概率论与数理统计(第4版) ：8-2 正态总体均值的假设检验

1、第二节第二节 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验一、单个总体均值一、单个总体均值 的检验的检验二、两个总体均值差的检验二、两个总体均值差的检验(t 检验检验)三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验(t 检验检验) 四、小结四、小结一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验),(2 N)( ,. 12检验检验的检验的检验关于关于为已知为已知Z , ),( 2 N体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总:0的检验问题的检验问题关于关于 ,2为已知时为已知时当当 )1(假设检验假设检验, :00 H ; :01 H)2(假设检验假设检验 , :00 H ; : 01 H)3

2、(假设检验假设检验 , :00 H . :01 H一个有用的结论一个有用的结论和检验问题和检验问题检验问题检验问题0100:,: HH0100:,: HH有相同的拒绝域有相同的拒绝域. . , 时时当显著性水平均为当显著性水平均为 , / 0来确定拒绝域的来确定拒绝域的nXZ 这种检验法称为这种检验法称为 .检验法检验法Z在这些检验问题中，在这些检验问题中， 我们都是利用统计量我们都是利用统计量证明证明,10小小中的中的都比都比中的中的因为因为 HH, :,: 0100中中在检验问题在检验问题 HH从直观上看从直观上看, , , 00过分大过分大的差的差与与若观察值若观察值 xx. 10HH

3、接受接受则我们拒绝则我们拒绝. )( , 0待定待定拒绝域的形式拒绝域的形式kkx | 00为真为真拒绝拒绝HHP)(00kxP 由标准正态分布的分布函数由标准正态分布的分布函数 的单调性可知的单调性可知, ,)( 合理的检验法则是合理的检验法则是:,0kx 即即 nknxP/000 0/)(10 nk0/)(0 nk nk/)(00 ,/ nk , | 00 为真为真拒绝拒绝因此要控制因此要控制HHP ,/ nk只需令只需令 ,)/( znk 即即的拒绝域为的拒绝域为检验问题检验问题 :,: 0100 HH ,)/(0 znx ./ 0 znx 即即 ,),(22已知时已知时在方差在方差比较

4、正态总体比较正态总体 N, :,: :,:01000100 HHHH和和 ,0的形式不同的形式不同尽管原假设尽管原假设H第二类形式的检验问题可归结为第一类形式讨论第二类形式的检验问题可归结为第一类形式讨论. .的两种检验问题的两种检验问题 对均值对均值 , 于相同的显著性水平于相同的显著性水平,实际意义也不同实际意义也不同但对但对.它们的拒绝域相同它们的拒绝域相同)( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t , , 21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn , ),(2 NX设总体设总体 ,2未知未知其中其中 ).( 显著性水平为显著性水平为我们我们来求检验问题来求检验

5、问题 , :00 H ; : 01 H的拒绝域的拒绝域由于由于 . / 0来确定拒绝域来确定拒绝域现在不能利用现在不能利用nX , 22的无偏估计的无偏估计是是注意到注意到 S, 来代替来代替我们用我们用S , 2未知未知 采用采用 /0nSXt .来作为检验统计量来作为检验统计量 / 0过分大过分大当观察值当观察值nsxt ,0H时就拒绝时就拒绝 拒绝域的形式为拒绝域的形式为 .knsxt/ 0 ,0为真时为真时当当H根据第六章根据第六章2 2定理三定理三),1(/0 ntnSX 故由故由定理三定理三,00HHP拒绝拒绝为真为真当当 knSXP/00 , )1( 2/ ntk 得得 / 0n

6、sxt 拒绝域为拒绝域为即得即得 . )1(2/ nt , ),(2 N对于正态总体对于正态总体 ,2未知时未知时当当 .8.1 中给出中给出单边检验的拒绝域在表单边检验的拒绝域在表的的 关于关于 , 上述利用上述利用 t t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t t 检验法检验法. .我们我们常用常用t t 检验法来检验关于正态总体均值的检验法来检验关于正态总体均值的 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知,所以所以检验问题检验问题.均为未知均为未知. 现现测得测得1616只元件的寿命只元件的寿命170485260149250168362222264179

