2018-2019学年上海市宝山区高二(下)期末数学试卷

1、精选优质文档-倾情为你奉上2018-2019学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷一、填空题1（3分）已知i3z12i（i是虚数单位），则z的共轭复数为 2（3分）已知定点A（4，0）和曲线x2+y28上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为 3（3分）如果球的体积为，那么该球的表面积为 4（3分）已知点A（0，2），B（1，3），C（1，5），则ABC的面积是 5（3分）已知2i1是方程2x2+px+q0（p，qR）的一个根，则p+q 6（3分）已知抛物线x2py2上的点A（2，2），则A到准线的距离为 7（3分）在等比数列an中，已知a2a52a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5 8

2、（3分）向量经过矩阵变换后的向量是 9（3分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是 10（3分）已知直线l经过点P（2，1），且点A（1，2）到l的距离等于，则直线l的方程为 11（3分）已知数列2n1an的前n项和Sn96n，则数列an的通项公式为 12（3分）若向量，且x33x4y0，则与的夹角等于 二、选择题13（3分）已知ABC的边BC上有一点满足，则可表示为（）ABCD14（3分）设l表示直线，m是平面内的任意一条直线，则“lm”是“l”成立的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件15（3分）已知单位向量，的夹角为60°，若2，则AB

3、C为（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形16（3分）在等比数列an中，若，则（）ABCD2三、解答题17在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知，E是AB的中点（1）求四棱锥A1BCDE的体积（2）求异面直线A1E与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18已知平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，且2，若AF与BD交于E点，建立如图所示的直角坐标系（1）求F点的坐标；（2）求19如图，在y正半轴上的A点有一只电子狗，B点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电

4、子狗失败，这一点叫失败点，若ABBO3（1）求失败点组成的区域（2）电子狗选择x正半轴上的某一点P，若电子狗在线段AP上获胜，问点P应在何处？20已知椭圆的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且bc（1）求直线AB的方向向量；（2）若Q是椭圆上的任意一点，求F1QF2的最大值；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|3，求椭圆的方程21已知数列an的前n项和为Sn，通项公式为，数列bn的通项公式为bn2n6（1）若，求数列cn的前n项和Tn及的值；（2）若，数列en的前n项和为En，求E1，E2，E3的值，根据计算结果猜测En关于n的表达式，并用数学归纳法加以证明；（

5、3）对任意正整数n，若恒成立，求t的取值范围2018-2019学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1（3分）已知i3z12i（i是虚数单位），则z的共轭复数为2i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：i3z12i，iz12i，i（iz）i（12i），即z2+i，2i，故答案为：2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题2（3分）已知定点A（4，0）和曲线x2+y28上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x2）2+y22【分析】设出P，B的坐标，确定动点之间坐标的关系，利

6、用端点B在圆x2+y24上运动，可得轨迹方程【解答】解：设线段AB中点为P（x，y），B（m，n），则m2x4，n2y端点B在圆x2+y28上运动，m2+n28，（2x4）2+（2y）28，（x2）2+y22故答案为：（x2）2+y22【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键3（3分）如果球的体积为，那么该球的表面积为9【分析】设球的半径为R，由体积求得半径，代入表面积公式求解【解答】解：设球的半径为R，由V，得R该球的表面积为4×R2故答案为：9【点评】本题考查球的表面积与体积公式，是基础的计算题4（3分）已知点A（0，2），B（1，3），C（1，5

7、），则ABC的面积是3【分析】根据三点用两点间的距离公式求出AB、AC和BC的长度，然后用余弦定理求出角A，再用面积公式求三角形的面积即可【解答】解：由点A（0，2），B（1，3），C（1，5），得AB，AC，BC由余弦定理，有cosA，sinA，故答案为：3【点评】本题考查了两点间的距离公式、余弦定理和面积公式，属基础题5（3分）已知2i1是方程2x2+px+q0（p，qR）的一个根，则p+q14【分析】由条件知方程另一个根为12i，然后由根于系数的关系求出p和q【解答】解：2i1是方程2x2+px+q0（p，qR）的一个根，根据实系数多项式虚根成对定理知，方程另一个根为12i，p2（1+2

8、i）+（12i）4，q2（1+2i）（12i）10，p+q14故答案为：14【点评】本题考查了实系数多项式虚根成对定理和根与系数的关系，属基础题6（3分）已知抛物线x2py2上的点A（2，2），则A到准线的距离为【分析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p，然后求解准线方程，即可推出结果【解答】解：抛物线x2py2上的点A（2，2），可得p，所以抛物线方程为：y22x，准线方程为x，则A到准线的距离为：故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查7（3分）在等比数列an中，已知a2a52a3，且a4与2a7的等差中项为，则S531【分析】根据a2a52a3，求出a42，又a

9、4与2a7的等差中项为，得到a7，所以可以求出，a116，即可求出S5【解答】解：依题意，数列an是等比数列，a2a52a3，即，所以a42，又a4与2a7的等差中项为，所以2+2a72×，所以a7，所以q3，所以q所以a116，所以S531故答案为：31【点评】本题考查了等差数列的等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式本题属于基础题8（3分）向量经过矩阵变换后的向量是【分析】运用矩阵的向量变换，计算可得所求【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查矩阵的变换，考查运算能力，属于基础题9（3分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是y±【分析】利用双曲线

10、的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的一个焦点是，可得a2+913，解得a2，所以双曲线的渐近线方程是：y±故答案为：y±【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查10（3分）已知直线l经过点P（2，1），且点A（1，2）到l的距离等于，则直线l的方程为2xy+50或x+2y0【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，不成立；当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为kxy+2k+10，由点A（1，2）到l的距离等于，解得k2或k，由此能求出直线l的方程【解答】解：直线l经过点P（2，1），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程

