新课标人教A版高中数学必修三2.3变量间的相关关系课件

1、前面我们学习了怎样对收集来的数据进行分析前面我们学习了怎样对收集来的数据进行分析:频率分布图频率分布图离散程度离散程度集中趋势集中趋势下面我们来介绍一种更为常见的分析方法下面我们来介绍一种更为常见的分析方法:小明小明,你数学成绩不太好你数学成绩不太好,物理怎么样物理怎么样?也不太好啊也不太好啊.学不好数学学不好数学,物理物理也是学不好的也是学不好的?.你认为她的说法对吗你认为她的说法对吗?事实上事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还还必须考虑到其他的因素必须考虑到其他的因素:爱好爱好,努力程度努力程度 如果单纯从数学对物理的影响来考虑如果单纯从

2、数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之就是考虑这两者之间的间的相关关系相关关系我们在生活中我们在生活中,碰到很多相关关系的问题碰到很多相关关系的问题:物理成绩物理成绩数学数学成绩成绩学习学习兴趣兴趣花费花费时间时间其他其他因素因素商品销售收入商品销售收入K广告支出经费广告支出经费?粮食产量粮食产量K施肥量施肥量?人体脂肪含量人体脂肪含量K年龄年龄? 1商品销售商品销售收入收入与与广告支出广告支出经费之经费之间的关系。商品销售收入与广告支出经间的关系。商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系，但商品收入不费之间有着密切的联系，但商品收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、仅与广告支出多少

3、有关，还与商品质量、居民收入等因素有关。居民收入等因素有关。 2粮食粮食产量产量与与施肥量施肥量之间的关系。在之间的关系。在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。但是，施肥量并不是决定粮食产量的高。但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。 3人体内人体内脂肪含量脂肪含量与与年龄之间年龄之间的关的关系。在一定年龄段内，随着年龄的增长，系。在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的人体内的脂肪含量会

4、增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。关，可能还与个人的先天体质有关。以上种种问题中的两个变量之间的相关关系以上种种问题中的两个变量之间的相关关系,我我们都可以根据自己的生活们都可以根据自己的生活,学习经验作出相应的学习经验作出相应的判断判断,“规律是经验的总结规律是经验的总结”,不管你多有经验不管你多有经验,只只凭经验办事凭经验办事,还是很容易出错的还是很容易出错的.因此，在寻找因此，在寻找变量间的相关关系时变量间的相关关系时,我们需要一些更为科学的我们需要一些更为科学的方法来说明问题方法来说明问题.在寻找变量间的

5、相关关系时在寻找变量间的相关关系时,统计统计同样发挥了非常重同样发挥了非常重要的作用要的作用,我们是通过收集大量的数据我们是通过收集大量的数据,对数据进行统对数据进行统计分析的基础上计分析的基础上,发现其中的规律发现其中的规律,才能对它们之间的才能对它们之间的关系作出判断关系作出判断.【两个变量之间的关系两个变量之间的关系】两个变量之间的关系，可能是两个变量之间的关系，可能是确定性关系确定性关系或或非确定性非确定性关系关系当自变量取值一定，因变量的取值带有一定随机性时，当自变量取值一定，因变量的取值带有一定随机性时，两个变量之间的关系成为两个变量之间的关系成为相关关系相关关系.正方形边长正方形

6、边长x面积面积S2x 确定关系确定关系（1）正方形面积）正方形面积S与边长与边长x之间的关系：之间的关系：（2）一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系：）一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系：水稻产量水稻产量施肥量施肥量气候情况气候情况浇水浇水除虫除虫不确定关系不确定关系相关关系相关关系当自变量取值一定当自变量取值一定,因变量的取值带有一定的因变量的取值带有一定的随机性（随机性（ 非确定性关系非确定性关系)函数关系函数关系-函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的相互唯一确定的.注：相关关系和函数关系的异同点注：相关关系和函数关系的异同点相同

