理力点的合成运动

1、12 71 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动 72 点的速度合成定理点的速度合成定理 73 牵连运动是平动时点的加速度合成定理牵连运动是平动时点的加速度合成定理 74 牵连运动是定轴转动时点的加速度牵连运动是定轴转动时点的加速度 合成定理合成定理科氏加速度科氏加速度第七章第七章 点的合成运动点的合成运动37.1 相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动 前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。为什么

2、在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。一一.坐标系：坐标系：1.静坐标系静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系，简称静系。4 2.动坐标系动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。 例如例如，下雨时，对于地面上的观察者来说，雨滴是铅垂向下的，但是对于正在行进的车上的观察者来说，雨滴是倾斜向后的。又如又如，沿直线轨道滚动的车轮，站在地面上的人看其轮缘上点M的运动轨迹是旋轮线，而在行驶着的车中的人看M点，其轨迹则是一个圆。5三三.

3、. 三种运动及三种速度与三种加速度三种运动及三种速度与三种加速度绝对运动绝对运动：动点对静系的运动。相对运动相对运动：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。牵连运动牵连运动：动系相对于静系的运动例如：行驶的汽车相对于地面的运动。绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 与绝对加速度 相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 与相对加速度 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度aaevearvraav点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动二二. . 动点：动点：所要研究的点（即运动着的点）。6 牵连点牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固

4、结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。四四. .动点的选择原则：动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。五五. .动系的选择原则动系的选择原则： 动点相对所选刚体有运动关系，且所选刚体相对定系（地面）有运动关系，则在所选刚体上建立的坐标系为动系。7下面举例说明以上各概念：下面举例说明以上各概念：动点：动点：动系：动系：静系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上8相对运动相对运动：牵连运动牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动绝对运动： 直线9evrvav绝对速度绝对速度 ：相对速度相对速度 ：牵连速度牵连速度 ：10绝对加速度：绝对

5、加速度：相对加速度：相对加速度：牵连加速度：牵连加速度：aaeara11动点：A（在圆盘上)动系：OA摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点：A1（在OA1 摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动12 若动点若动点A在偏心轮上时在偏心轮上时动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上）动系：偏心轮AB杆静系：地面地面绝对运动：直线圆周（红色虚线）相对运动：圆周（曲线）曲线（未知）牵连运动：定轴转动平动注注 要指明动点应在哪个物体上，要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。但不能选在动系上。137. 点的速度合成定理点的

6、速度合成定理 速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。1MMMM1MM当t t+t ABAB MM也可看成M M MMM 为绝对轨迹MM 为绝对位移M1M 为相对轨迹M1M 为相对位移tMMtMMtMMttt 10100limlimlimt将上式两边同除以后，0t时的极限，得取一证明一证明1415说明： va动点的绝对速度； vr动点的相对速度； ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度。 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve 必须是该瞬时动系上与动 点相重合点的速度。 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度即在任一

7、瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。的矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvv16 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小，方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。二应用举例二应用举例 例例1 桥式吊车。已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。17作出速度平四边形作出速度平四边形如图示，则物块的速度大小和方向为 解解：选取动点动点：物块A动系动系：小车；静系静系：地面相对运动相对运动：直线；相对速度 vr =v 方向牵连运动牵连运动：平动； 牵连速度 ve=v平 方向绝对运动绝对运动：曲线；

8、绝对速度 va 的大小、方向待求。由速度合成定理：由速度合成定理：reavvv18222 vvvvvvreaA2平平vv1tg19 解解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。 绝对速度va = r ，方向 OA 相对速度vr = ? 方向/O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae又（ ） 例例2 曲柄摆杆机构。已知已知：OA= r 、 、 OO1=l，图示瞬时，OAOO1 。求求：摆杆O1B角速度1。由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图所示。20 由

9、速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图所示。解：解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向/AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e， 方向 OA（翻页请看动画） )(332 332300evetgvvABea 例例3 圆盘凸轮机构。已知：OC=e , (匀角速度)， ，图示瞬时， OCCA 且 O、A、B三点共线。求：从动杆AB的速度。eR32122 由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤一般步骤为： 选取动点，动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。 根据速度合

