第四章几何图形初步-学生版

1、第四章几何图形初步4. 1几何图形课时1立体图形与平面图形窄学习H触重点：立体图形和平面图形的概念难点： 从实物的外形中抽象出几何图形.博蹿麒席J1 .观察P115图4. 1-1中的实物图，你能说出他们像我们熟悉的什么图形吗？能说一下他们的大体组成部分吗？ 通过观察图形你有什么感想？【答案】 楼房类似于长方体，它由许多线和面组成；交通标志由弯曲的箭头组成；通过观察图形可知图形世界是丰富多彩的.2 .你能不能设计一个装墨水的墨水盒？你知道墨水盒是什么形状吗?【答案】可以设计一个墨水盒，墨水盒是长方体形状的Q黑筌导学Point1.探究几何图形1 .阅读教材 P115的内容，填一填下面的问题：(1)

2、由教材图4. 1-1可知图形世界是多姿多彩的，各种各样的物体除了具有颜色、质量、材料等性质 外，还具有形状、大小和位置关系，物体的 、和 是几何研究的内容 .(2)观察教材图 4. 1 1可知纸盒从整体上看， 它的形状是 ;看不同的侧面，得到的是 看棱得到的是 ；看顶点得到的是 .从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形Point2 .探究立体图形(重点)1阅读教材 P116的内容，解决下列问题：(1)观察教材 P116图4. 13,你能发现什么?(2)说一说图41. 1 1'中的这些几何图形有什么共同特点?f 4-l i-r(3)阅读教材 P116思考，并做一做，然后完成下列填空 正方

3、体的特征：有 个面，每个面都是 ,实物如. 长方体的特征：有 个面，每个面一般是 ,实物如. 圆柱的特征：两个底面是 、侧面是一个 ,实物如. 棱柱的特征：底面是 ,上下两个底面的大小和形状 ,侧面是 ,实物 如.(本书只讨论直棱柱) 圆锥的特征：底面是 ,侧面是,有一个顶点，实物如 .球的特征：圆圆的、可以滚动，由一个曲面围成，实物如 .(1)立体图形相关知识：几何体是从实物中抽象出的数学模型，常见的几何体有长方体、正方体、圆柱、 棱柱、圆锥、球等 .(2)几何体的分类：常见几何体可以分为柱体、锥体、球体，其中柱体包含圆柱和棱柱，锥体包含圆锥 和棱锥.Point3.探究平面图形(重点)说一说

4、图4 1. 12'中的这些几何图形有什么共同特点?知识睛给(1)平面图形的定义：有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形.常见的平面图形有线段、角、多边形(如三角形、长方形等)、圆等.平面图形的共同点是图形上的点都在同一平面内.组成平面图形的线有直线，也有曲线 (2)几何图形包括平面图形和立体图形【例1】 如图4-1. 13'的物体分别类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明理由4-1h 1-31【例2】 如图4-1. 14'中的图案是由5种平面图形组成的，它们分别是? 4-1. I 4课时2从不同方向看物体耳学习目标重点： 从正面、左面、上面看一些简单

5、几何体或它们的组合体得到平面图形难点：1 .由从不同方向看简单组合体所得到的平面图形得出立体图形2.根据从不同方向看一个立体图形得到的平面图形想象并描述它的形状观察你身边的一个物体，试着从不同的角度去看它，你看到的形状是一样的吗? 【答案】一般不一样.Point1.探究从不同方向看物体（重点）1.如图 41. 1-1试填写下表中的这几个几何体，试着从正面、左面、上面去看看，你得到了怎样的几何图形?2.下面我们看几个由小正方体组成的图形，如图 41. 22',从正面、左面、上面看得到的平面图形各是什么?从上面n从止而看£4-1.2-2油识总呈I要全面了解一个几何体的形状，必须从

6、三个不同方向进行观察，分别是从正面看（由前向后），从左面看（由左向右），从上面看（由上向下）3.阅读教材P118探究，你能画出从不同方向看教材图4. 1 7中的立体图形得到的平面图形吗？注意：这里画出的图形是从正面、左面、上面看到的平面图形，只是示意图，不要求有严格的几何画法和 严格的尺寸，但所画的平面图形应形状正确、大小大致相同，也可参考以下画法要领：长对正、高平齐、 宽相等，如图 4-1. 2 3.左边为立体图形，右边为从三个不同方向观察得到的平面图形.从上面f£4-1.2-3试填【例1】 分别从正面、左面、上面观察如图4-1. 2 4'的立体图形，各能得到什么平面图形?

