空间向量之--建立空间直角坐标系的方法及技巧

1、空间向量之-建立空间直角坐 标系的方法及技巧空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧一利用共顶点的互相垂直的二条棱构建直角 坐标系例1 已知直四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi =2,底面 ABCD是直角梯形，/ A为直角， AB/CD, AB = 4, AD = 2, DC = i,求异面直线 BCi与DC所成角的余弦值.解析：如图i以D为坐标原点，分别以DA、DC、DDi所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标 系，则 Ci (0 , i, 2)、B (2, 4, 0),.ujuruur" BCi ( 2, 3,2) ) CD (0, i,0).少设党与绪所成的角为， &q

2、uot;'fisT uuuu uuur ._k Jy则cos战耦也.三I力BCi CD i7"、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2,在三棱柱ABCAiBiCi中，AB.侧面BBiCiC, E为棱CCi上异于C、Ci的一点, 2EAXEBi.已知 ab 艮 BBi = 2, BC=1, / BCCi求二面角A EBi Ai的平面角的正切值.3解析：如图2,以B为原点，分别以BBi、BA 所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面ABi的线为x轴建立空间直角坐标系.，在三棱柱ABC AiBiCi中，有B (0,0 )、A ( 0 , 0 ,金)、0-,0 2°)由于

3、 BC=i, BBi = 2, AB = &, /BCCiCi3 3,1,0 .2 2设Ega,0且1a22r _ Azt=r urn UULf由 EAX EBi ?得 EAgEB由已知有LEA. 2 g ,-2c3c.i3c一a(a2)a2a0. . a g a0. 422即a 2或a j (舍去).故E§,J。.LuuruuuuiLUurEBi)Bi AiEBi)故一面角 A EBi ,2 a ,02Ai的平面角的大小为向量舞与EA的夹角.ujuur uun 一 uu学2"2故cosuuu uuuinEA uuu EA,23,即tanB1A BA (0Q,J2)

4、 EA三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3如图3,在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形;即手面VAD，底面 ABCD .fB"(1)证明AB，平面VAD;Jjje/图3(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余 弦值.解析：(1) WAD的中点O为原点，建立如图 3所示的空间直角坐标系.设 AD = 2,则 A (1, 0 , 0)、D (1, 0 , 0)、B (1, 2, 0)、V (0 , 0 ,百)，器=(0 , 2, 0) , VA= (1, 。，一石).uuu ULT由 ABgVA (0,2,0)g(1,0,正)0 ,得6ABXVA.又A

5、BLAD,从而AB与平面VAD内两条相 交直线VA、AD都垂直，ABL平面VAD;设E为DV的中点，则e Lo,更22 uuu3.3 uuu33 uur EA ,0, EB 2, DV(1,0,v3)22>22>t uuu uuu33- EBgDV,2,gi,0,J3) 0 ,2 27/.EBXDV.又EALDV,因此/ AEB是所求二面角的平面 角. uut uuu cos； EA,EBuur uuuEAutu-EA EB故所求二面角的余弦值为牛.四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥V ABCD中，E为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a,高为h.(1

6、)求/ DEB的余弦值；(2)若BEL VC,求/ DEB的余弦值.5解析：(1)如图4,以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系Oy/AB,则由 AB = 2a, OV =C (-a a, 0) 、 D (-a) -a)a a hE ,一)一,其中 Ox/ BC,.uuuBE3 a,2uurDEa 3 h 一,一a,一2 2 2. uuu uur cos BE,DEuuu uuur BEgDE uuu 田ur BE DE6a2 h210a2 h2 ，即 cos/ DEB6a2 h2 .10a2 h2 ,2 2 2(2)因为E是VC的中点，又BEX VC,所以BE胧0,即立刹”,a,

7、 h) 0,c2, 20)3 2a ha 一 一222uuu uuur jX PJ cos BE,DE_ 226a h2210a h五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线， 但有一定 对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等)，利用自身6ABCD=4.对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥P与Q ABCD的高都为2, AB(1)证明：PQL平面ABCD;(2)求异面直线AQ与PB所成的角;(3)求点P到平面QAD的距离.(2)由题设知，ABCD是正方形，且ACLBD.由(1), PQ1_平面ABCD,故可分别以直线CA, DB, QP为x, y, z轴建立空间直角坐标系(如图1),易得 uuur uuuuuir 厂 uuu 厂uuur uuuAQgPB1AQ( 2/,0,2),PB(0,22,2), cos AQ,PBuuirjuur-.AQ PB 3所求异面直线所成的角是1 arccos-.（3） 由（2） 知）点 D（0, 2厄0）热（2R 272rQ）, PQ （0Q 4）.设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量)则uuur ngAQ 0, uuur