数学物理方程(很好的学习教材)

1、物理量物理量 u(Y,E,B,P)空间分布（空间分布（x,y,z）时间演化（时间演化（t）边界条件边界条件初始条件初始条件物理规律物理规律u(x,y,z,t)分析问题分析问题定解问题定解问题（确定系数）（确定系数）定界条件定界条件由牛顿第二定律由牛顿第二定律dxutt=T2sin2- T1sin10 = T2 cos2- T1 cos1微振动条件微振动条件cos1 = cos2= 1sin1 = tan1 = ux(x,t)sin2= tan2 = ux(x+dx,t)于是有于是有T2 =T1=Tuttdx=Tux(x+dx,t)-ux(x,t)化简后得到化简后得到 utt = T uxx u

2、tt = a2 uxxBCA12uxxdxa2 = T/)(),(zzyyxxttuuuTtzyxu，uatruuTtrutttt2),(),(zyxdxdydzodxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDdxdydzxqdydzqqxxxxdxxx222222:)(:)(0)(22222222DauaudxdydzzuyuxuDdxdydztut由能量守恒定律 c du=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut = -qx由热传导定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 ux

3、xa2 = k/(c)0022uauuautxxt三维：一维：fuaut2源的强度源的强度PoissonLaplacezyxfutzyxfuautzyxfuauttt有外界无外界稳定场方程：有外源无外源输运方程：有外力无外力波动方程：),(0),(0),(022作业：作业：P152 3,47.2 定解条件定解条件n方程 ut(t) = 0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？该怎么办？n方程 uxx(x) = 0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？该怎么办？n由此可归纳出n数学物理方程的通解含有任意常数，要完全确定这些常数需要附加条件。一、定解问题的提出一、定解问题的提出二、初始条件二、初始

4、条件n意义意义n反映系统的特定历史n分类分类n初始状态（位置），用 u |t=0 = (x,y,x)表示；n初始变化（速度），用 ut|t=0 = (x,y,z)表示。n典型例子典型例子n一维热传导n未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件n一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bnu |t=0 = a+(b-a)x/L初始条件初始条件n一维弦振动一维弦振动n未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件n初始位移初始位移n处于平衡位置： u|t=0 = 0n两端固定，在c点拉开距离h： u|t=0 = hx/c， 0 xc; u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，cxL;n初始速度初始速度n处于静止

5、状态： ut|t=0 = 0n在c点受冲量I： ut|t=0 = I(x-c)/三、边界条件三、边界条件n意义意义n反映特定环境对系统的影响n分类分类n按条件中未知函数及其导数的次数：n线性边界条件和非线性边界条件；n线性边界条件中n按给出的是函数值或导数值：n第一、二、三类边界条件；n按所给数值是否为零：n齐次边界条件和非齐次边界条件。),(),(),(),(000,000,000,000000000tzyxfnuHutzyxfnutzyxftzyxuzyxzyxzyx边界边界边界第三类边界条件：第二类边界条件：第一类边界条件：定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件第二类或者第三类

6、边界条件：第一类或者位移”和初始“速度”初始条件：包含初始“定解条件方程形式：fuautt2第二类或者第三类边界条件：第一类或者始时刻的值初始条件：物理量在初定解条件方程形式：fuaut2第二类或者第三类边界条件：第一类或者初始条件：不需要定解条件方程形式：fu边界条件举例边界条件举例n典型线性边界条件n一维弦振动一维弦振动n固定端 u |x=0 =0 n受力端 ux|x=0 = F/n一维杆振动一维杆振动n固定端 u |x=0 = 0n自由端 ux|x=0 = 0n受力端 ux|x=0 = F/YSn一维热传导一维热传导n恒温端 u |x=0 = a n绝热端 ux|x=0 = 0n吸热端

7、ux|x=0 = F/k注注 意意 事事 项项n注意区分边界条件与泛定方程中的外力或者外源。比如一维扩散问题中，在边界x=a上有粒子流注入，此时不能看做是有外源；n注意衔接条件。有些问题中存在跃变点，在跃变点处，泛定方程失去意义，需要考虑的问题是跃变点处的物理量是连续的；n注意隐含条件。比如泛定方程解得分母中含有自变量时，在x=0处是没有意义的，此时分母中含有自变量的解前面的系数应该取0 ；n注意没有边界条件的问题。一、科学分类方法一、科学分类方法7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类二、数学物理方程的一般分类二、数学物理方程的一般分类n一般分类一般分类n按自变量的个数，分为二元二元和多