10、成定理作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。reavvv23动点、动系和静系的选择原则：动点、动系和静系的选择原则： 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。24 分析分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选

11、择满足上述两条原则的非接触点为动点。 例例 已知： 凸轮半径r , 图示时 ；杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。30, v25 解解： 取凸轮上C点为动点动点, 动系动系固结于OA杆上, 静系静系固结于基座。绝对运动： 直线运动， 绝对速度：相对运动：直线运动， 相对速度：牵连运动:定轴转动, 牵连速度： , 方向vvaOCOCve方向待求未知 , , 方向未知 ,rvOA如图所示。根据速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形rvvrrve6333212 vvvae33tg（） ,2sinrrOCve又267.3牵连运动是平动时点的加速度合成定理牵连运动是平动时点的加速度合成定理re

12、avvv 由于牵连运动为平动，故由速度合成定理 , OeOeaavvv rkdtdzjdtdyidtdx而kdtdzjdtdyidtdxvvOa 对t求导：222222kdtzdjdtydidtxddtvddtvdaOaa 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。270, 0, 0dtzddtyddti d(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）, , kjireaaaa 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢

13、量和。 , 222222kdtzdjdtydidtxdaaadtvdreOO又naaa nrrneenaaaaaaaa一般式可写为：28 例例5 在图示的曲柄滑道机构中，曲柄长OA0.1m，绕O轴转动。当 时，其角速度 1 rad/s，角加速度 1 rad/s2，求导杆AB的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。o30解解 1）选取动点和动参考系OA上的A点为动点，导杆AB为动参考系，定参考系固连在地面上。 2）分析三种运动和三种加速度 29 绝对运动 即动点A的圆周运动，绝对加速度分解为切向加速度 和法向加速度 ，大小为方向如图 b）所示。 aanaa2n22aa0.1 m/s0.1m/saO

14、AaOA； 相对运动 即沿滑道的往复直线运动，故相对加速度 的方向为水平，大小为未知。 牵连运动 即导杆的直线平动，动点A的牵连加速度 为铅垂方向，大小为待求。 raea 3）根据牵连运动为平动时的加速度合成定理 作加速度合成图，如图 b）。将上式分别沿轴 投影，得 renaaaaaaaa、30eonaoaronaoa30cos30sin30sin30cosaaaaaa解得 求出的 为正值，说明假设的方向是正确的，而 即为导杆AB在此瞬时的平动加速度。 2e2rm/s136. 0m/s036. 0aa；re、aaea31解解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。 例例6 已知：凸轮半径 求：

15、 =60o时, 顶杆AB的加速度。ooavR,请看动画32绝对速度va = ? , 方向AB ；绝对加速度aa=?, 方向/AB，待求。相对速度vr = ? , 方向CA； 相对加速度ar =? 方向CA , 方向沿CA指向C牵连速度ve=v0 , 方向 ； 牵连加速度 ae=a0 , 方向由速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形,如图示。003260sinsinvvvvoerRvarnr/233因牵连运动为平动，牵连运动为平动， 故有nrearaaaaRvRvRvarnr34/)32(/ 20202其中作加速度矢量图加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得nreaaaacossin6

16、0sin/ )3460cos(sin/ )cos(200Rvaaaanrea整理得)38(33200RvaaaaABn34 上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。 设一圆盘以匀角速度 绕定轴O顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？7.4牵连运动是定轴转动时点的加速度牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理合成定理科氏加速度科氏加速度35Rvavrrr2, 常数有相对运动相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出常数

17、rreavRvvv选点选点M为动点，动系固结与圆盘上为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动牵连运动为匀速转动RaRvee2, （方向如图）即绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心点rrraavRvRRvRRva2)(222236 分析上式： 还多出一项2 vr 。 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不 等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么他 们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什 么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动 时点的加速度合成定理。earaaa,

18、, /22RaRvaerrrrraavRvRRvRRva2)(222237三种速度分析三种速度分析牵连速度牵连速度相对速度相对速度绝对速度绝对速度 t 瞬时在位置t+ t 瞬时在位置IIevrvreavvvreavvvevrv 可以看出，经过 t 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。 设有已知杆OA在图示平面内以匀 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒取套筒M为动点，动系固结于为动点，动系固结于杆杆OA上，静系固结于机架。上，静系固结于机架。38其中 在t内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 在t内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的

