数值分析复习及习题选讲

1、总总 复复 习习一、绪论一、绪论 1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题. 一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。 1.了解差商、差分的概念和性质.2 2和和3 3、插值与逼近、插值与逼近 Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。2.会建立插值多项式并导出插值余项.3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。 4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 6. 掌握最小二乘法的

2、思想，会求拟合曲线及最佳均方误差. 5. 了解最佳一致逼近的概念，会求最佳平方逼近多项式。 1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。 2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。4 4、数值积分和数值微分、数值积分和数值微分 )(12)()()(2)(3fabbfafabdxxfba )(2880)()()2(4)(6)()4(5fabbfbafafabdxxfba 3. 掌握复化求积公式的方法和了解Romberg公式的构造。 4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。 5.了解微分公式建立形式，会求简单的

3、微分公式。5 5、线性方程组的数值解法、线性方程组的数值解法 1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 2.掌握矩阵的直接三角分解法。 顺序Gauss消元法:矩阵A A的各阶顺序主子式都不为零. 主元Gauss消元法:矩阵A A的行列式不为零. 会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、Crout分解及Cholesky分解。 熟练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶法的思想。 3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数

4、。解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法 会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。 （1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1. （2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.（3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(01)收敛.（4）A对称正定,则GS法,SOR法(02)收敛.U)(LDB1JULDG1)(SB6、非线性方程的数值解法、非线性方程的数值解法 1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-x*|2-(k+1)(b-a).2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。 定理定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代格式xk+1=(x

5、k)均收敛于(x)在I上的唯一不动点x*. 推论推论 若1).a(x)b; 2.|(x)| L1, xa,b.则xk+1=(xk),x0a,b都收敛于方程的唯一根x*. 推论推论 若(x)在x*附近具有一阶连续导数,且|(x*)|1, 则对充分接近x*的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛. 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧. 4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.Cxxxxpkkk*)(*lim1 (2) 若(x*)0,则迭代法线性收敛.)()(1kkkkxfxfxx 局部平方收敛. (1)

6、xkp阶收敛于x*是指:5.会建立弦截法的迭代格式；)()()(111kkkkkkkxfxfxxxfxx第第1 1章章 1.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032 解解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.数数x经过四舍五入后得到的近似值总可以写成如下形式经过四舍五入后得到的近似值总可以写成如下形式 x*=0.a1a2ak10m 其中m是整数,ai是0到9中的一个数字, a10(规格化规格化)x*作为x的近似值,具有n位(nk)有效数字当且仅当nmxx1021*有效数字与相对误差的关系有效数字与相对误差的关系

7、有效数字有效数字 相对误差限相对误差限则其绝大误差限和相对误差限分别为则其绝大误差限和相对误差限分别为,)0(10.011位有效数字具有若，）（的近似数是设nxaaaxxmn 相对误差限相对误差限 有效数字有效数字已知已知 x* 的相对误差限满足的相对误差限满足 则则 x* 至少有至少有 n 位有效数字。位有效数字。)1(1*1021)(nraxxxxe)(*1021)(nmxxxe)1(110) 1(21)(nrax9数值运算的误差估计数值运算的误差估计为近似值，则误差限：为准确值四则运算，设*2*121,xxxx.|)(|)(|)/( ),(|)(|)( ),()()( 2*2*1*2*2

8、*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1xxxxxxxxxxxxxxxxx,*, ,*)(*)*)(*)()( ,*,)(22)(之间在公式由为近似值为准确值，一元函数xxxxxxxfxfxfTaylorxxxff *).(|*)(|*)( *)(xxfxfxf的误差限得10).(*)( ),(,),(*1*11*11knkknnnnxxffxxfxxxxxxf的误差限同理得的近似值为准确值，多元函数11*).(*)(*)( *ddsllss计算场地面积s=ld误差2. 正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm2? 解解 记正方形的边长为a，面积为S，有a

9、*=100，A=a2，A*=(a*)2, (A*)=1.*121221 () | () | ()x xxxxx(A*)2a*(a*)=200(a*)令200(a*)1得(a*)0.510-2 1.当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式p2(x).第第2,3章章 解法一解法一. . 基函数法: p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x) )2)(1(61)()()(2101201xxxxxxxxxxxl) 1)(1(31)()()(1202102xxxxxxxxxxxlp2(x)=-3l1(x)+4l2(x) ) 1

