的该一参数 的的矢量和矢量和或或代数和代数和适用条件：适用条件：小变形情

8、况小变形情况 SFx Fx q0 eM xMFx2 21x q eMqMFex剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例 5 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出作出F单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图，得到叠加上述两图，得到F和和Me同时作用时的弯矩图同时作用时的弯矩图FM = Fl142l2le2l2lFlM = Fl14eFl14Fl14Fl14Fl18剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例 6 试用叠加法作图示简支梁的弯矩图试用叠加法作图示简支梁的弯矩图解：解： 1. .作出

9、作出q单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 2. .作出作出Me单独作用时的弯矩图单独作用时的弯矩图 3. .叠加上述两图叠加上述两图qlM = ql182elqM = ql18l2eql182ql182ql182ql 91282剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第四章第四章 弯曲强度弯曲强度剪力剪力、弯矩和分布弯矩和分布载荷集度间载荷集度间的微分关系的微分关系一、一、FS、M和和q之之间的微分关系间的微分关系二、突变条件二、突变条件三、控制点法作剪力图和弯矩图三、控制点法作剪力图和弯矩图dxq(x)一、一、FS、M和和 q 之之间的微分关系间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩

10、和分布载荷集度间的微分关系规定：规定： q为为 + +q(x)AByxFMe取微段取微段dx为研究对象为研究对象由由 Fy = 0： SdFxq xx SSd0FxFx得到得到 Sd dFxq xxxdx)M(x)F (xSM(x)+dM(x)F (x)+dF (x)SSdxq(x)由由 MC = 0：忽略二阶微量，得到忽略二阶微量，得到 SdM xFxx d0M xM x Sd dM xFxxC)M(x)F (xSM(x)+dM(x)F (x)+dF (x)SSxdxq(x)AByxFMe dd2xq xx一、一、FS、M和和q之之间的微分关系间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系

11、剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系即：即： Sd dM xFxx Sd dFxq xx 2S2dd ddM xFxq xxx弯矩弯矩二二分布载荷集度分布载荷集度弯矩弯矩一一力力剪剪 由此得到由此得到 x 截面上的截面上的剪力剪力对对 x 的的一一阶导数阶导数 x 截面上的截面上的分布载荷集度分布载荷集度一、一、FS、M和和q之之间的微分关系间的微分关系梁的平衡微分方程梁的平衡微分方程剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系 弯矩图弯矩图凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度凹凸性取决于该截面处的分布载荷集度弯矩图弯矩图切线斜率切线斜率力力剪剪 剪力图剪力图上上 x

12、 截面处的截面处的切线斜率切线斜率 该截面处的该截面处的分布载荷集度分布载荷集度即：即： Sd dM xFxx Sd dFxq xx 2S2dd ddM xFxq xxx由此得到由此得到一、一、FS、M和和q之之间的微分关系间的微分关系梁的平衡微分方程梁的平衡微分方程剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系 Sd dM xFxx Sd dFxq xx微分关系对应表微分关系对应表q(x) = 0q(x) = q =qx = 0dF (x) dx= qq 0q 0q 0F = 0F 0水平线水平线斜直线斜直线斜直线斜直线抛物线抛物线极小值极小值抛物线抛物线极大值极大

13、值MxM图图q图图F 图图常量常量 SSdF (x) dxSSSSSS剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系二、突变条件二、突变条件qxFxMxM图图q图图F 图图FFFFSSMeMeMeMe突变条件对应表突变条件对应表剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系三、控制点法作剪力图和弯矩图三、控制点法作剪力图和弯矩图剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系 Sd dM xFxx Sd dFxq xxSd( )dBBBAAAMMMMF xxSSSSd( ) dBBBAAAFFFFq xx任一段梁上，任

14、一段梁上，剪力增量等于剪力增量等于q q 图的面积，图的面积， 弯矩增量等于剪力图的面积。弯矩增量等于剪力图的面积。 考虑任一段梁考虑任一段梁( (AB段段) )，把平衡微分方程在这段梁上积分，把平衡微分方程在这段梁上积分qBAMAFSBMBFSA1m45 kN/m20 kN mABCDE30 kN.F1m1m2m2m F = 100 kNAyF = 20 kNBy 例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。解：解：1. .求支反力求支反力2. .作作FS图图3. .作作M图图GF (kN)S702030 20.M(kN m)2030解：解：4.