7、379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(225(小时小时)?)?2, 例例1 1解解 ,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态服从正态如下如下:分布分布,查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t 6685. 0/0 nsxt , 0H故接受故接受t表分布表分布 .225小时小时大于大于认为元件的平均寿命不认为元件的平均寿命不体均值差的假设体均值差的假设.),

8、( , 21211 NXXXn为来自正态总体为来自正态总体设设,的样本的样本的的为来自正态总体为来自正态总体),(,22212 NYYYn ,样本样本 .且设两样本独立且设两样本独立的的分别是总体分别是总体又设又设YX, ,样本均值样本均值 ,2221是样本方差是样本方差SS , 221均为未知均为未知 .相等相等这里假设两总体的方差这里假设两总体的方差，要特别注意的是要特别注意的是二、两个总体二、两个总体),(),(222211 NN的情况的情况利用利用t 检验法检验具有相同方差的两正态总检验法检验具有相同方差的两正态总：现在来求检验问题现在来求检验问题 :211 H .)(的拒绝域的拒绝域

9、为已知常数为已知常数 , :210 H . 取显著性水平为取显著性水平为 : 统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量下述下述引入引入t,11)(21nnSYXtw ,2)1()1( 212222112 nnSnSnSw.2wwSS 其中其中 , 00HHP拒绝拒绝为真为真 knnSYXPw2111)(21 由由 ).2( 212/ nntk 可得可得故得拒绝域为故得拒绝域为2111)(nnsyxtw ).2(212/ nnt 关于均值差的其他两个检验问题的拒绝域关于均值差的其他两个检验问题的拒绝域见表见表8.1,. 0 的情况的情况的是的是常用常用 值差的假设问题值差的假设问题, 例例2转变

10、转变）测定冰自）测定冰自和和用两种方法（用两种方法（。C72. 0BA)./(C0克计克计以卡以卡的水的融化热的水的融化热为为。测得以下数据：测得以下数据：02.8000.8002.8003.8005.8097.7904.8003.8003.8004.8002.8004.8098.79：方法方法A 当两个正态总体的方差均为已知当两个正态总体的方差均为已知(不一定相不一定相我们可用我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均检验法来检验两正态总体均等等) 时时,见表见表8.1 .97.7895.7903.8097.7997.7998.7994.7902.80：方法方法B设这两个样本相互独立，设这两个样

11、本相互独立，且分别来自正态总体且分别来自正态总体),(),(2221 NN和和.,221均未知均未知 :)05. 0 （取显著性水平（取显著性水平试检验假设试检验假设, 0210 H, 0211 H解解分别画出对应于方法分别画出对应于方法A和方法和方法B的数据的箱线的数据的箱线图图(图图83略略)，显差异的，显差异的，如图这两种方法所得的结果具有明如图这两种方法所得的结果具有明现在来检验上述我们看到的假设现在来检验上述我们看到的假设.,0H故拒绝故拒绝.BA测得的融化热要大测得的融化热要大比方法比方法认为方法认为方法,131 n,024. 022 As，82 n,03. 022 Bs2ws8/

12、113/1 wBsxxtA 33. 3.7291. 1 )2813(05. 0 t ,98.79B x,02.80 Ax1971222BAss .0007178. 0 三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验( t 检验检验 )这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.两种方两种方法等的差异法等的差异,有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品,或两种仪器或两种仪器,我们常在相同的条件下做对比试验我们常在相同的条件下做对比试验,得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值.然后分析观察数据作出然后分析观察数据作出推断推断.得到得到9对观察值如下对观察值如下:,xI,yI例例3 3用来测量

13、材料中某种用来测量材料中某种金属的含量金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著差异为鉴定它们的测量结果有无显著差异,制备了制备了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均匀性它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块现在分别用这两台机器对每一试块测量一次测量一次, 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能否

