Rt△基本图形及其在解题中的应用教学设计

1、Rt基本图形及其在解题中的应用 “直角三角形”是初中数学中的重要内容之一，也是八年级数学中难点之一，我们要充分挖掘课本题材，提炼直角三角形中的基本图形，是提高解题能力的重要途经。本文介绍Rt的两种基本图形在解题中的广泛应用.一 基本图形呈现1.已知：如图，在RtABC中，ACB=90°，D是AB边上的中点，你知道该图形当中有怎样的结论吗？（直角三角形含斜边上的中线）线段3连：AD=BD=CD=12AB12个等腰三角形:等腰ACD，等腰BCD22组锐角相等：A=1，B=24组角互余：A+B=90°，1+2=90°A+2=90°，B+1=90°2.

2、如图，是RtABC斜边上的高你知道该图形当中有怎样的结论？(直角三角形含斜边上的高)3个Rt: RtABC, RtACD, RtBCD4组角互余：A+1=90°，B+2=90°A+B=90°，1+2=90°2组角相等：A=2，1=B1个等式：AC·BC=AB·CD说明：这两个基本图形源于浙教版数学八年级上册第二章特殊三角形，看似简单的两个图形，但是将其镶嵌在其他图形中，学生往往会忽略掉图形的基本结论。值得注意的是，这两个基本图形的关键是直角，斜边中点或垂足。二基本图形的简单运用例1 ACBC于点C，ADBD于点D，点E是AB中点，若C

3、D=7， AB=12，则CDE的周长为_略解 由基本图形1可知，DE=CE=12AB=6，所以CCDE=CD+CE+DE=19说明 本题的关键是基本图形1直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可以提取出CE和DE分别是RtABC和RtABD的中点，得到DE=CE=12AB=6，从而化难为简，化陌生为熟悉，大大缩短了思考的时间。例2 如图，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，E是BC边上任意一点，过点C作CFAE，垂足为点F，过点B作BDBC交CF的延长线于点D, BD=CE吗？请说明理由FCE分析 不难发现RtACE是基本图形2，可以得出A=ECF，从而不难证明DBCECA，

4、所以能得出BD=CE.解：ACB=90°，CFAEA=ECF在DBC和ECA中，ACB=DBCAC=BCA=ECFDBCECA（ASA）BD=CE说明 复杂的图形都是有一个或多个简单的基本图形组成，可以将基本图形提炼出来从而得出有用结论，熟悉基本图形可以很好的帮助我们找到题目的突破口。A例3 如图，AD是ABC的角平分线，过点B向AD的延长线作垂线，垂足为E，F是AB的中点，则EFAC，试说明理由FBE分析 不难发现RtABE是基本图形1，可以得出FAB=AEF，AD又是BAC的角平分线，所以BAE=CAE，从而可以得到AEF=CAE，故EFAC。解：AEBE，F是AB的中点EF=A

5、F FAB=AEFAD是BAC的角平分线 BAE=CAEAEF=CAE EFAC说明 抓住基本图形斜边上的中线，可以很容易得出角度之间的关系，从而轻易地解决本道题目。例4 如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，点B，C两点恰好落在AD边的点P处，若FPH=90°，PF=6，PH=8，则长方形ABCD的面积为_ Q分析 长方形面积=长×宽=AB×BC，本题关键是求出BC和AB的长度，根据折叠关系和勾股定理可以很容易的求出BC=PF+PH+FH=6+8+10=24，但AB的长度需要添加辅助线，由基本图形2中的等量关系可以很快求出PQ=PF×PHFH

6、=4.8,从而可以求出S。解： 过点P作PQFH由折叠可得：PF=BF=6,PH=CH=8FPH=90°，FH= PF2+PH2= 62+82 =10 AB=PQ=PF×PHFH=4.8，BC=BF+CH+FH=6+8+10=24所以长方形面积= AB×BC=115.2说明 添加辅助线构建基本图形是常见的添辅助线的策略。 例5 如图，FEAB 于点E， ACBF于点C ，AC , EF交于点D. (1) 若点P为BD 的中点，连结PE，PC ，则PE=PC，请说明理由. (2) 连结AF ， EC ，点Q ，M 分别为 AF， EC的中点，连结 MQ，若 MQ=1

7、2， EC=10 ，求 AF 的长.(3) 试探索 MQ ， EC 与 AF 三者之间的数量关系，并说明理由.分析 （1）本题的关键是找到基本图形EP和CP分别是RtBED和RtBCD斜边BD的中线，所以PE=PD。 （2）本题的关键是证明EQC是等腰三角形，不难发现CQ和EQ分别是RtACF和RtAEF斜边AF的中线，所以EQ=CQ=12AF，再利用勾股定理求出CQ。 （3）根据题2不难得到QM2+（12EC）2=(12AF)2解：（1）略(2) EP和CP分别是RtBED和RtBCD斜边BD的中线，PE=PD根据等腰三角形三线合一可得：QMC=90°，CM=12CE=5CQ=QM2+CM2= 122+52 =13,所以AF=2CQ=26(3)由题2可知CQ=12AF,CEQ为等腰三角形，QM垂直平分EC,所以QM2+14EC2=14AF2说明 本题考查了直角三角形斜边的中点，等腰三角形底边的中点和勾股定理的应用，运用基本图形可以很巧妙的解决难度较大的题型。三.方法总结Rt的2个基本图形源于课本但又高于课本，解决的要点是抓住题中的关键条件（Rt，斜边中线或斜边高线），能慧眼识别出基本图形，巧用基本图形相关的结论来实现问题的突破。综上所述，数学中有很多的基本图形，熟悉合适掌握一系列基本图形及其相关结论或解题策略，能够很