8、元方程多元方程；n按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程线性微分方程和非线性微分方程非线性微分方程；n按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶一阶、二二阶阶和高阶微分方程高阶微分方程。n线性偏微分方程的分类线性偏微分方程的分类n按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数常系数和变系数变系数微分方程；n按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和非齐次方程。非齐次方程。0),(),(2111121321nknixkinjnixxkijnxxxfcuubuaxxxuniji式元二阶偏微分方程的形一般的例：l 如果aij是自变量的函数，则称为变系数微分方程； 如果aij与自变量无关，则称为常系数微分方

9、程；l 如果k1=k2=k3=1(or 0)，且k1，k2中至少有一个的值为1， 称为线性微分方程；如果k1，k2，k3中至少有一个的值 不等于1和0，则称为非线性微分方程；l 如果f=0，则称为齐次微分方程；如果f0，则称为非 齐次微分方程。02yyyxyxxcuauauau062yxxyxxuuyuuyuuuyxyxxsin5202yyxyxxxuuuuuuuyyxyxxsin23判断：判断：推导过程推导过程n关于自变量 x，y的二阶线性偏微分方程（系数都是x，y的函数）0221221211fcuububuauauayxyyxyxx作自变量代换),(),(),(),(yxyxyyxxyyy

10、yyyyyyyxyxyyxxyxxyxxyxxxxxxxxxxyyyxxxuuuuuuuuuuuuuuuuuuanduuuuuu22222)(20221221211FCuuBuBuAuAuAfFcCbbaaaBbbaaaBaaaAaaaAaaaAyxyyxyxxyxyyxyxxyyxxxyxyyxxxyyxx2122121122122121112221221122221211122221221111222)(2于是，方程化为：n取特解做新的自变量，使A11和A22为零，方程可以简化。特解满足的方程为：0)(2)(02221221122212211azzazzazazzazayxyxyyxx把z

11、(x,y)=常数当做定义隐函数y(x)的方程，则dy/dx = -zx/zy，于是得到二阶线性偏微分方程的特征方程：0)(2)(2212211adxdyadxdya三、叠加原理三、叠加原理n原理原理：n线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程n如：L u1 = f1n L u2 = f2n则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2n应用应用：n齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；n非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；n两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自

12、由项的同样组合。7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 定解问题定解问题n定解问题的求解思路定解问题的求解思路n原则：由已知猜未知n方法：类比法n步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。n泛定方程的求解泛定方程的求解n达朗贝尔公式的推导达朗贝尔公式的推导n达朗贝尔公式的应用达朗贝尔公式的应用一、泛定方程的求解一、泛定方程的求解n常微分方程常微分方程n方程方程：u = 2a x n通解：u = a x2 + Cn偏微分方程偏微分方程n方程方程：ux = 2y x n通解：u = y x2 + C(y)n二阶方程二阶方程：uxy = 0n对y偏积分： ux = C(x)n通解： u = C(x) dx +

13、 D(y) = f(x) + g(y) 二、达朗贝尔二、达朗贝尔(D Alembert )公式公式n以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式以均匀弦的横振动为例来推导达朗贝尔公式xuauxxtt, 02方程形式：方程形式：定解条件：定解条件：无界，不存在边界条件边界条件：初始条件：)(),(00 xuxuttt推导步骤：推导步骤： 1）由方程求通解2）由初始条件确定通解中的待定系数1）达朗贝尔公式的推导（求通解）达朗贝尔公式的推导（求通解）0022222uxatxatuxat示为：波动方程的形式可以表xtaxxttxtaxxtt21212121于是：atxatxatx即作变换：)(21)(210

14、2u是任意函数。其中，偏积分得：对)()(ffu)()()()()()(21212atxfatxffffdfu偏积分得：再对下波动方程的形式。就是在变换txaau1102通解的物理意义：以速度通解的物理意义：以速度a沿沿x轴正负方向移动的行波。轴正负方向移动的行波。负方向移动的行波沿正方向移动的行波沿xatxfxatxf: )(: )(21达朗贝尔公式的推导（求特解）达朗贝尔公式的推导（求特解）)()( )( )()()(2121xxafxafxxfxf由初始条件得：xaxadxxfdxxf)()()()()()(2121221211由此解得：atxatxadatxatxxu)()()()(2