7、写下表.难点确定小正方体的个数谡盛产5解此类题时要分析从正面看、从左面看、从上面看得到的图形，推断每排小正方体的个数【例2】 图41. 25'是从三个方向观察由一些相同的小正方体构成的立体图形得到的平面图形,在这个几何体中，小正方体的个数是（A.7旺从正面百B.6出从左面百C.丑从上面看5D. 4课时3几何图形的展开与折叠重点：基本几何体与其展开图之间的关系难点：正确判断一个平面图形能否折叠成立体图形如图4-1.市 * 疝的这些精美的包装盒是怎么制成的?Point1.探究常见的立体图形的展开图(重点)1.图4-1. 32'是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形?上

8、，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同把它们画在一张硬纸片2.自己动手把一个包装盒剪开铺平，看看它的展开图由哪些平面图形组成？再把展开的纸板复原为包装盒，体会包装盒与它的展开图的关系(1)有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图(2)制作立体模型的步骤：画出正确的展开图是关键；裁剪、折叠、粘贴； 修饰、加工注息：(1)不是所有的立体图形都可以展开，球便不能展开(2)对于同一个立体图形，按不同的方式展开，一般可以得到不同的平面图形Point2.探究正方体的展开图（重点）将正方体（如图4-1. 33'

9、）的表面沿棱适当剪开，观察它的展开图是怎样的， 然后画出示意图.（沿着不同的棱剪开，会得到不同的展开图，比一比，看谁得到的结果多！）0 24-1.3-3*知识总转正方体的展开图有11种基本情况，如图 41. 3 4'一四一型F11 n1j 11n u i 口 1111二三一型二二二型 三二型W4-L37（1）排成一排的面超过 4个的；（2）排列注意：判断正方体的展开图应牢记几类不能围成正方体的形状: 成“田”字形的；（3）排列成“凹”字形的.【例1】 如图4-1.3- 5',第二行的哪种几何体的表面能展成第一行的平面图形?B.美C.脑D.筋【例2】图41. 36'是每个

10、面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上, 与汉字“爱”相对的面上的汉字是（课时4 点、线、面、体导学习目标Ji a - - 重点： 认识点、线、面、体的几何特征.难点： 从实物或模型中抽象出体、面、线、点的概念，并举出确切的实例描述概念1.从图41. 4 1'中你能找到什么样的几何图形?2.分别观察图4-1. 42'中组成圆柱、圆锥、正方体的面，它们有区另吗?1 .探究点、线、面、体 (重点)1物体的构成往往包含多种元素，几何图形也是如此.以长方体为例，我们来分析一个图形的构成元素 (1)如图4-1. 43',观察长方体模型，它有几个面？面与面相交

11、的地方形成了几条线？线与线相交成几个点？ 三棱柱呢？至 4-L4-3'(2)由此可见，构成几何图形的元素包含哪些?2认识“体”.(1)请观察包装盒、易拉罐和篮球，想一想从它们的外形中分别可以抽象出什么立体图形？再举一些你所熟悉的立体图形 .知识总结长方体、正方体、圆锥、球、棱柱、棱车B等都是几何体，几何体简称体(2)观察(1 )中提到的一些几何体，再联想上一课时“展开图”的知识，想一想，包围着体的是面?是线？ 还是点？3四棱锥、圆柱、圆锥分别有哪些面？这些面有区别吗?4利用长方体、圆柱、棱柱、棱锥等熟悉的几何体模型，结合下列问题开展小组合作探究(1)面与面相交的地方形成了什么？ 它们有

12、什么不同？(2)线与线相交又得到了什么？它们有什么不同吗?Point2 .探究点、线、面、体的关系1我们知道物体运动时会留下运动轨迹.如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时(如图4-1.4-4')形成的图形是线还是面？请用精炼的语言加以概括2汽车的雨刷在挡风玻璃上画出个扇面(如图 4-1. 45'),从几何的角度观察这种现象，你可以得出什么结论？ 请用精练的语言加以概括.3想一想：当面运动时又会形成什么图形?如何验证你的猜想?mm【例1】(1)飞机表演“飞机拉线”，我们用数学知识可解释为点动成线，用数学知识解释下列现象:一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为；时钟秒针旋转时，形成一