7、点：相同点：两者均是指两个变量间的关系两者均是指两个变量间的关系不同点：不同点：函数关系是一种函数关系是一种确定关系确定关系，是两个非随机变量的，是两个非随机变量的关系。相关关系是一种关系。相关关系是一种非确定的关系非确定的关系，是非随机变量与随，是非随机变量与随机变量的关系。机变量的关系。 函数关系是一种因果关系，而相关关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。不一定是因果关系，也可能是伴随关系。对相关关系的理解对相关关系的理解1：下列两变量中不具有相关关系的是（下列两变量中不具有相关关系的是（ ）A人的年龄和身高人的年龄和身高 B球的表面积与体积球的表面积与

8、体积C家庭的支出与收入家庭的支出与收入 D 人的年龄与体重人的年龄与体重【练习练习】B B2 2：下列两个变量中具有相关关系的是（下列两个变量中具有相关关系的是（ ）A.A.正方体的体积与边长正方体的体积与边长B.B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.C.人的身高与体重人的身高与体重D.D.人的身高与视力人的身高与视力C【问题问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样

9、本平均数本平均数. .年龄年龄2323272739394141454549495050脂肪脂肪9.59.517.817.821.221.225.925.927.527.526.326.328.228.2年龄年龄5353545456565757585860606161脂肪脂肪29.629.630.230.231.431.430.830.833.533.535.235.234.634.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？以以x轴表示年龄，轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出你能在直角坐标系中描出样

10、本数据对应的图形吗？样本数据对应的图形吗？ 下面我们以下面我们以年龄年龄为横轴，为横轴，脂肪含量脂肪含量为纵轴建为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，立直角坐标系，作出各个点，如图：如图：O202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540称该图为称该图为散点图散点图。 观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？含量具有什么相关关系？ 从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从越高，点的位置散布在从左下角到右上角左下

11、角到右上角的区域。称的区域。称它们它们为为正相关正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示。但有的两个变量的相关，如下图所示： 如高原含氧量与海拔高如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。海拔高度越高，含氧量越少。 作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从布在从左上角到右下角左上角到右下角的区的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们平均路程，称它们为为负相关负相关.O散点图散点图3).3).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一直线附近直线附

12、近，变量之间就有变量之间就有线性相关关系线性相关关系 . .1).1).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线上函数曲线上, ,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有间具有函数关系函数关系2).2).如果所有的样本点都落在某一如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近函数曲线附近, ,变量之间就有变量之间就有相关关系相关关系。说明说明散点图散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系用来判断两个变量是否具有相关关系.1 、下列关系属于负相关关系的是（下列关系属于负相关关系的是（ ）A.父母的身高与子女的身高父母的身高与子女的身高B.

13、农作物产量与施肥的关系农作物产量与施肥的关系C.吸烟与健康的关系吸烟与健康的关系D.数学成绩与物理成绩的关系数学成绩与物理成绩的关系C C【练习练习】2 2、 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？正方形边长与面积之间的关系；正方形边长与面积之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；作文水平与课外阅读量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系. .3 3：下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（ ）A.A.角度和它的

14、余弦值角度和它的余弦值 B.B.正方形边长和面积正方形边长和面积C.C.正正n n边形的边数和内角和边形的边数和内角和 D. D.人的年龄和身高人的年龄和身高D4 4：下列两个变量中具有相关关系的是下列两个变量中具有相关关系的是_._.（1 1）出租车费与行驶的里程）出租车费与行驶的里程（2 2）铁的大小与质量）铁的大小与质量（3 3）身高与年龄）身高与年龄（3） 5 5、 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：房屋的面积的数据：房屋面积房屋面积（平方米）（平方米） 616170701151151101108080135135105105销售

15、价格销售价格（万元）（万元） 12.212.215.315.324.824.821.621.618.418.429.229.22222画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关屋面积这两个变量是正相关还是负相关. . 1 1对于两个变量之间的关系，有对于两个变量之间的关系，有函数函数关系关系和和相关相关关系两种，其中函数关系是一种确关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系定性关系，相关关系是一种非确定性关系. .3.3.一般情况下两个变量之间的相关关系一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相