15、121代入通解得：xadxfxf)()()(121对第二式积分：确定。由初始条件：通解中的任意函数可以)()(),(00 xxuxuttt达朗贝尔公式达朗贝尔公式2）达朗贝尔公式的物理意义）达朗贝尔公式的物理意义n若初始条件为：若初始条件为：0)(22, 022),cos()(xxxxxx或)(21)(21),(atxatxtxu则达朗贝尔公式给出：初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度初始位移分为两半，分别向左右两个方向以速度a移动。移动。这两个行波的和给出各个时刻的波形这两个行波的和给出各个时刻的波形n若初始条件为：若初始条件为：),(, 0),(,)(0)(21210 xxxxxxx

16、x常数)()()(21)(21),(atxatxdadatxuatxatx达朗贝尔公式给出：atxatxxxxxaxxxxxaxxdax20221011,)(21)(,)(21)(, 0)(21)(这里：3）达朗贝尔公式的应用）达朗贝尔公式的应用)0(),(|),(|0|0, 00002xxuxuuxuautttxxxtt问题附加边界条件后的定解a) 半无限长弦的自由振动：半无限长弦的自由振动：初始条件只是在x0才有意义，在x0的区域上弦并不存在。因此，若时间增加到x-at0，达朗贝尔公式中(x-at)和积分项就失去了意义，公式也不能应用了。|)(|)sgn(|),(|)sgn(|, 0002

17、xxuxxuxuautttxxtt方法方法：把半无限长弦当做无限长弦的x0的部分。无限长弦在振动过程中，点x=0保持不动。因此，无限长弦的位移u(x,t)应当是奇函数，初始位移和初始速度也都是必须是奇函数，)0()()0()()()0()()0()()(xxxxxxxxxx这样，通过奇“延拓”的方式，把方程和初始条件从半无界区间延拓到整个无界区间现在就可以应用达朗贝尔公式进行求解。和无界区间的解相比，端点的影响表现为反射波反射波，即存在半波损失半波损失。b) 无限长自由振动无限长自由振动222|,|, 0002xttxtxxttaxeueuxuauatxatxsaatxatxdsaseeexu

18、2222)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222atxatxsatxatxeee22221)()(212)(atxe-224680.81-224680.81-224680.81-224680.81-224680.81c) 边界条件举例边界条件举例n任意给定初始条件 u|t=0 = 2 exp(-x2), ut|t=0 = 0n附加边界条件1.u|x=0 = 02.ux|x=0 = 03.u|x=0 = u04.u|x

19、=0 = 0, u|x=L = 05.三、定解问题是一个整体三、定解问题是一个整体 一般情况下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考虑定解条件，必须同时考虑这两方面。四、定解问题的适定性四、定解问题的适定性 1）有解 2）解是唯一的 3）解是稳定的？本本章章小小结结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性 演化方程 稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题n先求泛定方程的通解的方法只适用于很少数的某些定解问题。n是否存在一种基本的解法适用于大量的各种各样的定解问题呢？n能否把偏微分方程变换成常微分方程，再求解呢？Chap.8 分

20、离变数法分离变数法n齐次方程的分离变数法n非齐次问题的求解n非齐次边界条件的处理n泊松方程n本章小结8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法一、分离变数法介绍一、分离变数法介绍)0()(),(|0|, 0|00002LxxuxuuuuautttLxxxxtt两个固定的端点会引起波的反射，从而在(0,L)之间存在两列反向进行的同频率的波形成驻波。波腹波腹波节波节n驻波的特点驻波的特点：驻波没有形成波形传播，相邻波节之间各点振动相位相同，表示为T(t)，但是这些点的振幅却随位置的变化而变化，振幅随位置的变化可以表示为X(x)。n于是，驻波的一般表示式具有分离变数的形式：)()(),(tTx

21、Xtxu把驻波的分离变数的形式代入振动方程和边界条件中 0)()(0)()0(02tTLXtTXTXaTX1） 定解问题的分离变数定解问题的分离变数n 未知函数分离：)()(),(tTxXtxu0)()0(0)()()()0(LXXtTLXtTX XXTaTTXaTX022n 泛定方程分离：n 边界条件分离：n 分离结果：00)()0(02 TaTLXXXX00000)(021212121uCCeCeCCCeCeCxXLLxx由边界条件：，方程的解：222212121), 2 , 1(0sin00sin0sincos)(0LnnnLLCCLCCxCxCxX由边界条件：，方程的解：0)()0(0

