9重积分总复习PPT精选文档

1、1一、二重积分概念一、二重积分概念二、二重积分的计算二、二重积分的计算 三、三、 三重积分概念三重积分概念四、三重积分的计算四、三重积分的计算五、重积分的应用五、重积分的应用重积分复习重积分复习一、二重积分的概念一、二重积分的概念 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10(一一)、定义、定义3(二二)、几何意义、几何意义当被积函数大于零时，二重积分是以被当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底的曲顶积函数为曲顶、以积分区域为底的曲顶柱体的体积柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是曲当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值顶柱体的体积的负值4(三三)、物

2、理意义、物理意义平面薄片的质量平面薄片的质量设有一平面薄片设有一平面薄片,xoy占有占有 面上的闭区域面上的闭区域 ,D在点处在点处 的面密度为的面密度为 , ),(yx),(yx 假定假定 在在),(yx 上连续上连续, D平面薄片的质量平面薄片的质量yx( , )DMx y d 5( (四四) )存在条件存在条件6( (五五) )性质性质.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf .),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 对区域具有可加性对区域具有可加性)(21DDD 性质性质 当当 为常

3、数时，为常数时，k性质性质 若若 为为D D的面积，的面积，.1 DDdd 7性质性质.),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 则有则有若在若在 上上),(),(yxgyxf D 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的最大值和最小值，最大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则 性质性质 DMdyxfm),(（估值不等式）（估值不等式） 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域 D上连续，上连续， 为为D的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),( 使使得得 性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中

4、值定理） ),(),(fdyxfD8当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解9例例 2 2 比比较较积积分分 Ddyx )ln(与与 Ddyx 2)ln( 的的大大小小, 其其中中 D 是是三三角角形形闭闭区区域域, 三三顶顶点点各各为为(1,0),(1,1), (2,0). 解解三三角角形形斜斜边边方方程程 2 yx在在 D 内内有有 eyx 21, 故故 1)ln( yx, 于是于是 2)ln()ln(yxyx , 因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)l

5、n(. oxy121D10例例3 求极限求极限 Dyxrdxdyyxer)cos(1lim2220 其中其中D为为222ryx 。解解 因为被积函数因为被积函数)cos(22yxeyx 在区域在区域D上连续，根据上连续，根据积分中值定理知积分中值定理知： 存在存在D ),( 使得使得 Dyxrdxdyyxer)cos(1lim2220 解毕。解毕。220)cos(1lim22rerr 1 11二、二重积分的计算二、二重积分的计算( (一一) )、利用直角坐标系计算二重积分、利用直角坐标系计算二重积分其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x )(2x ,ba)(2xy ab

6、D)(1xy Dba)(2xy )(1xy 先先y后后x:平行于平行于 轴的直线穿过区域轴的直线穿过区域内部与其边界最多交于两点。内部与其边界最多交于两点。y21( )( )( , )( , ).bxaxDf x y df x y dy dx 12先先x后后y 平行于平行于 轴的直线穿过区轴的直线穿过区域内部时与其边界最多交于两点。域内部时与其边界最多交于两点。x)2(.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf )(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D13求二重积分的求二重积分的步骤步骤(1) 画出积分区域图形画出积分区域图形,判断类型判断类型;(2) 定

7、积分上下限定积分上下限(3) 写出二次积分再求即可写出二次积分再求即可.14若区域如图，则必须分割。若区域如图，则必须分割。在分割后的三个区域上分别使用积分公式。在分割后的三个区域上分别使用积分公式。.),(),(),(),(321 DDDDdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf3D2D1D15如果被积函数具有如果被积函数具有xxxeexxxyln1,sin,sin22等形式，则应选择先对等形式，则应选择先对y积分。积分。注：注：16dxyxx 101022 xy 1解解 积分区域如图积分区域如图由由其中其中D1 yx与两坐标轴围成与两坐标轴围成.dxxxx)2(211032