13、个圆面可解释为 .一个圆沿着它的一条直径旋转形成的图形可解释为(2)图41. 46'揭示的数学道理是什么?(2)受 4 L 4-6例2如图41. 4 71,上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关系 的平面图形与立体图形连接起来难点计算长方形绕轴旋转得到的立体图形的体积此类题有三个关键点:要考虑两种情况；二要能想象判断出两个不同圆柱的高及底面半径的值；三要正确计算【例3 】现在有一个长为 4cm ，宽为 3cm 的长方形，绕它的一边所在直线旋转一周，得到圆柱体的体积是多少？4. 2 直线、射线、线段课时1 直线、射线、线段r早学习n标重点：掌握“两点确定一条直线”

14、的基本事实难点：几何语言的应用.悬踝前席=11 .如果你想将一个墙壁挂衣架固定在墙上，至少需要()个钉子.A. 一个B.两个C. 三个D. 无数个2 .想一想，如果两条直线相交，会有几个交点，作图试试舟牌堂导学I.二r- k一4T-a. 1 .探究关于直线的基本事实及点和直线的位置关系1动手作图试一试：(1)过一点。可以作几条直线？经过两点A, B呢？ 动手试一试(2)如果经过两点任意画曲线或折线，试一试能画几条?知识总转经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成：两点确定一条直线注意：“确定”可以解释为“有且仅有”，“有”表示存在，“仅有”表示唯一Point2 .探究直线、射线、线段 (

15、重点)1阅读教材 P126,教材P126中图4.22的直线可记作直线 或记作直线 点A, B都在直线 上.注意：直线没有端点，是向两方无限延伸的，画直线时要画出向两方无限延伸的部分2如图4-2. 1 1'，试着描述图（1）中点与直线，图（2）中直线与直线的关系知识总结（1）点与直线的位置关系： 点在直线上（直线经过点）； 点在直线外（直线不经过点）（2）当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫作他们的交点3阅读教材P126-P127,填空.射线和线段都是 的一部分.类似于直线的表示， 教材图4.2-5中的线段可记作线段 或线 段，其中、是线段的端点.教材图4

16、.2 6中的射线可记作射线 或射线, 其中 是射线的端点.4直线、射线、线段有什么联系与区别？试填写下表：【例1】 下列说法中，正确的是（）A.射线OA与射线AO是同一条射线C.过一点只能画一条直线例2按下列语句画出图形：（1）点A在直线MN上；B.线段AB与线段BA是同一条线段D.三条直线相交，必有三个交点.各煞三另次2*:士 一 .1 «sa»一三夏量f- - a三F.而1A B4线4_£_AB发或aAB(2)经过O点的两条直线a, b;(3)射线AB不经过点P.虎疑第突破Fq难点探究数线段的规律【例3】如图4 2.1 2',在一条直线上取2个点A,B

17、,共得几条线段？在一条直线上取3个点A,B, C,共得几条线段？ 在一条直线上取4个点A, B, C, D时，共得多少条线段？ 在一条直线上取 n个点时，共可得多少条线段？(注：1 + 2+3+n= nn ")2«4ABABCABC D V142, l-2h课时2线段的比较与运算毕学习目标一重点： 进行线段的长短比较及线段的和差运算难点： 进行线段的和差运算1 .线段、射线、直线的本质区别是 没有端点， 只有一个端点， 有两个端点2 .关于直线的基本事实是：.3 .线段、射线、直线中， 可以度量长度，所以只有 才可以比较长短.4 .老师手里的纸上有一条线段（如图4-2. 2

18、1'）,你能在你的练习本上作出一条同样长的线段来吗？1 .探究线段的长短1如图4-2.2-2，,你知道如何比较这两个人的身高吗？你有哪些方法?2由1中比较两人身高的方法中你得到什么启发？你知道如何比较两条线段的长短吗?知识总结线段的长短比较：比较两条线段的长短，我们可用刻度尺分别测出它们的长度来比较（度量法），或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较（叠合法），利用此方法时，要使两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，才能进行比较.Point2 .探究线段的和差(重点)1如图4-2. 2- 3',线段 AB和AC的长短关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还

19、能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？2如图4 2. 2-4',已知线段a和线段b,怎样通过作图得到线段 a与线段b的和，线段 a与线段b 的差呢？7一'3U V ! 画法：(1) 画射线AP;在射线AP上.线段 就是所要求作的线段 a+b.记作,如图4-2. 25.卜a"方qR1aa c p A - b 一匕一 p5 42* 25f5 4 2. 262 2) 画射线AP;在射线AP上.线段 就是所要求作的线段 a-b.记作,如图42.2 6'.知识总培(1)在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.我们可以用直尺画射线 AC,再利用圆规