14、认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?)01. 0( 有两台光谱仪有两台光谱仪本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块一对即对同一试块一对 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起数据数据,的的.由于各试块的特性有广泛的差别，由于各试块的特性有广泛的差别， 解解表中第一表中第一行不能看成是一个样本的样本值行不能看成是一个样本的样本值.表中第二行也不表中第二行也不能看成是一个样本的样本值能看成是一个样本的样本值. 而

15、同一对中两个数据的差异则可看成是仅而同一对中两个数据的差异则可看成是仅素素,于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因由这两台仪器性能的差异所引起的由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样这样, 局限局限而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差,iiiyxd ),(), 2 , 1( 2DDiiiNniYXD 来自正态总体来自正态总体设设 ., 2均为未知均为未知这里这里DD 若两台机器的性能一样若两台机器的性能一样, ,21属随机误差属随机误差则各对数据的差异则各对数据的

16、差异nddd随机误差可以认为服从正态分布随机误差可以认为服从正态分布, , 其均值为零其均值为零.需检验假设需检验假设, 0:0 DH ; 0:1 DH ,221DnsdDDD样本方差样本方差的样本均值的样本均值设设, 9 n现在现在nsdtD/ 由观察值得由观察值得,06. 0 d,1227. 0 Ds467. 19/1227. 006. 0 t3554. 3 即知拒绝域为即知拒绝域为 , )1(/0 2/ ntnsdtD 拒绝域为拒绝域为的值不落在拒绝域内，的值不落在拒绝域内，现现t，故接受故接受0H.著差异著差异机器的测量成果并无显机器的测量成果并无显认为两台认为两台)8(005. 0/

17、ttn ,3554. 3 .3554. 3 做以下的实验以比较人对红光或绿光的反应做以下的实验以比较人对红光或绿光的反应时间（以秒计）时间（以秒计）. 实验在点亮红光或绿光的同时，实验在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，启动计时器， 要求受试者见到红光或绿光点亮时，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，就按下按钮， 切断记时器，切断记时器， 这就能测得反应时间这就能测得反应时间.测得的结果如下表：测得的结果如下表：例例4 4是来自正态总体是来自正态总体设设)8 , 2 , 1( iYXDiii的样本，的样本，),(2DDN .,2均未知均未知DD 取取试检验假设试检验假设( 10. 00

18、0. 005. 003. 007. 017. 009. 013. 061. 038. 041. 027. 046. 058. 032. 043. 051. 038. 036. 024. 053. 041. 023. 030. 0 yxdyx绿绿光光红红光光)05. 0 显著性水平显著性水平, 0:0 DH ; 0:1 DH , 8 n现在现在,0625. 0 dx,0765. 0 ds而而311. 28/ ddsx8946. 1 解解 )7(05. 0t ，故拒绝故拒绝0H，认为认为0D 即认为人对红光的反应即认为人对红光的反应时间，时间，时间小于对绿光的反应时间小于对绿光的反应也就是人对红光

19、的也就是人对红光的反应要比绿光快反应要比绿光快.补充例题补充例题四、小结四、小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有: :; . 1检验检验的检验的检验单个总体均值单个总体均值Z ; . 221检验检验的检验的检验两个总体均值差两个总体均值差t ;. 3检验检验基于成对数据的检验基于成对数据的检验t正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 ) ( 显著性水平为显著性水平为假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤. .真实情况真实情况( (未知未知) )所所 作作 决决 策策接受接受 H0拒绝拒绝 H0H

20、0 为真为真正确正确犯第犯第I I类错误类错误H0 不真不真犯第犯第IIII类错类错误误正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误课后作业：教材课后作业：教材262262页习题第页习题第1 1，2 2，3 3题题 4)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttn

21、ttntt2/zzzzzz32 17),(21222122212221未知)(000成对数据DDDnSDtD/0000DDD) 1() 1() 1(2/nttnttntt0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知2022) 1(Sn2221SSF 202202202222122212221) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或65第六章第六章2定理三定理三).1(/ ,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是总体是总体设设返回返回