8、 Dxydxdy xxydydx1010 xyxD 10 , 10: 102)1(21dxxx1043241322121xxx 241 17解解:( , )( , ),Df x yxyf u v dudv 其中其中 是由是由 所围区域所围区域, 则则20,1yyx x D( , )f x y等于等于( )( )令令由已知等式得由已知等式得( , ),Df u v dudvA ( , )f x yxyA 两边在两边在 上取二重积分上取二重积分, , 则则D( )A xy( ) 2Bxy1( )8C xy ()1D xy 例例2( , )f x y设设 连续连续, 且且( , )DAf x y d

9、xdy DDxydxdyA dxdy2112000 xxdxydyA x dx11123A故选故选解得解得1,8A .C18dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示 解解 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 19(二二)、利用极坐标系计算二重积分、利用极坐标系计算二重积分( , )( cos , sin ).DDf x y dxdyf rrrdrd ADo)(1 r)(2 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r.)sin,cos()()(21

10、 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(20AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfdDoA)(r21例例 1 1 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为 a 的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解 在极坐标系下在极坐标系下 D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 22例例2 将将 (其中其中 为为 围成围成) 化为极坐标下的累次积分化为极坐标下

11、的累次积分.( , )Df x y d D222xyx 在极坐标系下在极坐标系下 D：02cosr ，/2/2 . ( , )Df x y d /22cos/20( cos , sin )df rrrdr 解解23在极坐标系下在极坐标系下 /32cos01cossindrrrdr 例例 3 3 计算计算Dxydxdy , 其中其中 是由是由221,xy 2220,0 xyxy所围成的闭区域所围成的闭区域. DDxydxdy /32cos301cossin dr dr /34401(2 cos1) cos sin4d 916 解解24在极坐标系下在极坐标系下 /22/41drdr 例例4 4 计

12、计算算arctanDydxdyx , 其其中中 是是由由 2214,xy 0,0 xyx 所所围围成成的的 闭闭区区域域. DD：12r ，/4/2 . arctanDydxdyx 解解2213()() 224225在极坐标系下在极坐标系下 / 23/ 2/ 2cos/ 20aaadr rdrdr rdr 例例 5 5 计算计算22Dxy dxdy ,其中其中 是由是由222,xya 222()24aaxy 所围成的闭区域所围成的闭区域. D22Dxy dxdy cos,ara /2/2; :D0,ra /23 /2. 322()33a 解解和和26例例 6 计算计算yxyxDedxdy ,

13、其中其中 是以是以(0,0), (1,0), (0,1)为定点的三角形闭区域为定点的三角形闭区域 D在极坐标系下在极坐标系下 sincos1/2sincossincos00derdr D：11sincosr ，0/ 2 . y xyxDedxdy sincos/22sincos011()2 sincosed sincos/2sincos01sincos4sincosed 11()4ee 解解27例例7 7.)()(11)()(12banxanbadyyfybndyyfyxdx证明 证证bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22babynyxndyyf)(11)(1

14、.)()(111bandyyfybnDxy bbaa28三、三重积分的概念三、三重积分的概念 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . . 定义：定义： 物理意义物理意义:若若 ,则三重积分则三重积分的值等于以的值等于以 为分布密度的几何为分布密度的几何体体 的质量的质量. 0),( zyxf),(zyxf 二重积分与三重积分有类似的存在二重积分与三重积分有类似的存在条件及性质条件及性质.29四、三重积分的计算四、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法投影法 (“先先z后后xy”)方法方法2 平行截面法平行截面法,0)

15、,(zyxf先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算的密度函数的密度函数 , 方法方法: 当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用平行截面法比较简单。平行截面法比较简单。30zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为该物体

16、的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd细长柱体微元的质量为细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd记作记作31例例 1 1 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. . xozy111 xyxzdzdydx101010241)1(61)1(2110310210 dxxdyyxdxx zdxdydz 解解.10 , 10:xyxDxoy 平平面面上上的的投投影影区区域域为为在在 yxz 10的范围