10、)(1(34)2)(1(21xxxx)1(8)2(3)1(61xxx)145)(1(61xx 解法二解法二. 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b), 则有 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得, a=5/6, b=7/3, 所以 p2(x)=1(x-1)(5x+14)/6 的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较. 2.利用y =x 在x=100,121,144点的函数值 ,用插值方法求115 解解 由二次Lagrange插值得:722756.1012)121144)(100144()121115)(100115(11)144121)(100121()14411

11、5)(100115(10)144100)(121100()144115)(121115()115(1152 L5523310,10014488yxx 3521063125. 1)144115)(121115)(100115(1083! 31)115(115 L 实际误差：3210049294. 1)115(115 L 3.设(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,证明 证明证明 以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0,故bxaMabxf,)(81)(22其中,. )(max2xfMbxa |(x)|=|(x)-L1(x)|22)(81)(2)(Mabbxaxfx 4.设l0(x),l

12、1(x),ln(x)是以x0,x1,xn为节点的n次Lagrange插值基函数,求证: 证明 (1)记(x)=xk,则yj=(xj)=xjk, j=0,1,n.于是., 1 , 0,)() 1 (0nkxxlxkjnjkj., 1,0)()()2(0nkxlxxjnjkj)()!1()()()(10)1(xnfxlyxfxnnjxnjjknjjkjxlx0)( (2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k, j=0,1,n.于是)()!1()()()()(10)1(tnftlytfxtnnjtnjjknjjkjtlxx0)()(取t=x,则有njjkjxlxx00)()( 5

13、.设(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)关于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式,并给出插值误差. 解解 差商表为 Newton插值多项式为: N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8) +2.79(x+1)(x+0.8)x |R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| 5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| 6 给出给出x3在在x=0,1,2,3,4的值，试用的值，试用Newto

14、n前插前插计算计算0.53. 解解 函数函数 x3 3 的差分表如下的差分表如下 当当50105050./ ).(.tx时，时，根据根据Newton向前插值公式，分别求得向前插值公式，分别求得 18505010150001.!).(tffN 250150502650101215002002.).(. )(!).(ttftffN 12502501505036250213500323.).)(.(. )(!)().(tttfxNN 1250012503214500434.)()(!)().(ttttfxNN .)( 就是精确结果就是精确结果故故12503xN19 7.设(x)=x4+2x3+5,

15、在区间-3,2上, 对节点x0= -3, x1=-1,求出(x)的三次Hermite插值多项式在区间x0,x1上的表达式及误差公式. 解解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得 H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以 0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得: 1(x)=-(x+3)2x/4 0(x)=(x+3)(x+1)2/4 1(x)=(x+3)2(x+1)/4所以有 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x-13.5(x+3)(x+1)2+0.5

16、(x+3)2(x+1) =-6x3-22x2-24x-4误差为 R(x)=(x+3)2(x+1)2 8.确定a，b，c使函数31) 1() 1() 1(10)(23213xcxbxaxxxxS是一个三次样条函数。 解解 因为S(x)是分段三次多项式,故只需S(x)C20,3 由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1 由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3 由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3所以,当a=b=3,c=1时,S(x)是三次样条函数.01( )1,( ),( )1xxxx解：1112001011000)1,)1/2,)1/3dxxdxx d

17、x（ ，（ ，（ ，0111/ 21.1471/ 21/30.609aa11220100)11.147,)10.609fx dxfx xdx（ ，（ ，010.934,0.426*( )0.9360.426aaxx解得，所求最佳平方逼近函 2( )1f xx 9.给定 ，0 x1，求f(x)的最佳一次平方逼近函数。 10.给出函数表 解解 线性拟合,即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 则得正则方程组: 6a+0.5b=13.52 试分别作出线性

18、,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差. 0.5a+2.875b=7.055 解得:092353. 2078971. 2ba所以,线性拟合曲线为:y=2.078971+2.092353x最佳均方误差为:*2= =0.386592)(iiybxa 二次拟合,即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T， =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T. 6a+0.5b+2.875c=13.52 0.5a+2.875b+0.3125c=7.0