19、 的大小有关 。 t 时间间隔内的速度变化分析时间间隔内的速度变化分析 相对速度相对速度：由作速度矢量三角形，在 矢量上截取 长度后， 分解为 和rrrvvv, ,rvrvrvrv rv rrrvvv即rv rv 牵连速度牵连速度： 由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取等于 长后，将 分解为 和 ，eeevvv, ,evevevev ev eeevvv即39其中： 表示 t内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。 表示 t内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的 大小改变量，与相对速度 有关。ev evrv加速度分析加速度分析根据加速度定义tvvvvtvvareretaat

20、a)() (limlim00tvtvtvvvvrtetrreet000limlim)()(lim上式中各项的物理意义如下：第一项大小：eetetaOMtvtv200limlimtvtvtvtvrtrtetet limlim limlim000040 方向： t 0时， 0 , 其方向沿着直杆指向A点。 因此，第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。ea第三项大小： 为对应于 大小改变rrrtadtvdtvlim0rv方向：总是沿直杆。 因此，该项恰是瞬时动点的相对加速度。ra第二项大小：tOMOMtvvtvteetetlimlim lim000rrtvvtMM方向 , lim10该项为由于相对

21、运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：。方向 , lim lim00rrrtrtvvtvtv这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。41所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为kreaaaaa 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式knrrneenaaaaaaaaa 一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示。) (不垂直时与rvkarkva2转动的一边指向顺方向 , , 2rrkvva 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加

22、速度。ka42解解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 静系: 地面。 绝对运动: 直线; 绝对速度: va=? 待求, 方向/AB; 相对运动: 曲线; 相对速度: vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动; 牵连速度: ve= r ， 方向OA， 。), sin(2:rrkv va大小方向：按右手法则确定。0), / ( 180 0krav时或当rkrvav2), ( 90时当 例例7 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 ， 为已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。43n rvarnr方向同相对加速度 ,/:2222cos/ABaa/ , ?:方向

23、绝对加速度nar方向 ?;02 , , :Oraaaneee方向指向轴心牵连加速度)(tg tgrvvveaABcos/ cos/rvver根据速度合成定理reavvv做出速度平行四边形44由牵连运动为转动时的加速度合成定理牵连运动为转动时的加速度合成定理kneaaaaaarr作出加速度矢量图加速度矢量图如图示向 n 轴投影：knreaaaaacoscoscos/ )sec2/seccos(22222rrraaaAB)sec2/sec1 (232rr相反。指向与方向科氏加速度 2:nnrvark,/,cos/2245DABC 解解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。sin211vak)/( 0

24、22vak 例例8 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并图示方向。1v2v 点M2 的科氏加速度46解：解：rkva22rkrvav222 reavvv根据做出速度平行四边形)cos(sin),sin(cos11rvvrvvarae1122cossin)sin(cossin)sin(rrAOvervark212cos)22sin(2方向：与 相同。ev 例例9 曲柄摆杆机构。已知：O1Ar， ， ，1；取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点

25、A的科氏加速度。47reavvvreaaaa一概念及公式一概念及公式 1. 一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连 运动的合成。 2. 速度合成定理 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时)2( rkkreavaaaaa点的合成运动点的合成运动习题课习题课48二解题步骤二解题步骤1. 选择动点、动系、静系。2. 分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度、 角速度）。4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。49 三解题技巧三解题技巧1. 恰当地选择动点恰当地选择动点

26、,动系和静系动系和静系, 应满足选择原则应满足选择原则。具体地有： 两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固结于另一点的平动坐标系。 运动刚体上有一动点，点作复杂运动。 该点取为动点，动系固结于运动刚体上。 机构传动，传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触 点，相对于另一个刚体运动。导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。50 特殊问题，特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化。 此时，这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。 2