17、的范围:z32ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底为底, d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zd记作记作33例例. 1:222zyxdvez，计算 解解法，故采用先二后一域为圆的函数，截面被积函数仅为2221)(zyxzDz上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD102)1 (2dzezz.2 34例例 4 4 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2其中其中 是由

18、是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域. . : ,| ),(czczyx 1222222czbyax xyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD | ),(yxDz 1222222czbyax 35),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式我们称此种方法为我们称此种方法为平行截面法平行截面法。36z当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用平行截面法比较简单。求出时，用

19、平行截面法比较简单。37oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面常数半平面半平面常数z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx38如图所示如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为ddd dvz 因此因此zyxzyxfddd),(),(zF其中其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:zddd 当积分区域由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲

20、当积分区域由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面围成且被积函数具有如下形式：面围成且被积函数具有如下形式：2222(),(),()yzf xyf xyfx 39例（例（970105）计算计算 其中其中 为平面曲线为平面曲线22()Ixy dV 解：解：旋转曲面的方程为旋转曲面的方程为222zxy 22482002rIdrdrr dz 24302(8)2rrdr 10243 绕绕 轴旋转一周形成的曲面与平轴旋转一周形成的曲面与平z 022xzy面面 所围成的区域。所围成的区域。8 zxyzo8 z403. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点

21、就称为点M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为坐标面分别为常数r球面球面常数半平面半平面常数锥面锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 41如图所示如图所示, 在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:2dsind drr 当积分区域由球面与锥面，球面与平面围成且当积分区域由球面与锥面，球面与平面

22、围成且被积函数具有如下形式：被积函数具有如下形式：222()f xyz 42例例 计算计算dxdydzzI 其中其中,:2222azyx 解解drrrddIa sincos202020 )0(, 0 azoyzx 20204cossin4 dda44 a 43例例 4 4 计计算算dxdydzyxI)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx，与与平平面面 az )0( a 所所围围的的立立体体. . 解解 1 1 采采用用球球面面坐坐标标 az ,cosar 222zyx,4,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin 44例例 5 5

23、求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所所围成的立体体积围成的立体体积. . 解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成， 采用球面坐标，采用球面坐标， 由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知dxdydzV, , 45adrrddV202020sin44033)2(sin2da.) 12(343a小结：小结：1 当积分区域由柱面、锥面、旋转当积分区域由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面围成且被积函数具有如抛物面与其它曲面围成且被积函数具有如下形式：下形式：)(),(),(2222xyfyxfyxzf 时用柱坐标。时用

24、柱坐标。2 当积分区域由球面与锥面，球面与平当积分区域由球面与锥面，球面与平面围成且被积函数具有面围成且被积函数具有)(222zyxf 形式形式时用球坐标。时用球坐标。46、被积函数在积分区域上的关于三、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的个坐标轴的补充：利用补充：利用对称性化简三重积分计算对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；奇偶性奇偶性47例例 8 8 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1) 1ln(222222 其中积分区域其中积分区域1| ),(222zyxzyx. .

25、解解 积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数, ,z. 01) 1ln(222222dxdydzzyxzyxz48例例8 8所围成的与由其中，计算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐标利用球面坐标0( , , )xf x y zxx关于面为对称，为 的奇函数，. 0 xdv有zdvdvzx)(1024020sincosdrrrdd.849五、重积分的应用五、重积分的应用 二重积分二重积分50 1: 二重积分的被积函数等于二重积分的被积函数等于1时时,二重积分的二重积分的值等于积分区域的面积值等于积分区域的面积.所以我们可以利