15、.求求AD段的极值弯矩段的极值弯矩( (1) )求极值弯矩的位置求极值弯矩的位置解析法解析法： S30 100450Fxx 令令得到得到m 56. 1 x几何法几何法：由剪力图：由剪力图：9:72: x得到得到m 56. 1914 x1.56m例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。1m45 kN/m20 kN mABCDE30 kN.F1m1m2m2m F = 100 kNAyF = 20 kNBy GF (kN)S702030 20.M(kN m)2030解：解：( (2) )求极值弯矩的数值求极值弯矩的数值56. 230 GM256. 15

16、6. 145 mkN 5 .24 例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。4. .求求AD段的极值弯矩段的极值弯矩56. 1100 1.56m1m45 kN/m20 kN mABCDE30 kN.F1m1m2m2m F = 100 kNAyF = 20 kNBy GF (kN)S702030 20.M(kN m)2030解：解：Smax70 kNFmkN 30max M5. .求梁的求梁的 和和maxMSmaxF例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。1.56m1m45 kN/m20 kN mABC

17、DE30 kN.F1m1m2m2m F = 100 kNAyF = 20 kNBy GF (kN)S702030 20.M(kN m)2030qBAqBACqBAqBAqBAqxEqBAqBAqBAxFS xqa/2qa/2FSFSqqMxMxqqqqqqxFSxFSqaFSMxMxqa2/2qa2FSqqqqFS返回返回返回总目录返回总目录B 简单刚架的组成简单刚架的组成横梁、立柱与刚节点。横梁、立柱与刚节点。 刚架刚架若干杆件通过刚性连接而成的结构。若干杆件通过刚性连接而成的结构。 面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量力分量轴力、剪力和弯矩。轴力、

18、剪力和弯矩。 内力分量的正负号与观察者位置的关系：内力分量的正负号与观察者位置的关系：轴力的正负号与观察者位置无关；轴力的正负号与观察者位置无关；剪力的正负号与观察者位置无关；剪力的正负号与观察者位置无关；弯矩的正负号与观察者位置有关。弯矩的正负号与观察者位置有关。轴力的正负号与观察者位置无关轴力的正负号与观察者位置无关剪力的正负号与观察者位置无关剪力的正负号与观察者位置无关弯矩的正负号与观察者位置有关弯矩的正负号与观察者位置有关节点处的平衡关系节点处的平衡关系FNFSFNFSFNFSFNFSB 已知平面刚架上已知平面刚架上的均布载荷集度的均布载荷集度q,长长度度l。B 画出刚架的画出刚架的内

19、力图。内力图。B 1、确定约束力、确定约束力ql2ql2qlBql2ql2ql2、确定控制面。、确定控制面。BBACBABA 3、确定控制面上的内力。、确定控制面上的内力。FS(B)FN(B)M(B)考察立柱考察立柱AB的平衡的平衡SS000 xFqlqlFBFB ,NN0022,yqlFFBqlFB 20022,BlMFM BqllqlqlM B SFAql N2qlFA 0M A BBC3、确定控制面上的内力。、确定控制面上的内力。FN(B)FS(B)M(B)考察考察 横梁横梁BC的平衡的平衡N00 xFFBSS0022yqlFFBqlFB , 20022,BqlMFlM BqlM B S

20、F Cql N0FC 0M C 4、画剪力图、画剪力图和弯矩图。和弯矩图。qlababcb22ql22ql 将控制面上的剪力将控制面上的剪力和弯矩分别标在和弯矩分别标在FS和和M坐坐标中。标中。 根据微分关系连图根据微分关系连图线。线。 剪力图标上正负号。剪力图标上正负号。 弯矩图画在受拉的弯矩图画在受拉的一侧。一侧。bc2ql2qlSF4、画轴力图。、画轴力图。 将控制面上的轴力将控制面上的轴力标在标在FN坐标中。坐标中。 连图线。连图线。b2ql2qlabc 根据轴力的拉、压根据轴力的拉、压性质，在图上标上正负号性质，在图上标上正负号。FNFSqa2/2qa2/2返回返回返回总目录返回总目录从中能得到什么从中能得到什么 重要结论重要结论？ qqFSFSqqqqFS 比较三种情形下比较三种情形下梁的受力、剪力和弯梁的受力、剪力和弯矩图的相同之处和不矩图的相同之处和不同之处同之处. . 确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？ 力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩力系简化