高等数学 全微分-文档资料

1、1Longlan_全微分全微分2*2、全微分在数值计算中的应用、全微分在数值计算中的应用 应用 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差1、全微分的定义、全微分的定义 3一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在定义域在定义域 D 的内点的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oyBxAz 其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数),(yxf在点在点 (x, y) 的的全微分全微分,

2、 记作：记作：yBxAfz dd若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,22)()(yx 则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微可微，处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.yBxA 4(2) 偏导数连续偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: :(1) 函数可微函数可微函数函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) 可微可微),(lim00yyxxfyx由微分定义由微分定义 : :得得zyx00lim0),(yxf函数在该

3、点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即5定理定理1(必要条件必要条件)若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同样可证同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA 必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量xxx因此有因此有 xzxx 0limA6反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因

4、此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx7定理定理2 (充分条件充分条件)yzxz ,证：证：（略）若函数若函数 z = f (x, y) 的偏导数的偏导数在点在点(x, y)连续，连续，则函数在该点则函数在该点可微分可微分.8xxu推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,udyyudzzudxxud的全微分为yyuzzu于是9例1. 计算

5、函数计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d(2yxezyez10可知当*二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)

6、11半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003例3. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体12例4.计算计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 0

7、21),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx13分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(则14特别注意时，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数15例5. 利用公式利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12C

8、ba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积.现测得bbSccS16例6. .在直流电路中在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,解解: 由欧姆定律可知4624IUR( 欧)所以 R 的相对误差约为IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和

9、绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆173. 微分应用微分应用 近似计算 估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(18zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(4. 设设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0