26、用二重积分所以我们可以利用二重积分求求平面图形的面积平面图形的面积. 2: 由二重积分的几何意义可知由二重积分的几何意义可知,二重积分可用二重积分可用来求来求体积体积. (当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底的曲顶柱体的体积积分区域为底的曲顶柱体的体积)一、平面面积、体积、质量一、平面面积、体积、质量 3: 由二重积分的物理意义可知由二重积分的物理意义可知,二重积分可用二重积分可用来求来求平面薄片的质量平面薄片的质量.51例例 1 求由曲面求由曲面222zxy与曲面与曲面2262zxy 所围成的立体的体积所围成的立体的

27、体积.解解22221(62)(2)DDVxy dxy d 22(633)Dxy d 2:D由由222262zxyzxy 得得222xy 从而投影曲线从而投影曲线2220 xyz 02,02r 3V 222003(2)dr rdr 2422006 4rr 6 52例例 2 求面密度为求面密度为 的圆板的圆板22xy 221xy的质量的质量.解解由二重积分的物理意义可知由二重积分的物理意义可知22221xymxy d 21200dr dr 23 53设光滑曲面设光滑曲面:( , ) , ( , )xyS zf x yx yD设它在设它在 D 上上则则(二二)、 曲面的面积曲面的面积的投影为的投影为

28、 d ,若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为,),( , ),(zyDzyzygx则有则有若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy则有则有 ;122dydzAyzDzxyx dxdyAxyDyzxz 22)()(1 .122dzdxAzxDxyzy 54例例 3 3 求求球球面面2222azyx 的的表表面面积积. )0( a解解 上半球面上半球面222zaxy在在 面上的投影面上的投影xoy:xyD222xya由由222,zxxaxy 得得222,xya 令令1:D11222DaAdxdyaxy 222zyyaxy yxyzxzADdd)()(12212222Da

29、dxdyaxy 5511222DaAdxdyaxy 因此因此, 整个球面的面积为整个球面的面积为20022araddrar 22 a 0222aradrar 24 a 56 占有占有空间有界域空间有界域 的空间形体，体密的空间形体，体密度为度为 的的空间形体的质量空间形体的质量. ),(zyxfzyxzyxfmddd),(二二)、 三重积分三重积分 占有占有空间有界域空间有界域 的的空间形体的体积空间形体的体积为为zyxVddd 占有占有空间有界域空间有界域 的空间形体，体密的空间形体，体密度为度为 的的空间形体的质量空间形体的质量例例 求由曲面求由曲面222zxy与曲面与曲面2262zxy

30、所围成的立体的体积所围成的立体的体积.*用三重积分计算用三重积分计算*57( (三三) )、物体的重心、物体的重心若物体为占有若物体为占有xoy 面上区域面上区域 D 的的平面薄片平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(则它的质心坐标为则它的质心坐标为MMyMMx其面密度其面密度 xMyM 对对 x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y 轴的轴的 静矩静矩58zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(设物体占有设物体占

31、有空间区域空间区域, 密度为密度为),(zyx 59(四四)、物体的转动惯量、物体的转动惯量如果物体是如果物体是平面薄片平面薄片,面面密度为密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 60设物体占有设物体占有空间区域空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数. ),(zyxxyozzyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( )(22zy )(22zx 对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量

32、对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(2261一、选择题一、选择题: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、设、设D为为222ayx , ,当当 a( )( )时时, , Ddxdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . . 测测 验验 题

33、题62 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 .63 5 5、设、设DdxdyyxI)(22, ,其中其中D由由 222ayx所 围 成所 围 成 , , 则则I=( ). =( ). (A)(A)40220ardrada ;(B);(B)4022021ardrrda ; ; (C)(C)3022032adrrda ;(D);(D)402202 aadrada . . 6 6 、 设、 设 是 由 三 个 坐 标 面 与 平 面是 由 三 个 坐 标 面 与 平 面zyx 2=1=1 所围成的空间区域所围成的空间区域, ,则则 xdxdydz=( ).=( ). (A) (A) 4