16、关，类似于函数的单调成正相关或负相关，类似于函数的单调性性. .2 2散点图能直观反映两个相关变量之散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法图是简单可行的办法. . 小结小结作业作业金太阳导学测评金太阳导学测评（十八）（十八） 观察这观察这4幅图，看看有什么特点？幅图，看看有什么特点？ 图1图 1010203040506070809010040506070809011000.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60.811.22图图3图 4 正相关正相关 ：从散点图1可以看出因变量随自变量的增大而增大

17、，图中的点分布在左下角到右上角的区域 负相关负相关 ：从散点图2可以看出因变量随自变量的增大而减小则称作负相关，负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域. 无相关性无相关性：从散点图3、4可以看出因变量与自变量不具备相关性小结小结：两个变量间的相关关系，可以借助散点图直观判断如果散点图中点的分布如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在一条直大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关线性相关关系关系，这条直线就叫做，这条直线就叫做回归直线回归直线。 这条回归直线的方程，简称为回归方程。这条回归直线的方程，简称为回归方程。【回归直线回归直线

18、】 整体上最接近整体上最接近 采用测量的方法：先画一条直线，测采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。斜率和截距，就得到回归方程。【如何具体的求出这个回归方程呢？如何具体的求出这个回归方程呢？】 在图中选取两点画直线，使得直线在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。两侧的点的个数基本相同。脂肪010203040020406080脂肪【如何具体的求出这个回归方程呢？如何具体的求出这个回归方程呢？】 在散点

19、图中多取几组点，确定几条直线的在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。脂肪010203040020406080脂肪【如何具体的求出这个回归方程呢？如何具体的求出这个回归方程呢？】上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，上述三种方案均有一定的道理，但可靠性不强，我们回到回归直线的我们回到回归直线的定义定义。求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与直线的偏差最小从整体上看，各

20、点与直线的偏差最小”。思考：思考：对一组具有线性相关关系的样本数据：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x(x1 1，y y1 1) )，(x(x2 2，y y2 2) )，(x(xn n，y yn n) )，设其回归，设其回归方程为方程为 可以用哪些数量关系来刻可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？画各样本点与回归直线的接近程度？ ybxa=+如果散点图中点的分布如果散点图中点的分布从从整体整体上看上看大致在一条直线附近，大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有我们就称这两个变量之间具有线性相关关系线性相关关系，这条直线，这条直线就叫做就叫做回归直线回归直线。回归直线回

21、归直线 实际上实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画法来刻画“从整体上看从整体上看,各点到此直线的距离最各点到此直线的距离最小小”.探索过程如下：探索过程如下：这样，用这这样，用这n n个偏差的和来个偏差的和来刻画刻画“各点与此直线的整体各点与此直线的整体偏差偏差”是比较合适的。是比较合适的。(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)iy设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（设已经得到具有线性相关关系的变量的一组数据：（x x1 1，y y1 1），（），（x x2 2，y y2 2），），（，（x xn n，y yn n）设所

22、求的回归直线方程为设所求的回归直线方程为 其中其中a a，b b是待定是待定的系数。当变量的系数。当变量x x取取x x1 1，x x2 2，x xn n时，可以得到时，可以得到 （i=1i=1，2 2，n n）它与实际收集得到的它与实际收集得到的 之间偏差是之间偏差是 （i=1i=1，2 2，n n）ybxa=+iiybxa=+()iiiiyyybxa-=-+)(abxyii的最小值1()niiiyy=-的最小值1niiiyy=-2的最小值1()niiiyy=-当当a，b取什么值时，取什么值时，Q的值最小，即总体偏差最小的值最小，即总体偏差最小2222211)abxyabxyabxyQnn

23、（121()()()niiiniixxyybxxayb x1221,niiiniix yn x ybxn xayb x的最小值niiiabxy1)(的最小值个偏差的和n个偏差的平方和用为计算方便，n我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式计算回归方程的斜率与截距的一般公式:xbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这

24、一方法叫最小二乘法。思考：思考：利用利用计算器或计算机计算器或计算机可求得年龄和可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 ，由此我们可以根据，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的比的回归值回归值. .若某人若某人6565岁，则其体内脂肪含岁，则其体内脂肪含量的百分比量的百分比约约为多少？为多少？0. 5770. 448yx=-37.1（0.57765-0.448= 37.1）若某人若某人6565岁，可预测他体内脂肪含量在岁，可预测他体内脂肪含量在37.137.1（0.5770.57765-0.448