19、55 解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.二次拟合曲线为:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.最佳均方误差为:*2= =0.06943.22)(iiiycbxa 2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375 则得正则方程组: 1.建立右矩形和左矩形求积公式,并导出误差式.第第4章章 解法解法. . 右矩形公式为：由于(x)-(a)=(x)(x-a), (x)-(b)=(x)(x-b) )()(abbfdxxfba 左矩形公式为：)()(abafdxxfba所以有 ),()(2)()()()()(2bafabdxbxfabbf

20、dxxffRbaxba),()(2)()()()()(2bafabdxaxfabafdxxffRbaxba 2.说明中矩形公式的几何意义,并证明 证明证明 由Taylor展开式有),()(24)()2()()(3bafabbafabdxxfba 所以有 3)(24)()(2()(abfabbafdxxfba 2)2(2)()2)(2()2()(baxfbaxbafbafxfx 3.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？)0() 1 ()0()() 1 (01010fBfAfAdxxf 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则有 解得:A1=1/3,A

21、0=2/3, B0=1/6. A0+A1=1 A1+B0=1/2 A1=1/3求积公式为: (x)=x3时,左=1/4,右=1/3,公式不精确成立所以公式的代数精确为2.)0(21) 1 ()0(2(31)(10fffdxxf)(3)(2) 1()()2(213111xfxffdxxf 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则有 解得: 2=2 2x1+3x2-1=0 2x12+3x22+1=2求积公式为: (x)=x3时,公式都不精确成立,故代数精度为2.126599. 0689899. 021xx526599. 0289899. 021xx或)126599. 0(3)689899.

22、 0(2) 1(31)(11fffdxxf)526599. 0(3)289899. 0(2) 1(31)(11fffdxxf或)()0()()0(2)()3(20hffhhffhdxxfh 解解 当(x)=1时,左=h，右=h，对所有都成立。 (x)=x时有左=右=h2/2，对所有都成立。 故公式的代数精度为3.)()()4(00112xfAdxxfx)()0(12)()0(2)(20hffhhffhdxxfh 解解 令公式对(x)=1,x精确成立,则有 (x)=x2时,左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,则有 (x)=x3时,左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也

23、精确成立. (x)=x4时,左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6，不精确成立. A0=2/3 A0 x0=0 解得A0=2/3,x0=0. 所以公式为)0(32)(112fdxxfx ,其代数精度为1. 解解 因为|(lnx)|=1/x21, |(lnx)(4)|=6/x46 要|I-Tn|9.13,故取n=10.IS2=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75=0.386260 若取=10-3,分别求出n使复化梯形公式Tn,复化Simpson公式Sn的截断误差满足: |I-Tn|,及|I-Sn| ,并计算Sn . 4.设,ln21xdxI,1012132

24、n要|I-Sn|1.201,故取n=2. 导出两点Gauss型求积公式. 5.对积分10,)(1lndxxfx 解解 区间0,1上权函数为ln(1/x)的正交多项式为: p0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252 令 p2(x)=0 ，解出Gauss点为：,42106151x42106152x 再令公式对(x)=1,x精确成立,可得 A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出所以两点Gauss型求积公式为:1064921,106492121AA 6.用两点Gauss型求积公式计算下列积分的近似值.)4210615()1094921()

25、4210615()1094921()(1ln10ffdxxfx 解解 两点Gauss-Legendre求积公式为: dxx11221cos1)577350. 0()577350. 0()(11ffdxxf所以有611151. 1cos111221dxx其中, xj=x0+jh，j=0,1,2。 (x)= (x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 )(3)()(4)(321)(22100fhxfxfxfhxf (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0) 证明证明 (1)以x0,x1,x2为节点的二次Lag

26、range插值为: + (x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6 (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x) (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/3 7.证明下列数值微分公式： 1.用列主元Gauss消元法解方程组 解解 第第5章章 6745150710623321xxx65157071046235 . 255 . 201 . 661 . 0070710消元1 . 661 . 005 . 255 . 207071032rr回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0651546237

