(整理)正项级数收敛性

1、精品文档正项级数收敛性真正反映思维过程的文章，比八股式论文 要和谐可亲得多，而且对思维训练更有帮 助，可惜，这种文章只能藏在文库中。-作者感言一 a . bn 2 n ln n1. a <1发散2. a>1收敛3. a=1,bE1 发散4. a=1,b>1 收敛lim nln -an- -1ln n = gnJan 1y = (nx -1)ln n1 yx = y 1) n In n-g In In n -ln n1nlng n1 g -'n ln n1 - ln an -ln an dlnaN、发;-am-e nlnnT 吐 1e n lnne现在开始讨论正项级数的

2、收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心,记录着思维的真实，保持原样挺美的。Q0£ an （ an之0）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加 n 1有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是an之0 ,就足够看成正项级数了。 数列an写成函数形式an = f (n)可以拓展解决问题的视野，比如Z f (n)的收敛性和f (x)dx的n z1收敛性，有着极为密切的关系，假定f(x)之0很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极

3、值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调， 而这足够肯定，两者收敛性相同。只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。如果是无穷 个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。 当然，如果这两个函数无论走多远， 都相距很远，能给我们的帮助就非常有限。 不过没有必要为此担 心，初等函数中，只要不是周期函数， 在足够远的区间里， 都可以当作是单调的， 也就是说， 上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。广义积分可以求原函数，处理手段比级数灵活，借广义积分研究级数收敛性是极为重要的渠道。最原始的级数

4、收敛性，还非得借助广义积分1不可。比如p-级数工二，其实就是通项为募函数的级数，其收敛性完全清楚，另一个完 nd np全清楚的级数是等比级数 £一 an ,其实就是通项为指数函数的级数。 这是两个最基本的级数。n 1后面演绎的常见判敛方法，都与这两者有关。比如，常见的比值盼敛，根值判敛，本质上是用等比级数作参照的。等比级数收敛或发散很快，能判的级数范围并不大。拉贝判敛是以p-级数作参照得出的，由于 p-级数收敛或发散比等比级数要慢，因而可判的级数范围要广很八i I 小 上二1 I 口 ，、人，S多。有没有比p-级数还要迟钝的级数？当然有，如 Z 一一，高斯判敛就是以这个级数 nw n

5、ln n作参照的。不过，无论哪种极限判别，都有判据为1时无所作为的遗憾。正项级数的方便之处在于，级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性，准确说，是否有上界，因为其部分和数列是单调递增的。由于这个原因，若an Ebn,则由bn的部分和有上界，必可得到an的部分和有上界，故收敛是小看大，大的收敛，小的一定收敛。这个命题的等 价命题是：发散大看小，小的发散，大的必然发散。这种通过不等式比较两个数列，从而得 出收敛性判定，很基础，但不方便，因为不等式的放缩不是件容易的事情。用极限比较是个不错的主意。因为极限虽然是一个数，但这个数和数列某项以后的无穷项有 着很好的大小关联性，而级数收敛性则只与某项以后无

6、穷项有关。aan .lim =l , （ l 之0）根据极限定义，有 Vs >0,3N,Vn> N :| -l |<nnbn即 一 ；0, N, 一n N ：（l ；）bn ：二 an ； （l；）bnqQ如果1 0 ,由于名 0的任意性，选取 名使得1 名为正没有任何问题。若 £ bn发散,nq1（l -s）bn can （l +&bn的左边不等式说明 Z an ,若Z bn收敛，其右边不等式则说明6bn bn收敛判断 n =1工an收敛。这个两边夹不等式，确保 £ an ,工bn收敛性相同。当1=0,这个两边夹不等式的左边失灵了，因为所有项非正