22、LXXXXn 空间方程：空间方程：00000)(02121221uCCCLCCCxCxX由边界条件：，方程的解：构成所谓本征值问题称为本征函数；征值；取特定的正数，称为本 )()0(0,sin)(:2LXXXXLxnCxXLatnBLatnAtTTLnaTsincos)(02222 n 时间方程：时间方程：), 2 , 1(sinsincossinsincos),(2nLxnLatnBLatnALxnCLatnBLatnAtxunnnnlnltxulxnnnknklxn/2/0),(0)/sin(1), 2 , 1 , 0(/所以波长，相邻节点间隔为这些点就是驻波的节点个点上，共在1sinsi

23、ncos),()3/21)2/2, 0, 1, 01) 1nnnLxnLatnBLatnAtxuLannLnnnLaLLxkn一般解边界条件的加就是满足波动方程和所有各次谐波的线性叠，角频率为次谐波的波长为次谐波，时，各个驻波分别称为，这个驻波称为基波角频率，振动的波长为节点有两个：时，：讨论3）系数的确定）系数的确定n把方程的一般解代入到初始条件中，)0()(sin)(sin11LxxLxnLanBxLxnAnnnnn上两式的左边是傅里叶正弦级数，把右边的函数展开为傅里叶正弦级数，比较两边的系数就可以确定An和BnLnnLnndLnananLBdLnLA00sin)(2sin)(2傅里叶系数

24、傅里叶系数分离变量过程小结分离变量过程小结偏微分偏微分方方 程程分离变数本征值方程1 解1常微分方程2 解2解1解2线性 组合所求解所求解初始条件确定系数分离变数法（傅里叶级数法）分离变数法（傅里叶级数法）n我们以两端固定的均匀弦的自由振动为例介绍了分离变数法的基本思想和求解过程。n用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数。在实际的问题中，级数里常常只有前若干项比较重要，后面的项则迅速减小，从而可以略去。二、典型问题的求解（波动方程）二、典型问题的求解（波动方程）n 例题例题1：两端自由的棒的纵振动：两端自由的棒的纵振动初始条件第二类边界条件)0()(),(0, 000002lxxuxuu

25、uuautttlxxxxxxtt00)()0(00)()()()0(0)()(),(22 TaTandlXXXXtTlXtTXTXaTXtTxXtxu分离变数的试探解：l 写出定解问题的方程：写出定解问题的方程：l 分离变数：分离变数：l 求解本征值问题：求解本征值问题： 0)()0(0lXXXX)()(0)(00)(000000为任意常数由边界条件得，解为，得到无意义的平凡解CCxXDxDCxXxXlxnCxXnlnClClCCxCxCxXcos)(), 2 , 1(00)cossin(0sincos)(01222221221定：积分常数由边界条件确，方程的解为：), 2 , 1 , 0(c

26、os)(), 2 , 1 , 0(001222nxlnCxXnln征函数合在一起：两种情况的本征值和本和把 ), 2 , 1(sincos)()()0(0000002222ntlanBtlanAtTtBAtTnTlanTTnnn其解为：时，时间方程为当100000cossincos),(), 2 , 1(cossincos),(),(nnnnnnxlntlanBtlanAtBAtxunxlntlanBtlanAtxutBAtxu是方程的一般解：所有本征函数的叠加就解，得到本征振动由本征函数和时间演化l 求解时间方程：求解时间方程：l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：，得，然后比

27、较两边的系数展开为傅里叶余弦级数和把右边的)()()0()(cos)(cos1010 xxlxxxlnBlanBxxlnAAnnnnlnlnlldlnanBdlnlAanddlBdlA000000cos)(2cos)(2)(1)(1两端自由。存在整体移动是因为杆真正描写杆的纵振动。，其余部分才是描写的是杆的整体移动一般解中，：讨论tBA00三、典型问题的求解（输运方程）三、典型问题的求解（输运方程）n例题例题2：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零：研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为度，另一端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端温，杆上温度梯度均匀，零度的一端

28、温度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。度保持不变，另一端绝热，求杆上温度的变化。00)( )0(0)()(),(2TaTandlXXXXtTxXtxul 分离变量：分离变量：l 分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。分析：一端为第一类齐次、另一端为第二类齐次边界。)0(/|0|, 0|/, 000022lxlxuuuuckauautlxxxxxtl 定解方程：定解方程：xlkCxXklklXXXX2) 12(sin)(), 2 , 1 , 0(4) 12(00)( )0(0*2222本征函数：本征值：解：时，方程存在有意义的当本征值方程：l 方程求解：方程求解：22224)12

