概率论与数理统计(第4版) ：8-1 假设检验

1、第一节第一节 假设检验假设检验二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理四、小结四、小结一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理还是拒绝还是拒绝. . 0的假设等的假设等期望等于期望等于对于正态总体提出数学对于正态总体提出数学 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性为了推断总体的某些性质质, 提出某些关于总体的假设提出某些关于总体的假设.例如例如, 提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设

2、; ,又如又如假设检验就是根据样本对所提出的假设作出假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断判断: 是接受是接受,假设检验问题是作出这一决策的过程假设检验问题是作出这一决策的过程. .如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? ?事件在一次试验中几乎是不可事件在一次试验中几乎是不可下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想. .假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. .通常借助于直观分析和理论通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法分析相结合的做法, 其基本原理就其基本原理就是人们在实际

3、问题中经常采用的是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理所谓实际推断原理:“一个小概率一个小概率能发生的能发生的”.例例1某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖, 袋装糖的袋装糖的净重是一个随机变量净重是一个随机变量, 它服从正态分布它服从正态分布.0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511当机器正当机器正常时常时, 其均值为其均值为0.5kg, 标准差为标准差为0.015kg. 某日开工某日开工后为检验包装机是否正常后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装随机地抽取它所包装的糖的糖9袋袋, 称得净重为称得净重为(kg):问机器是否正常问机

4、器是否正常? 0.520 0.515 0.512,的的净净分分别别表表示示这这一一天天袋袋装装糖糖和和以以 ,的均值和标准差的均值和标准差重总体重总体X,015. 0 ),015. 0,( 2 NX于是于是.未知未知这里这里 由长期实践表明标准差比较稳定由长期实践表明标准差比较稳定,我们就设我们就设. 0.5 我们提出两个相互对立的假设我们提出两个相互对立的假设. :01 H0.5 问题是根据样本值判断问题是根据样本值判断还是还是 为此，为此， :0H和和 0 5 . 0然后，然后， 我们给出一个合理的法则，我们给出一个合理的法则， 根据这一法根据这一法问题问题分析分析则，则，即拒绝即拒绝是接

5、受假设是接受假设利用已知样本作出决策利用已知样本作出决策(0H, )1H假设假设. )(10HH即接受假设即接受假设还是拒绝假设还是拒绝假设，则认为则认为0 如果如果,0H作出的决策是接受作出的决策是接受工作是正常的工作是正常的,即认为机器即认为机器否则否则, 认为是不正常的认为是不正常的. , 的无偏估计的无偏估计是是 X不应不应 | 0 x，总体均值总体均值由于要检验的假设涉及由于要检验的假设涉及 .进行判断进行判断本均值本均值X,0为真为真H可借助样可借助样,太大太大为真时为真时当当0H. )1 , 0(/0NnX 的大的大的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量衡量衡量 /|00nxx .

6、小小,k适当选定一正数适当选定一正数,/0时时满足满足当观测值当观测值knxx 反之，反之，,0H拒绝假设拒绝假设 .0H就接受假设就接受假设,/0时时若若knx ),1 , 0(/0NnXZ 为真时，为真时，由于当由于当0H由标准正态分布分位点的定义得：由标准正态分布分位点的定义得：,2/ zk .0H接受接受 ,/ 2/0时时 znx ,0H拒绝拒绝,/2/0时时当当 znx 0.05, 在实例中若取定在实例中若取定,96. 1 025. 02/ zzk 则则 , 9 n又已知又已知 0.511, x由样本算得由样本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒绝假设于是拒绝假设H0,

7、 , 假设检验过程如下假设检验过程如下: :0.015, 认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.以上所采取的检验法是符合实际推断原理的以上所采取的检验法是符合实际推断原理的. .,总是取得很小总是取得很小因通常因通常 一般取一般取 0.01,0.05. ,0为真为真因而当因而当H, 0时时即即 2/0/ znX ,是一个小概率事件是一个小概率事件 ,根据实际推断原理根据实际推断原理 就可以认就可以认 ,0为为真真为为如如果果 H等等式式由由一一次次试试验验得得到到满满足足不不2/0/ znx ,x的观察值的观察值. 几乎是不会发生的几乎是不会发生的.0H因而只能接受因而只能接受.0H绝绝,

8、/2/0 xznx的的现了满足现了满足在一次观测中竟出在一次观测中竟出 ,0的正确性的正确性假设假设我们有理由怀疑原来的我们有理由怀疑原来的H因而拒因而拒 ,/ 2/0 znxx 满足不等式满足不等式若出现观测值若出现观测值 ,0H则没有理由拒绝假设则没有理由拒绝假设二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念1. 显著性水平显著性水平;0H则我们拒绝则我们拒绝如果如果,/0knxz 的差异是显的差异是显与与则称则称0 x,著的著的 . 0H则我们接受则我们接受.称为显著性水平称为显著性水平数数 ,反之反之 如果如果 ,/0knxz ,0的差异是不显著的的差异是不显著的与与则称则称 x . 0

9、H则我们接受则我们接受在显在显有无显著差异的判断是有无显著差异的判断是与与上述关于上述关于0 x下做出的，下做出的，著性水平著性水平 2. 检验统计量检验统计量3. 原假设与备择假设原假设与备择假设.称为检验统计量称为检验统计量统计量统计量 /0nX Z前面的检验问题通常叙述成前面的检验问题通常叙述成: : ,下下 . 01”检验检验针对针对HH 在显著性水平在显著性水平检验假设检验假设, :00 H . : 01 H也常说成也常说成,下下“在显著性水平“在显著性水平 ,0称为原假设或零假设称为原假设或零假设H. 1称为备择假设称为备择假设H4. 拒绝域与临界点拒绝域与临界点当检验统计量取某个

