陕西省石泉县高中数学第一章数列1.3.1等比数列课件北师大版必修5

1、dnaan) 1(13 3、等差数列、等差数列aan n 的的通项公式通项公式为：为：)()(1Nndaann常数1定义定义： 2 、等差中项等差中项 ：如果三个数：如果三个数a，A，b组成等差组成等差数列，那么数列，那么A叫做叫做a和和b的等差中项。的等差中项。2abA且回顾等差数列：引例：(1) 如下图是某种细胞分裂的模型：如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子庄子意思：意思：“一尺长的木一尺长的木棒，每日取其一半，棒，每日取其一半，永远也取不完永远也

2、取不完” 。这。这样，每日剩下的部分样，每日剩下的部分都是前一日的一半。都是前一日的一半。11111 24816， 如果把如果把“一尺之棰一尺之棰”看成单位看成单位“1”，那么，得到的数列是：那么，得到的数列是：(2):(3)23,20 ,1,20,204.银行利息按复利计算（利滚利）银行利息按复利计算（利滚利）本利和本利和=本金本金（1+利率）利率）存期存期存期年初本金年末本利和（元）第一年10000100001. 0198第二年100001.0198100001.01982第三年100001.01982100001.01983第四年100001.01983100001.01984例如：存入

3、例如：存入10000元，利率为元，利率为1.98%100001. 0198, 100001.01982, 100001.01983 100001.01984 , 各年末本利和组成数列各年末本利和组成数列:观察：共同特征：从第二项起，每一项与它前面一共同特征：从第二项起，每一项与它前面一 项的比项的比等于等于同一个常数同一个常数；我们给具有这种特征的数列一个名字我们给具有这种特征的数列一个名字等比数列等比数列 11111 24816， ， ， ， （1） 1，2，4，8，16（2）以上以上4个数列有个数列有什么共同特征？什么共同特征？（3）23,20 ,1,20,20(4).100001. 01

4、98, 100001.01982, 100001.01983 , 100001.01984 , 1.1.等比数列：等比数列： 一般地，如果一个数列从第二项一般地，如果一个数列从第二项起，起，每一项与它前一项的比等于同一个常数每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个这个数列就叫做等比数列，这个常数常数就叫做等就叫做等比数列的比数列的公比公比（常用字母（常用字母“q”q”表示）。表示）。二、新课讲解二、新课讲解 （一）（一）等比数列的定义等比数列的定义： 练练 习习 一一 判断下列数列中哪些是等比数列判断下列数列中哪些是等比数列, ,哪些不是？哪些不是？（1）3，6，12，

5、24，（2）4，4，4，4，（3）4，0，0，0，是是是是不是不是a1=3,q=2a1=4,q=1思考思考1：如何用数学符号表示等比数列定义？：如何用数学符号表示等比数列定义？2.等比数列定义的符号语言：等比数列定义的符号语言： , ( n2 )，其中为，其中为q非零常数非零常数 或或)0(1qqaann1nnaqa （ nN+ ）思考2:类比等差中项的概念,如果三如果三个数个数a，G，b组成等比数列，组成等比数列，baGbaG242那么那么G叫做叫做a和和b的的 等比中项等比中项。 练练 习二：习二：求下列两数的等比中项求下列两数的等比中项 2，_ 8； -1，_ - 4； -12,_,1.

6、不存在已知数列已知数列 3，6，12，24，此数列的第此数列的第5050项项 a50= =？我们该如何？我们该如何求解呢？求解呢？在练习1中我们已经判断过此数列是等比数列。a1=3，q=2三三、探究、探究等比数列通项公式等比数列通项公式已知等比数列已知等比数列an , 首项是首项是a1，公比是，公比是q 通项公式是通项公式是_;思考3：探究探究:等比数列的通项公式等比数列的通项公式 法一：递推法法一：递推法qaaqaa1212212323qaqaaqaa313434qaqaaqaa由此归纳等比数列的通项公式可得：由此归纳等比数列的通项公式可得： 11nnqaa等等比比数数列列等等差差数数列列d

7、aa12daa213daa314由此归纳等差数列由此归纳等差数列的通项公式可得：的通项公式可得： dnaan) 1(1类比类比探究二探究二.等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： 迭乘法迭乘法qaa12qaa23qaa3411nnqaaqaann1共共n 1 项项）等等比比数数列列 法二：迭加法法二：迭加法daa12daa23daa34dnaan) 1(1daann1+）等等差差数数列列类比类比 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：若等比数列若等比数列an的首项是的首项是a1，公比是，公比是q，则，则 注注: 等比数列的通项公式中等比数列的通项公式中 ，an , a1 , n,q这四个变

8、这四个变量量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 例例1. 在等比数列在等比数列an中，中，（1）已知）已知a1=3，q=2，n=50，求，求an（2）已知）已知a3=12，a4=18，求，求a1和和a211nnqaa例如：数列例如：数列an的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则通项公式是：则通项公式是：上式还可以写成上式还可以写成nna221可见，这个等比数列可见，这个等比数列的图象都在函数的图象都在函数 的图象上，如右图所示。的图象上，如右图所示。xy221 0 1 2 3 4 nan87654321 的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的

9、等比数列结论na：思考思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？-12nna 数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定定 义义公差（比）公差（比）定义变形定义变形 通项公式通项公式 一般形式一般形式 课堂小结：课堂小结： an+1-an=dqaann1d 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m谢谢光临指导！谢谢光临指导！See you next time!作业：作业：p53 A1探究三.等比数列通项公式再认识等比数列