29、(2222)(04) 12(ltakCetTTlkaT其解为：时间方程：只能是奇数。则限制了正整数条件是正整数，第二类边界，其中条件决定了本征函数是，两个第一类边界增加了上。延拓后，边界条件间偶延拓到区从区间表明，应当把导热细杆边界条件。界条件的又不同于第二类齐次边，界条件的既不同于第一类齐次边本征函数：讨论nnlxnulllulxnlxnlxklxlxx2sin0)2 ,(), 0(0cossin2) 12(sin204)12(2) 12(sin),(2222kltakklxkeCtxu形式为：这样，方程的一般解的l 代入初始条件，确定系数：代入初始条件，确定系数：)0(2) 12(sin0

30、0lxxlulxkCkk22000) 12(8) 1(2) 12(sin2kludlklulCklk较系数得叶正弦级数的形式，比把等式右边展开为傅里04)12(2202) 12(sin) 12(4) 1(2),(2222ktlakklxkekutxu具体形式为：于是，方程的一般解的温度分布。却不能反推早先时刻的，算以后时刻的温度分布所以可以从某个时刻推趋于同一个平衡状态，分布是怎样的，总是件相同，不管初始温度状态，而且只要边界条于某种平衡为杆上温度分布总是趋发散，无意义。这是因从而的增大而急剧增大，随），则如果考虑早先的时刻（：讨论),(022224)12(txuketltaklxeutxuk

31、kaltttxukettlaltak2sin8),(%100/18. 0),(02222222420224)12(，的项，其误差不超过的项而略去只保留时，可以越大，收敛得越快。当收敛得很快，从而而的增大而急剧减小，从随），则对于以后的时刻（），（温度分布不同时刻铁杆上的温度1576. 011000amlu），（上的温度分布时，铁杆、铝杆和铜杆3425. 03244. 01576. 01100200CuAlFeaaamlus思思 考考 题题n如何求解第三类边界条件的波动问题和输运问题？)0(|,|)0(|,|0320100byuuuuaxuuuuuubyyaxxyyxxn如何用分离变数法求解稳定

32、场问题？)(|),(|0|,0|0,000002xuxuhuuhuuLxuautttlxxlxxxxxxtt四、稳定场问题的分离变数法四、稳定场问题的分离变数法n拉普拉斯方程拉普拉斯方程n矩形区域问题n圆形区域问题1 1）拉普拉斯方程（矩形区域）拉普拉斯方程（矩形区域）n例题例题3：散热片的横截面为矩形，它的一边y=b处于较高的温度U，其它三边y=0，x=0和x=a处于冷却介质中因而保持较低的温度u0，求解横截面上的稳定温度分布u(x,y)。0abyxUu0u0u0)0(|,|)0(|,|000000byUuuuaxuuuuuubyyaxxyyxxl 定解问题定解问题l分析分析：这是二维拉普拉

33、斯方程的第一类边值问题。边界条件不可能全部是齐次的，通常的做法是把一些边界条件化为齐次。条件，且各有一组齐次边界分别满足拉普拉斯方程和其中令：),(),(),(),(),(yxwyxvyxwyxvyxuUwuwwwwwvvuvuvvvbyyaxxyyxxbyyaxxyyxx,0, 000, 0,00000000把v和w满足的泛定方程和边界条件分别叠加起来就是u满足的方程和边界条件。因此分别求v和w的方程就可以得到未知函数u的解。l 根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：根据本例的实际情况，有一个特殊的简单方法：00000, 000),(),(),(),(uUvvvvvvyxvyxvuyxv

34、uyxubyyaxxyyxx满足的定解方程为：的零点，作为新温标相当于把原来的令：可以用分离变数法求解，只需要把关于可以用分离变数法求解，只需要把关于y的的边界条件看做是分离变数法中的初始条件边界条件看做是分离变数法中的初始条件的地位。的地位。00)(, 0)0(0)()(),( YYandaXXXXyYxXyxvaxnCxXnansin)(), 3 , 2 , 1(222本征函数：本征值：yanyanBeAeyYYanY )(02221sin)(),(naynnaynnxaneBeAyxv011sin)(0sin)(uUxaneBeAxanBAnabnnabnnnnn为奇数）（为偶数为奇数）