10、区域当检验统计量取某个区域C中的值时中的值时, 我们拒我们拒,H0绝原假设绝原假设则称区域则称区域C为拒绝域为拒绝域, 拒绝域的边界拒绝域的边界点称为临界点点称为临界点.如在上例中如在上例中, , ,|2/ zz 拒绝域为拒绝域为.2/ zz 临界点为临界点为,2/ zz 5. 两类错误及记号两类错误及记号两类两类: :假设检验的依据是假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中很难发生中很难发生, 但很难发生不等于不发生但很难发生不等于不发生, 因而假设因而假设检验所作出的结论有可能是错误的检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有这种错误有(1) 当原假设当原假设H0为

11、真为真, , . 的概率是显著性水平的概率是显著性水平犯第一类错误犯第一类错误这类错误是这类错误是“以真为假以真为假”.真错误真错误,又叫又叫弃弃称做称做第一类错误第一类错误,作出了拒绝作出了拒绝H0的判断的判断,而而观察值却落入拒绝域观察值却落入拒绝域,犯第犯第类错误的概率记为类错误的概率记为.01HPH接受接受 P00HH 不真接受不真接受当当或或一般来说，一般来说， 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时, 若减少犯第若减少犯第一类错误的概率一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大.若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加除非

12、增加样本容量样本容量.(2) 当原假设当原假设 H0 不真不真, , 这类错误是这类错误是“以假为真以假为真”. 取伪错误取伪错误, 又叫又叫称做称做第二类错误第二类错误,而作出了接受而作出了接受 H0 的判断的判断,而观察值却落入接受域而观察值却落入接受域,6. 显著性检验显著性检验7. 双边备择假设与双边假设检验双边备择假设与双边假设检验只对只对犯第一类错误的概率加以控制犯第一类错误的概率加以控制, 而不考而不考虑犯第二类错误的概率的检验虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检称为显著性检验验.为双边假设检验为双边假设检验 , : : 0100中中和和在在 HH1 H备择假设备择假设 ,

13、0 可能大于可能大于表示表示 ,0 也可能小于也可能小于称为双边备择称为双边备择,假设假设的假设检验称的假设检验称形如形如 : , : 0100 HH8. 右边检验与左边检验右边检验与左边检验 .称为右边检验称为右边检验的假设检验的假设检验形如形如 : , : 0100 HH的假设检验的假设检验形如形如 : , : 0100 HH.称为左边检验称为左边检验右边检验与左边检验统称为单边检验右边检验与左边检验统称为单边检验.9. 单边检验的拒绝域单边检验的拒绝域 . 给定显著性水平给定显著性水平),(2 NX设总体设总体,为已知为已知 nXXX,21,的样本的样本是来自总体是来自总体 X右边检验的

14、拒绝域为右边检验的拒绝域为 ,/0 znxz 左边检验的拒绝域为左边检验的拒绝域为./0 znxz 则：则： (1)(1)右边检验右边检验 , 10要小要小中的中的都比都比中的全部中的全部因因 HH , 往往偏大往往偏大观察值观察值 x为为当当 1H,真时真时证明证明 )( 是某一正常数是某一正常数k, kx 因此拒绝域的形式为因此拒绝域的形式为 00HHP为真拒绝为真拒绝由由 kXPH 0 nknXP/000 nknXP/00 上式不等号成立的原因上式不等号成立的原因: :, 0 因为因为,/0nX 所以所以nX/ ./0 nknX , 00 HHP为真拒绝为真拒绝要控制要控制 nknXP/

15、00 事件事件 nknX/00 只需令只需令. ,/ 0 znk ,0 znk ),1, 0(/ NnX 由于由于所以所以故右边检验的拒绝域为故右边检验的拒绝域为./0 znxz ,0 znx 即即类似证，类似证，左边检验的拒绝域为左边检验的拒绝域为./0 znxz 三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤 ; 1H设设 ; . 2n以及样本容量以及样本容量给定显著性水平给定显著性水平 3. 3. 确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统计量以及拒绝域形式; ; ;. 400求出拒绝域求出拒绝域为真拒绝为真拒绝按按 HHP ,. 5取样取样 ,. 1根据实际问题的要求根据实际问题的要求及备择

16、假及备择假提出原假设提出原假设 0H .0H受还是拒绝受还是拒绝根据样本观测值确定接根据样本观测值确定接例例2 2 公司从生产商购买牛奶公司从生产商购买牛奶. 公司怀疑生产商在公司怀疑生产商在牛奶中掺水以谋利牛奶中掺水以谋利. 通过测定牛奶的冰点，通过测定牛奶的冰点， 可以检可以检验出牛奶是否掺水验出牛奶是否掺水.天然牛奶的冰点温度近似服从天然牛奶的冰点温度近似服从正态分布，正态分布，,545. 00C 均值均值C.008. 0 标准差标准差).0(C 点温度点温度温度，温度，测得生产商提交的测得生产商提交的5批牛奶的冰点批牛奶的冰点,535. 0Cx 其均值其均值商在牛奶中掺了水？商在牛奶中掺了水？问是否可以认为生产问是否可以认为生产05. 0 取取牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水的冰牛奶掺水可使冰点温度升高而接近于水的冰解解按题意需检验假设按题意需检验假设545. 00 :0H(即设牛奶未掺水即设牛奶未掺水)0 :1H(即设牛奶已掺水即设牛奶已掺水)这是右边检验问题，这是右边检验问题， 其拒绝域为其拒绝域为 znx 0 05. 0z .645. 1现在现在z5008. 0)545. 0(535. 0