高中数列解法

1、1.常用的 基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键.2.数列求和实质就是求数列Sn的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.6.5数列的综合应用典例精析题型一函数与数列的综合问题【例1】已知f(x)=logax(a>0且a1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首项为4，公差为2的等差数列.(1)设a是常数，求证：an成等比数列;(2)若bn=anf(an)，bn的前n项和是Sn，当a=2时，求Sn.【解析】(1)f(an)=4+(n-1)

2、15;2=2n+2，即logaan=2n+2，所以an=a2n+2，所以anan-1=a2n+2a2n=a2(n2)为定值，所以an为等比数列.(2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2，当a=2时，bn=(2n+2) (2)2n+2=(n+1) 2n+2，Sn=223+324+425+(n+1 ) 2n+2，2Sn=224+325+n2n+2+(n+1)2n+3，两式相减得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+24(1-2n-1)1-2-(n+1)2n+3，所以Sn=n2n+3.【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是

3、以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.【变式训练1】设函数f(x)=xm+ax的导函数f(x)=2x+1，则数列1f(n)(nN*)的前n项和是()A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn+1 D.n+1n【解析】由f(x)=mxm-1+a=2x+1得m=2，a=1.所以f(x)=x2+x，则1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1.所以Sn=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故选C.题型二数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，

4、从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1=310，经过n年绿化面积为an+1，求证：an+1=45an+425;(2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到60%?【解析】(1)证明：由已知可得an 确定后，an+1可表示为an+1=an(1-4%)+(1-an)16%，即an+1=80%an+16%=45an+425.(2)由an+1=45an+425有，an+1-45=45(an-45)，又a1-45=-120，所以an+1-45=-12(45)

5、n，即an+1=45-12(45)n，若an+135，则有45-12(45)n35，即(45)n-112，(n-1)lg 45-lg 2，(n-1)(2lg 2-lg 5)-lg 2，即(n-1)(3lg 2-1)-lg 2，所以n1+lg 21-3lg 2>4，nN*，所以n取最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题.【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在

6、数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)=0，则下列结论中错误的是()A.P(2 006)=402 B.P(2 007)= 403C.P(2 008)=404 D.P(2 009)=405【解析】考查数列的应用.构造数列Pn，由题知P(0)=0，P(5)=1，P(10)=2，P(15)=3.所以P(2 005)=401，P(2 006)=401+1=402，P(2 007)=401+1+1=403，P(2 008)=401+3=404，P(2 009)=404-1=403.故D错.题型三数列中的探索性问题【例3】an，bn为两个

7、数列，点M(1,2)，An(2，an)，Bn(n-1n，2n)为直角坐标平面上的点.(1)对nN*，若点M，An，Bn在同一直线上，求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足log2Cn=a1b1+a2b2+anbna1+a2+an，其中Cn是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)在同一直线上，并求此直线方程.【解析】(1)由an-22-1=2n-2n-1n-1，得an=2n.(2)由已知有Cn=22n-3，由log2Cn的表达式可知：2(b1+2b2+nbn)=n(n+1)(2n-3)，所以2b1+2b2+(n-1)bn-1=(n-1)n(2n-5

8、).-得bn=3n-4，所以bn为等差数列.故点列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)共线，直线方程为y=3x-4.【变式训练3】已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn(nN*).若a1>1，a4>3，S39，则通项公式an=.【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.由a1>1，a4>3，S39得令x=a1，y=d得在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1)，即a1=2，d=1.所以an=2+n-1=n+1.故答案填n+1.总结提高1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意;(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、前n项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解;(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解策略(1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或