10、的通项公式还可以写成等比数列的通项公式还可以写成an=a1qn11nnaqcqq 当当q是不为是不为1的正数时，它是一个非零常的正数时，它是一个非零常数与一个数与一个指数函数指数函数的乘积的乘积.等比数列的图象（1）数列：）数列：1，2，4，8，16，201234567891024681012141618012nna1, 01 qa等比数列的图象（2）数列：）数列：1234567891012345678910018,4,2,1,242nna10 , 01qa等比数列的图象（3）数列：）数列：4，4，4，4，4，4，123456789101234567891001q（4）数列：）数列：1，1，1

11、，1，1，12345678910123456789100等比数列的图象等比数列的图象0q说明1100101naaaqq或递增；1100011naaaqq或递减；q=1，常数列，常数列； q0q0，摆动数列；，摆动数列；典例精讲典例精讲 例例1：根据如图的框图：根据如图的框图写出所打印数列的前写出所打印数列的前 5项，并建立数列的递项，并建立数列的递推公式。这个数列是推公式。这个数列是等比数列吗？等比数列吗？ 题型一题型一. 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明161,81,41,21, 154321aaaaa) 1(21111naaann211nnaa1)21(nna分析：分析：其递推公式

12、为其递推公式为由于由于因此这个数列是等比数列，其通项公式是因此这个数列是等比数列，其通项公式是例例2已知等比数列已知等比数列an中，中，a5=20，a15=5，求求a20.解：由解：由a15=a5q10，得，得 1014q所以所以 512q 因此因此 5201552aa q或或 5201552aa q 典例精讲典例精讲思考：对于例题中的数列，你是否发现思考：对于例题中的数列，你是否发现 恰好成等比数列？说出理由。恰好成等比数列？说出理由。 20,15,105,aaaa题型二题型二. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式41变式训练：在变式训练：在4与与 之间插入之间插入3个数，使这个数，使这5

13、个个数成等比数列，求插入的数成等比数列，求插入的3个数。个数。 解：依题意，解：依题意，a1=4， 514a 由等比数列通项公式得由等比数列通项公式得 451116aqa所以所以 12q 因此插入的因此插入的3个数依次是个数依次是2，1 ，21 或或2，1， 21世界杂交水稻之父袁隆平从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亿多亩，增产稻谷亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。万人口。 西方世界称他的杂交稻是西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻东方魔稻” ，并认为是解决，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题

14、的法宝。下个世纪世界性饥饿问题的法宝。例例3 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的种子都可以得到下一代的120粒种子，到第粒种子，到第5代时大代时大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有效数字）？效数字）？由于每代的种子数是它的前一代种子数的由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，倍，因此，逐代的种子数组成等比数列，记为因此，逐代的种子数组成等比数列，记为 na5,120,1201nq

15、a其中155120120a因此10105 . 2答：到第答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子代大约可以得到这种新品种的种子2.51010粒粒.解：解：巩固巩固 应用应用当堂检测：当堂检测：1数列数列1，37，314，321，中，中，398是这个是这个数列的（数列的（ ）（A）第）第13项项 （B）第）第14项项 （C）第）第15项项 （D）不在此数列中）不在此数列中C2.已知已知 是等比数列，是等比数列， ，则公比，则公比q为为（ ）（A） （B）-2 （C）2 （D）na41, 252aa2121D3若若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项，是一个等比数列的连续三项，则则x

16、的值为（的值为（ ）（A）4 （B）1 （C）1或或4 （D）1或或4A;_,21, 4aa. 552nnaa则中，在等比数列4)21(n4. 一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18，则，则它的第它的第1项与第项与第2项分别为项分别为_ . 1216,83aa的通项公式。求数列理由；是否为等比数列？说明判断数列，且公比中，已知等比数列)2() 1 (, , 1. 611nnnnnnbbaabqaa列。的常数列，不是等比数是各项均为则若公比为中，等比数列解：0, 0, 1, 10, 1) 1 (11111nnnnnnnnnbaabaqqqqaaqaa.) 1

17、(,) 1(1, 01(1)2(, 1,) 1() 1(, 1*111111121Nnqqbqqbqbqqqbqqqqqqqqqaaaabbqnnnnnnnnnnnnnnnnnn时，当时，知，当由的等比数列。公比为是首项为由于若等比数列的定义；等比数列的通式公式及其简单应用：类比思想的运用；拓展延伸已知数列满足已知数列满足（1）求证：数列）求证：数列 是等比数列。是等比数列。（2）求）求 的通项公式。的通项公式。)(12, 111Nnaaann1na na作业：作业：课本P47习题A组的第3题,B组第二题。 练练 习习 一一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？判断下列各组数列中哪些是

18、等差数列，哪些不是？如果是，写出首项如果是，写出首项a1 1和公比和公比q, q, 如果不是，说明理如果不是，说明理由。由。（1）2，4，8，16，（2）1，1，1，1，（3）4，0，0，0，是是是是不是不是a1=1,q=2a1=1,q=1a1=1,d=(4) 1 , , , , , 121418116.以下数列中，那些是等比例数列以下数列中，那些是等比例数列?(1) 1 , , , , , 121418116(2) 1 , 1 , 1 , , , 1 ;(3) 1 , 2 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ; (4) 1，0，0，.解解: (1)是等比数列是等比数列,公比公比q=-1/2;(2)是公比为是公比为1等比数列等比数列;(3)8/4 12/8,该数列不该数列不是等比数列是等比数列;(4)当当a 0时时,这个数列是公比为这个数列是公比为a的等比数列的等比数列;当当a=0时时,它不它不是等比数列是等比数列.问题一：等比数列中问题一：等比数列中(1)公比公比q为什么不能等于？首项能等于吗？为什么不能等于？首项能等于吗？(2)公比公