27、. 速度问题速度问题。一般采用几何法求解简便，即作出速度平行四 边形；3. .加速度问题加速度问题。往往超过三个矢量，一般采用解析（投影） 法求解，投影轴的选取依解题简便的要求而定。51 四注意问题四注意问题1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 ，正确分析和计算。 3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程 的投影式不同。 4. 圆周运动时，非圆周运动时， ( 为曲率半径)kaRRvan22/22/ vanka52 例例1 曲柄滑杆机构。曲柄滑杆机构。请看动画请看动画53已知已知: OAl , = 45o 时，, e ; 求求：小车的

28、速度与加速度解解：动点：动点：OA杆上杆上 A点点;动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上;静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，相对运动：直线运动， 牵连运动：平动；牵连运动：平动；)( OAlva方向)( ),( 2OAOlaOAlanaa指向沿方向e铅直方向 ? ?rrav., ? ?待求量水平方向eeav 例例1 曲柄滑杆机构。曲柄滑杆机构。54小车的速度：evv 根据速度合成定理 做出速度平行四边形, 如图示reavvv)(2245coscosllvvae投至x轴：enaaaaasincos45452sincosella

29、e ，方向如图示l )(222e小车的加速度小车的加速度：eaa 根据牵连平动的加速度合成定理renaaaaaa做出速度矢量图如图示。55例例2 摇杆滑道机构。摇杆滑道机构。请看动画请看动画56例例2 摇杆滑道机构。摇杆滑道机构。解解：动点动点:销子销子D (BC上上); 动系动系: 固结于固结于OA；静系；静系: 固结于机架。固结于机架。绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，沿OA 线牵连运动：定轴转动，牵连运动：定轴转动，aavvaa ,?,rravOODaOAODanee指向 ?;?,2eOAODve?,avh,:已知已知 求求OA杆的 、 e

30、。根据速度合成定理速度合成定理reavvv做出速度平行四边形做出速度平行四边形。57投至 轴：keaaaacoscossincos2cos22ahvaaaakee2222cos2sincoshahvODae（）根据牵连转动的加速度合成定理牵连转动的加速度合成定理krneeaaaaaasincos22,cos)cos(cos23222vhvvahvhvharknesinsin,coscosvvvvvvaraehvhvODve2cos )cos/(cos/（）58请看动画请看动画例例3 曲柄滑块机构曲柄滑块机构59例例3 曲柄滑块机构曲柄滑块机构解解：动点动点:O1A上上A点点; 动系动系:固结于

31、固结于BCD上上, 静系固结于机架上。静系固结于机架上。 绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动相对运动：直线运动; 牵连运动：平动牵连运动：平动; ，水平方向AOrva11 , BCvr /?,?ev 已知：已知： h; 图示瞬时 ; 求求: 该瞬时 杆的2 。EOAO21/EO2 ,11rAO60 根据根据 做出速度平行四边形做出速度平行四边形reavvv再选动点：再选动点：BCD上上F点点动系：固结于动系：固结于O2E上，上，静系固结于机架上静系固结于机架上绝对运动：直线运动，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动牵连运动：定轴

32、转动，)(sin1rvFa)(/ ?,2EOvFr)( ?,2EOvFesinsin1rvvae根据根据做出速度平行四边形做出速度平行四边形FrFeFavvv211sinsinsinsinrrvvFaFesin/,222hFOFOveF又312122sinsinsinhrhrFOveF）（61 例例4 凸轮机构。凸轮机构。请看动画请看动画62解解：取凸轮上取凸轮上C点为动点，点为动点， 动系固结于动系固结于OA杆上，杆上， 静系固结于地面上静系固结于地面上 绝对运动绝对运动: 直线运动，直线运动， 相对运动相对运动: 直线运动，直线运动， 牵连运动牵连运动: 定轴转动，定轴转动，aavvaa ,OAavrr/ ? ?,方向OCve方向 ?, 已知已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上； 已知： 求求： 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。分析：由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。例例4 凸轮机构。凸轮机构。; ?2OOCane指向?,eOCae方向OCav、 63sinsin/ ;, 0RvRvOCvvvvveaer）(做出速度平行四边形,知根据reavvv根据krneeaaaaaa做出加速度矢量图02 ,sin)sin(sin22rknevaRvRvRa投至 轴：cossincoseneaaaatgneaeaa