20、在射线 AC上截取AB=a.这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图(2)用尺规作线段的和或差，要先作一条射线，然后在射线上截取所需线段Point3 .探究线段的中点(重点)1怎样找出一条线段 AB的中点M?M把线段AB分成相等的两条线段2线段的中点：如图 4-2. 27'，点m是线段AB上一点，并且点1AM与BM,点M叫作线段 AB的中点. 可知 AM = BM = AB.23观察教材P129图4. 211 (2),点M观察教材P129图4. 2-11 (3)，点M：N把线段AB分成一N, P把线段AB分成点M, N就是线段AB的，点M, N, P就是线段ABPoint4.探究关于

21、线段的基本事实及两点间的距离(重点)1如图4-2.28',从 A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，在图上画出最短路线 .知识总结(1)(2)【例【例关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短 两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离HMM1】 如图4-2.2- 9',已知线段a,求作线段 AC=2a.2】如图 4 2.210'简单地说：两点之间，线段最短.C, D是线段 AB上两点. 若BC=4cm, AB = 10cm,且D是AC的中点，则CD的长等于(T 4-2. 2-10,C. 11cmD. 14cm4.3角

22、课时1 角倬学习目解七重点：1.角的概念及其表示方法 .2.角的度量单位及其换算 .难点：1 .对角的概念的理解 .2.角的换算1 .观察图43. 11'中的实物，你发现这些实物给我们共同的形象是什么?图 43. 1-12.如图4-3. 12'，已知/AOB,你能用量角器量出它的度数吗？说说用量角器量角的步骤Point1.探究角的有关概念1观察材料 P133图4. 3-1,钟面上的 ,棱锥,三角 尺 ,都给我们以角的形象.2你会画出角的图形吗？角有什么特征？角的定义：(1)静态定义：有公共端点的 组成的图形叫作角. 这个 是角的顶点，这 是角的两条边 .(2)动态定义：一条射线

23、绕着它的 旋转形成的图形叫作角， 这个 叫作角的顶点， 这条射线的 和的两条射线叫作角的两条边,其中叫作角的始边，叫作角的终边.3如果一个角的终边旋转到与始边成一条直线时，形成 (如图43. 13' (1).当 旋转到终边与始边重合时，形成 (如图43. 1 3' (2).8 GA,1-3'Point2 .探究角的表示方法(重点)阅读教材P133角的表示方法，你能说出角的表示方法有几种吗？1角的几何符号用 表示.角有以下几种表示方法：(1)用 表示任意一个角，三个点分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在 .如图4-3. 14' (1)中的角，可以记作/A

24、OB或 / BOA.(2)用 表示一个独立的角 .这个字母就是表示角的 .如图43. 1 4' (1)中的 角可记作 / O.(3)用 表示一个角，如图4-3. 1 4' (2)中的角可记作/ 表示一个角，如图 43. 14' (3)中的角可记作/ 1.注意：用单个大写字母表示角时，顶点处只能有一个角.当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不(4)用能用一个大写字母表示角Point3 .探究角的度量(重点)阅读教材P134的内容解决下列问题：1你知道测量角的工具吗？常用的测量单位是什么？【答案】 测量角的工具：量角器；常用的度量单位：度、分、秒2把一个周角360等分，每

25、一份就是 的角，记作 .把1度的角60等分，每一份叫作 的 角，记作 .把1分的角60等分，每一份叫作 的角，记作 .如/ ”的度数是51度 26分37秒，可记作 / /= (用符号表示).由此我们可以得出：1周角=° , 1 平角=° ,1° =', 1' = .知识总结角的度、分、秒是 60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的.以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.此外，还有以弧度为基本单位的弧度制(以后将要学到)，军事上经常使用的角的密位制等.3除量角器外，工程测量中，还经常用经纬仪来测量角的大小.你还见过其他的度量角的工具吗？4利

26、用三角尺或量角器你能画出哪些角?min【例1】如图，43.15',/1,/2表示的角可分别用大写字母表示为/A也可表布为 , 还可以表布为 .【例2】按要求进行转化 .(2) 28° 7' 48(用度表示)(1) 35. 12°(用度、分、秒表示)卡岸难突破飞_、难点与钟面角有关的计算腰蚂即J (1)钟面角是指钟表表盘上的时针、分针、秒针之间的夹角.在计算时，主要是计算时针与 分针之间的夹角.(2) 1分钟分针转过 6° , 1小时时针转过 30° , 1分钟时针转过0.5° .(3)时针与分针夹角的计算公式(其中 m表示时针所