7、，不过右边不等式仍然可用，即可以由z an收敛，但无法由 £ bn发散判断z an发散。n z1这个极限比较判敛，需要知道其中一个的收敛性，当 1 A0时，可以肯定另一个有同样的收qqcQCOqQ敛性，但1 =0时，只可由 工bn收敛判断z an收敛，或者由£ an发散判断£ bn发散。n1n 1nRnW1 =和1 =0刚好颠倒。a有时候1不存在，也不是 厚,只要 随一 =1存在，这相当于 n-' bn-；0, N, -n N :1bn m an ： （1；）bnanan故Qm=1与1im=1判定方法完全一样，但前者有更好的适应性。nf.： bnnf ,

8、bn这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便，如何找那个事先知道的级数？能否通过数列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后两项相比，会有什么消息?还是用极限方法：1im an±=1 ,由极限定义，得n ? - a an一；0, TN, -n N :| an1 -1 卜：；an变成一 ；0, Nn N :（1 - ；）an Wan .1：二（1；）an这不会提供任何有效信息，因为任何一边都是未知的。由极限定义得到一 , 0, N, -n - N :1 -亘二：二1 ；an先假设l >0,适当选取 名可保l - W A0 ,不等式取对数：ln(l - ；)： ln

9、an 1. -In an ：二 ln(l，二)mmm再取和：'、：ln(l - ；) ： '、. (ln an 1 - ln an):二 '、. ln(l »).) 心1n =N 1心1即(m -n)ln( l 一；)： ln am 1 一 lnaN1 < (m - n)ln( l -工)故(m -n)ln( l 一；) ln aN 1 ： lnam1 < (m - n)ln( l ；)ln aN 1取指数：aN 1 (l - ；)(mj) ： am 1 ： aN 1(l - s)(mj)当m变化时，上面不等式两端都是等比数列，其级数的收敛性完全由

10、公比确定，am的收敛性完全由两端的等比级数确定。由名的任意性，若0<l<1,则可以确保0<l_%l+8<1。Q0若l>1,则可以确保l al +名>1。故根据0<l <1和l A1,可分别得出z an收敛和发 n 1散。当l =1时，这个方法失效，无从给出判定。当 l =0时，不等式(m_n)(m _n)aN .1(l - ；) ：二 am 1 ：二 aN .1。；)oO右半部分还是可用的，而这足够了，选定 l + 6 = 6 <1,可以确定£ an收敛。 n 1一a于是有lim %±=l ,若0 Wl <1 ,

11、Z an收敛，若l A1, Z an发散。l=1,不确定。n ann 1n d在这里lim包'=l可以替换成 n ,二 anl的实血.=,结论一样。不过适用性更广。知道这个nf ： an质是等比数列的公比是有价值的。这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛性，能判的范围很有局限性，比如l=1的时候，就不灵了。根值法lim gn = l和比值法虽然计算上有点区别，但实质仍然是以等比级数作标准判断收 n I-'敛性，因而结论完全一样，不过根据不同表达式采用不同判别法，在计算上会有各自的特点。a nim= 1可等价写成ln -an- = 0 表示 lim "an土

12、= 1 。an 1n : an. a 当lim q1=1时，咋办？ 一般说来，想比不如相减方便，故 n " anlim lna土 = 0 ,为了后面表述上的一致性，我们更主要用limn 'annf这样提问，也许能帮我们引向问题的解决:我们需要什么样的一个函数平（x, n）,使得lim cp（in/L,n）= i ,而根据1的范围，便可给an 1a出£ an的收敛性判定？还是从lim甲（in-,n）=1本身寻找答案，其极限定义为n4n 二 % 1-；0, N,-n N :| ：（1n 亘,n） 一1 |：二；an 1a即一；0, TN , - n N : 1 -；：二

13、：（in, n） ： 1；an1求解邛（x,n）的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是（1 - ；,n） =： 1n -an-:二（1，二,n）an 1（1 - ；,n）：二 1n an - 1n an 1 ：二一 （1；, n）mmm取和：'（1-；,n） ;“（1n an-1n an i）二 '（1,n）n小：1n小-1n小"1mm'、'''' （1 - ；，n） < 1n aN 1 - 1n am 1 ： N： （1；,n）n zN 1n rN 1mm1n aN 1 -、- （1 一 ；，n）1n am i