11、为x2，点A（1，2）到l的距离d1，不成立；当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为y1k（x+2），即kxy+2k+10，点A（1，2）到l的距离等于，d，解得k2或k，直线l的方程为y12（x+2）或y1（x+2），即2xy+50或x+2y0故答案为：2xy+50或x+2y0【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（3分）已知数列2n1an的前n项和Sn96n，则数列an的通项公式为【分析】利用递推式即可得出【解答】解：数列2n1an的前n项和Sn96n，当n1时，20a196，解得a13当n2时，Sn196（n1）156n

12、，2n1anSnSn196n（156n）6，故答案为：【点评】本题考查了递推式的应用，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（3分）若向量，且x33x4y0，则与的夹角等于90°【分析】由平面向量数量积的运算得：y2+（x33x）24y+x33x0，即与的夹角等于90°，得解【解答】解：由（，1），（，），所以0，|4，|1，所以y2+（x33x）24y+x33x0，即与的夹角等于90°，故答案为：90°【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题二、选择题13（3分）已知ABC的边BC上有一点满足，则可表示为（）ABCD【

13、分析】根据即可得出，解出向量即可【解答】解：；故选：D【点评】考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算14（3分）设l表示直线，m是平面内的任意一条直线，则“lm”是“l”成立的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：因为m是平面内的任意一条直线，m具有任意性，若lm，由线面垂直判定定理，则l，所以充分性成立；反过来，若l，m是平面内的任意一条直线，则lm，所以必要性成立，故“lm”是“l”成立的充要条件故选：A【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握情况根据充分条

14、件和必要条件的定义是解决本题的关键15（3分）已知单位向量，的夹角为60°，若2，则ABC为（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【分析】根据题意，由向量加减法的意义，用向量、表示出向量、，结合题意，求出向量、的模，由三角形的性质，分析可得答案【解答】解：根据题意，由2+，可得2，则|2|2，由，可得|2|222+212×1×1×+11，故|1，由（2+）+，则|2|+|22+2+21+2×1×1×+13，可得|，在ABC中，由|2，|1，|，可得|2|2+|2，则ABC为直角三角形；故选：C【点评】本题考

15、查数量积的性质与运用，注意先用向量的加法、减法的性质，表示出ABC的三边的向量16（3分）在等比数列an中，若，则（）ABCD2【分析】利用等比数列通项公式先求出公比q，再由，能求出结果【解答】解：在等比数列an中，若a2，a3，公比q，故选：B【点评】本题考查等比数列中两项和与另外两项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题三、解答题17在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知，E是AB的中点（1）求四棱锥A1BCDE的体积（2）求异面直线A1E与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【分析】（1）先求出SBCDESABCDSADE，

16、由此能求出四棱锥A1BCDE的体积（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与B1C所成角的大小【解答】解：（1）在长方体ABCDA1B1C1D1中，E是AB的中点，SBCDESABCDSADE，四棱锥A1BCDE的体积：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（），E（，0），B1（），C（0，2，0），（0，1，），（，0，），设异面直线A1E与B1C所成角为，则cos，arccos，异面直线A1E与B1C所成角的大小为arccos【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角

17、的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18已知平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，且2，若AF与BD交于E点，建立如图所示的直角坐标系（1）求F点的坐标；（2）求【分析】（1）根据题意知EBFEDO，利用2求得点F的坐标；（2）根据求得点E的坐标，再计算、，求出数量积【解答】解：（1）根据题意知，EBFEDO，则O（0，0），B（2，0），C（3，1），D（1，1），由2，利用相似比的性质得F（，）；（2）（，），E（，），从而（，），（，），×+×【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，根据相似比得出各点的坐标是解题的

18、关键，是基础题19如图，在y正半轴上的A点有一只电子狗，B点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若ABBO3（1）求失败点组成的区域（2）电子狗选择x正半轴上的某一点P，若电子狗在线段AP上获胜，问点P应在何处？【分析】（1）设失败点为M（x，y），则A（0，6），B（0，3），不妨设机器人速度为V，则机器人速度为2V，由题意有，代入坐标计算求解即可；（2）设P（x，0），（x0）由题意有，代入坐标计算求解即可【解答】解：（1）设失败点为M（x，y），则A（0

19、，6），B（0，3），不妨设机器人速度为V，则机器人速度为2V，由题意有，即x2+（y2）24，即失败点为M的轨迹为以（0，2）为圆心，2为半径的圆面上运动，故失败点组成的区域为：以（0，2）为圆心，2为半径的圆面（2）设P（x，0），（x0）由题意有，则，即x20，所以P点在x轴正半轴上即可【点评】本题考查合情推理，涉及了一个具体情境，注意阅读，理清关系即可20已知椭圆的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且bc（1）求直线AB的方向向量；（2）若Q是椭圆上的任意一点，求F1QF2的最大值；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|3，求椭圆的方程【分析】（1）可得a

20、，kAB即直线AB的方向向量为；（2）在F1QF2中，设PF1m PF2n，则cosF1QF20，即可求解（3）设椭圆方程：直线CD的方程为：x利用韦达定理、弦长公式计算【解答】解：（1）bc，a，顶点为A（，0），上顶点为B（0，b），则kAB直线AB的方向向量为；（2）在F1QF2中，设PF1m PF2n，则cosF1QF20，当且仅当mn时，即Q为上（或下）顶点时，F1QF2，最大，最大值为（3）设椭圆方程：ABCD，直线CD的方程为：x由可得4y2+2byb20，|CD|y1y2|3，解得b22，a24椭圆方程：【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，考查了弦长计算，属于中档题21已知数列an的前n项和为Sn，通项公式为