27、指钟面的时钟数，n表示分针所指钟面的分钟数，即m时n分)： 当时针在分针前面时，钟面角 =30° m+ 0.5° n-6° n ; 当时针在分针后面时， 钟面角 =6° n30° m0.5° n,综上可知， m时n分时钟面角 =| 30° m+0.5° n 6° n I .例3 某人下午六点多钟外出买东西，看手表上的时针与分针的夹角是110° ,下午近7点回家时,发现时针与分针的夹角又是110° ,求这个人外出了多长时间.课时2角的比较与运算早学习目标重点：角的大小、和差、角平分线的几

28、何意义及数量关系.难点： 在图形中观察角的和差关系.1 .角的度、分、秒是 60进制的，1周角 =360° , 1平角 =180° , 1° = 60' , 1' = 60 .2 .如图43. 2 1',已知线段 AB, CD,你有哪些办法比较它们的长短？序课堂导学tnPoint1.探究角的比较及和、差、倍、分(重点)1类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？(1)度量法：用量角器量出两个角的度数，然后比较大小(2)叠合法：将两个角的顶点及一边重合，两个角的另一边落在重合一边的同侧，由两个角的另一边的 位置关系确定两个角的大小 如

29、图 4-3. 2.-2'，令 /AEC与 /BOD的边EA与 OB重合，/ AEC与 / BOD的另一边落在 EA (或OB)的同侧，当 EC与OD重合时，那么 /AEC=/BOD,如图 43.22' (1).当EC落在 /BOD的内部时，那么 / AECv/BOD ,如图43.22' (2).当EC落在 /BOD的外部时，那么 /AEO/BOD,如图43.22' ( 3).E(O 川研(1)A(B)2利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角?这些角有什么规律?角的比较及角的和、差、倍、分： (1)如图43. 23' ( 1) , / 2在Z 1外部时，/

30、DEF是/ 1与/ 2 的和，记作 / DEF =Z 1 + Z 2.(1)(2)T 411，r 仃 4/(2)如图 4-3. 2- 3' (2), Z 2 在 Z 1 内部时， /ABC 是/ 1 与/ 2 的差，记作 ZABC = Z 1-Z 2.(3)如果两个/ 1的和是/ 2,那么/ 2是/ 1的2倍，记作/ 2 = 2/1./1是/2的工，记作 71=122Z2.同理还有三倍角，三分之一角等 .注意：(1)角的大小与边的长短粗细无关.(2)角的和、差、倍、分的度数，等于它们度数的和、差、倍、分Point2.探究角的平分线(重点)1类比线段的中点，在图 4-3. 2- 4

31、9;中，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间又存在 怎样的关系？一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线 角的三等分线(如图 4-3. 25' (1)、四等分线(如图 4-3. 25' (2)等.类似地还有(212如何作一个角的平分线？你能想到哪些方法?【例1 图43. 2中共有几个角?它们之间有什么关系?【例AOC2 如图 43. 2- 7' , /AOB = 90° OC 平分Z AOB , OE 平分 Z AOD ,若 =, ZAOE=, / EOD =.【例(2)3 (1) 175° 16&#

32、39; 30” 47° 30' +6+4° 12' 50" X 3;(43° 13' 28” +210° 5' 18" ) X 3.课时3 余角和补角重点：1.互为余角、互为补角的概念及性质2.求一个角的余角和补角 .难点： 互为余角、互为补角的应用，方位角的应用水库堤坝要修复加固，施工前要求先测出大坝的倾斜角（即图 度数，请问大家有什么简单的方法？43. 3 1'中/ “），如何测出的图 4 3. 31山鹘绮学mPoint1 .探究互为余角、互为补角（重点）两个角的1在一副三角尺中（如图 43

33、.32'）,每块都有一个角是 90° ,其他两个角分别是多少度? 和是多少？ 量一量，算一算.（1）互余、互补的定义： 如果两个角的和等于 90° （直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角 .即如果 71 + 72=90° ,那么/ 1与/ 2互余. 类似地，如果两个角的和等 于180° （平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.即如果 /1 + /2 =180°,那么/ 1与/ 2互补.（2）对定义的理解：若/ 1和/ 2互余，则 Z1 + Z 2 = 90° ;若/ 1与/ 2互补，则 /1 + / 2=180°2观察图43. 3 3' 可知/1与/AOB互