14、 1n aN 1 -、: '一 （1；, n）n =N 1n 二N Hmm1naN1-< '（1 Tn）1n aN 1 -'-（1 -：；n）e n-1am1 e n典1QOIZ an的收敛性由e n 1mm1naN 1 -x' 1'''（! -；n） lnaN 1'二。；n）显然,n丑* ,e T+的级数收敛性确定。讨论收敛性,mm八. '-：（1 一； n） A '-'（"n）常数1n aN书可以不作考虑，于是，只要讨论e n-+ ,e n-+的级数收敛性即可。1代替这两者，于是，我们关

15、注这两个级数只是1 +句1 -名，我们暂时抹掉这种差异，用m %：（1,n）e3#究竟是什么？可以充当级数收敛性的判定标准? 一二 1P吗？也就是目前我们只能用等比级数作标准，能用p-级数1 -nT nm八. '-：(l,n) e t 1（为了左右一致，将 p换成l, n换成m）m八. '-：(l,n) e 7 1_Llnm 二e(l ,n) = l ln mn =N 1考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设mn J (l, n)dn = l ln m对m求导，得到(l,m) = L man -1i an-；：nln 一an 1| n ln a -l 卜：；an 1一

16、aa.故 lim 邛(ln, n) =l 可选为 lim nln an 1n = an 1.二 1 一=l , l为P -级数£ F的P值，l A 1 , l 土名都nm n可保持大于1, l <1, l±E同样可以保持和qQl同样的范围，故这两种情况，z an的收敛性n 1一 一，11-人一一和p-级数工的收敛性判定完全相同，可nd npl =1时候，l 士名肯定无法保持为1。故a.二，.lim n ln= l ,当l >1时，工an收敛，当n " an 1nd在 lim ln -an- =0 的情况下，ln -an-1_ -an- -1 , an

17、1an 1an 1col <1时，Z an发散，l =1,不确定。n 1故lim n ln -an- =l可换成 n " andlim n(-an- -1) = ln 一an 1人 E，111，八E ,一除了用P-级数1 ,作标准，还可以用另的吗?Pn =1 n精品文档 二1可以，柯西选择了级数vd nj nln nm八. '-：(l,n)e n型1 e1mln m_l In In m_Jnm 二e于是工(l ,n) = l In In m In mn =N 1考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设mn J (l,n)dn = l ln ln m ln m,l

18、1对m求导，得到中(l ,m) =+mln m m于是, l 一； 1、 ,an, l ；1、(-)< ln ：二(-)nln n nan 1 nln n n-；：(n ln an-)ln n -1 :二；an -1| (n ln an-) ln n -l 卜：；an 1故 lim (ln -anan1a.二 1,n) =l可选为lim( n ln-1)ln n = l ,其中l为Z 厂的参数，l > 1,nan 1nd nln nQOl±E都可保持大于1, l <1, l 土名同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，£an的n=1收敛性和级数的收敛性判

19、定完全吻合，可 l = 1时候，l ± W肯定无法保持为1。lim( n ln -an- -1)ln n = l ,当 l >1 时,n .一an 1COZ an收敛，当l <1时, n 1oOZ an发散。n 1在 lim ln -ann 一 an 1=0的情况下,ln -an-1_ -an- -1 ,故 lim( n ln -an- -1)ln n = l 可换成an 1an 1nan 1lim( n(-a- -1) -1)ln n = ln .一an 1a这因为 lim( nln-1)lnn=l等价于(n l n-an- - 1 ) n n l o (1 )ln-aan 1an 1, ln ln n1, 1 、no -lnan 1旦-1 = an 1-1an 1l