25、= 37.165-0.448= 37.1）附近的可能性比较）附近的可能性比较大。大。 但不能说他体内脂肪含量一定是但不能说他体内脂肪含量一定是37.137.1原因原因：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本本估计的估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可测结果的偏差，即使截距斜率没有误差，也不可能百分百地保证对应于能百分百地保证对应于x x，预报值，预报值Y Y能等于实际值能等于实际值y y【注意注意】【例例】有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究有一个同学家开了一个小卖部，他为了

26、研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：的热饮杯数与当天气温的对比表：1 1、画出散点图；、画出散点图；2 2、从散点图中发现气温与热饮、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；销售杯数之间关系的一般规律；3 3、求回归方程；、求回归方程；4 4、如果某天的气温是、如果某天的气温是2 2摄氏度，摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。预测这天卖出的热饮杯数。图3-1050100150200-2002040热饮杯数1、散点图、散点图2 2、从图、从图3-13-1看到，各点散布在从左上角到由下角的看到，各点散布在

27、从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。3 3、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直、从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此利用公式求出回归方程的系数。线的附近，因此利用公式求出回归方程的系数。 y y= -2.352x+147.767= -2.352x+147.7674 4、当、当x=2x=2时，时，y=143.063 y=143.063 因此，某天的气温为因此，某天的气温为2 2摄氏度时，这天大约可以卖出摄氏度时，这天大约可以卖出14

28、3143杯热饮。杯热饮。小结小结1.1.求样本数据的线性回归方程，可按求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：下列步骤进行：第一步，列表计算平均数第一步，列表计算平均数 , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , 1122211()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，计算第三步，计算 第四步，写出回归方程第四步，写出回归方程 2.2.回归方程被样本数据惟一确定，各样本点回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近大致分布在回归直线附近. .对同一个总体，对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直

29、线，所以不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性回归直线也具有随机性. . 3.3.对于任意一组样本数据，利用上述公式都对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得可以求得“回归方程回归方程”，如果这组数据不具，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的所得的“回归方程回归方程”是没有实际意义的是没有实际意义的. .因此，因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程性相关关系的前提下再求回归方程. .【练习练习】有关线性回归的说法，不正确的是（有关线性回

30、归的说法，不正确的是（ ）A.A.相关关系的两个变量不是因果关系相关关系的两个变量不是因果关系. .B.B.散点图能直观地反映数据的相关程度散点图能直观地反映数据的相关程度C.C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.D.任一组数据都有回归方程任一组数据都有回归方程D【练习练习】给出施化肥量对水稻产量影响的给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：试验数据：施化肥施化肥量量x15202530354045水稻产水稻产量量y330 345 365 405 445 450 455(1)(1)画出上表的散点图画出上表的散点图; ;(2)(2)求出回归直

31、线并且画出图形求出回归直线并且画出图形. . 从而得回归直线方程是从而得回归直线方程是 3 .399,30yx777221117000,1132725,87175iiiiiiixyx y2573075. 43 .399,75. 430770003 .399307871752ab4.75257yx解：解：(1)(1)散点图（略）散点图（略）(2)(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格表中的数据进行具体计算，列成以下表格20475180001557512150912569004950 xiyi455450445405365345330yi45403530252015xi7654321i( (图

32、形略图形略) )故可得到故可得到一、相关关系的判断一、相关关系的判断例例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学数学8075706560物理物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关系。画出散点图，并判断它们是否有相关关系。解：解：数学成绩数学成绩由散点图可见，两者之间具有正相关关系。由散点图可见，两者之间具有正相关关系。二、求线性回归方程二、求线性回归方程例例2：观察两相关变量得如下表：观察两相关变量得如下表：x-1 -2 -3 -4 -553421y-9 -7 -5 -3 -115379求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程解解1： 列表：列表：i12345678910-1-2-3-4-553421-9-7-5-3-1153799141512551512149xiyixiyi计算得计算得:0, 0 yx110,1101011012 yxxiiiii101011001011010101012210