27、071021rr2 . 62 . 6005 . 255 . 2070710消元 2.对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中 解解 564,221231112bA ，所以221231112A1122121112212325211125321232521112535321232521112532325532121112111A5332132153212144564111yyyyyy，得解1114411232153321532325xxxxxx，得再解 3.对矩阵A进行Crout分解，其中 解解15156654212A64264122112634122112634

28、123221112634123221111111263423221A分解：故得Crout 4.对矩阵A进行LDLT分解和LLT分解，并求解方程组Ax=b，其中 解解 ,22484548416A22484548416A2121432321214332321214332214332214A分解：故得TLL1119416111232141232141ALDLT分解为：321b7083. 1875. 025. 0321332214321321yyyyyy，得解5694. 02916. 15451. 07083. 1875. 025. 0332214321321xxxxxx，得再解 5.给定方程组 21

29、102yxyx 1).用Cramer法则求其精确解. 2).用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算). 解解 1).x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 2).用Gauss消元法21102yxyx1102yx1001001102yyx回代得解: y=1, x=0. 6.用追赶法求解方程组: 再用列主元Gauss消元法21102yxyx12yyx2yx回代得解: y=1, x=1.200000100411411411411454321xxxxx 解解4114114114114141441114415411141

30、54415411114155615441541111456151556154415411111456209561515561544154111114209565620956151556154415412097802095656209561515561544154111114718.5347847. 07857. 16667. 625200000100111145432154321209780562091556415yyyyyyyyyy，得解718.53872.147693. 52052. 8051.27,718.5347847. 07857. 16667. 625111115432154321

31、20956561515441xxxxxxxxxx得再解 7.证明下列不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y; 证明证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y (2) 因为 x=(x-y)+yx-y+y 所以 x-yx-y ,同理可证 y-xx-y 于是有 |x-y|x-y . 8.设为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义xp= Px, 证明xp 也是一种向量范数. 证明证明 (1)xp=Px0, 而且Px=0Px=0 x=0 (3)x+yp=P(x+y)=Px+PyPx+Py=xp+yp (2)xp=P(x)=Px=|Px=|xp所以xp是一种向量范数. 9.

32、设A为对称正定矩阵,定义xA=AxxT ,证明A是一种向量范数. 证明证明 由Cholesky分解有A=LLT,所以xA)()(xLxLTTT=LTx2,由上题结果知xA是一向量范数. 10.对任意矩阵范数,求证: 证明证明 (1)因为A=AIAI ,所以I1. (2)1I=AA-1AA-1 ,故 11.证明: (1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1; (2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)=1/n,1和n分别为A的最大和最小特征值. 证明证明 (1)A正交,则ATA=AAT=I, Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A对称正定, ATA=A2, A2=1. A-12=

33、1/n.BABABAAAI11111)3(1)2(1) 1 (.11AA (3)A-1-B-1=A-1(B-A)B-1A-1B-1A-B 12.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中122111221)2(211111112) 1 (AA 解解 (1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为 ,0101021212121U)(LDB1212121212110000)(ULDG(B)= 25 ,(G)=1/2, 故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛. (2)类似可得(B)=0,(G)=2, 故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.13.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组30153

34、2128243220321321321xxxxxxxxxJ迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, x(1)-x(0)=2取初始近似x(0)=(0,0,0)T,问各需迭代多少次才能使误差x(k)-x*10-6. 解解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为 ,000511528181203101U)(LDB18001120019160178012031011000)(ULDGG-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x(1)-x(0)=2.11 B=1/3=0.33333 , G=1/4=0.25575.1233333. 0ln/10ln6kJ迭代法: ,取k=13. G

35、-S迭代法: 9658. 925. 0ln/10ln6k ,取k=10. 易得:(B)=|,(G)=2.故当|1时两种方法都收敛. 14.用J迭代法和G-S迭代法求解方程组Ax=b,其中11A问取何值时这两种迭代法是收敛的? 解解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为 00B200G易得:(B)=3|ab|/100,G-S迭代法收敛充要条件为|ab|1 ,(G)=31. 17.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.000121001210012100124321xxxx 解解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故当00, (1)=-sin10,故方程在0,1内有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以方程在0,1内