35、（为偶数：弦级数，比较系数，得把右边展开为傅里叶正neenuUnBAnuUnneBeABAabnabnnnabnnabnnnn)()(4)(0)(4)(0000000) 12(sin) 12() 12(121)(4),(kaxkabkshaykshkuUuyxu2 2）拉普拉斯方程（圆形区域）拉普拉斯方程（圆形区域）n例题例题3：匀强电场中，有半径为a，电势为零的圆柱导体，求导体外的稳定的电势分布。)(cos|, 0|011022222aEuuuuual 定解问题（极坐标下）定解问题（极坐标下）l 分析：分析：导体外的电势具有轴对称性，做垂直导体 线方向的横截面，则可以在极坐标下研究问题。oa

36、El 分离变数：分离变数：)()2(),()2,(00)()(),(2 uuRRRRu注意：)0(sincos)0()(), 2 , 1 , 0(2mmBmAmAmml 求解本征值问题：求解本征值问题：l 求解径向方程：求解径向方程：)0()0(ln)(0ln02222222mDCmDCRRmdtRdtRmddRdRdmm其解为：做代换l 方程的一般解：方程的一般解：1100)sincos()sincos(ln),(mmmmmmmmmDmCmBmADCu)0(0),1(0) 1(0, 00,cos)sincos()2,ln0, 0, 0ln0)sincos()sincos(ln) 120211

37、101012200001100mDmCaEaACmBABEAEmBmAaBDaACaDCDaBaCaAaaDCmDmCamBmAaaDCmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmml 带入边界条件，带入边界条件， 确定系数：确定系数：coscosln),(2000aEEaDucoscosln),(2000aEEaDu：各项的物理意义讨论导体带电荷导体带电荷产生的电势产生的电势原匀强电场原匀强电场导体对周围导体对周围电场的影响电场的影响8.2 非齐次振动方程和输运方程非齐次振动方程和输运方程一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法n 分离变数法的结果显示，方程的解可以展开为 傅里叶级数，

38、傅里叶级数的形式决定于边界条件。n 对于非齐次振动方程和输运方程，如果边界条件 依然是齐次的，可以先把所求的解展开为傅里叶 级数，级数的形式取决于该问题齐次方程在所给 定的齐次边界条件下的本征函数。nnnxXtTtxu)()(),(n 傅里叶级数的系数是时间t的函数。)0()(),(0, 0sincos0002lxxuxuuutlxAuautttlxxxxxxtt), 3 , 2 , 1 , 0(cosnlxn数是齐次边界条件的本征函对应的齐次方程第二类齐次的。程，边界条件是第二类这是一个非齐次振动方：分析tlxAlxnTlanTnnnsincoscos*02222 程中，把试探解代入到泛定方

39、) 1(0,sin)(222212221nTlanTtATlaTtTnnn的常微分方程，数的系数，分离出比较两边傅里叶余弦级0cos)(),(nnlxntTtxu叶余弦级数的形式：试探解可以表示为傅里)0(cos)(2)0(cos)(2)0()(1)0()(1)0(00000000ndlnlTdlnlTdlTdlTlnnlnnll，实现了初始条件的分离个傅里叶系数。傅里叶余弦级数的分别是其中，件中，把试探解代入到初始条nxxxlnxxlnTxlnxxlnTnnnnnnnnnn)(),(,cos)(cos)0(cos)(cos)0(0000) 1 , 0(sincos)(sincossinsin

40、/1)()()(1122221000nlatnanllatntTlatallattlalatlaaAltTttTxTnnnn的初始条件下的解为，的常微分方程在分离后1222200210cossincoscossinsin/1cos)(cos)()(),(nnnnnlxnlatnanllatnlxtlalatlaaAltlxntTlxtTtTtxu所求的解为，二、冲量定理法二、冲量定理法n对于非齐次泛定方程，如果边界条件和初始条件都是齐次的，则可以用冲量定理法进行求解。n如果初始条件是非齐次的，可以转化为齐次后，再运用冲量定理求解。0, 00, 0),()(),(0, 00),(),(),()(

41、),(0, 0),(02022022220101101121210002tttlxxxxtttttlxxxxtttttlxxxxttuuuutxfuauxuxuuuuautxutxutxuxuxuuutxfuau冲量定理法的物理思想冲量定理法的物理思想n冲量定理法的基本物理思想是把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力，把持续作用引起的振动看作所有“瞬时”力引起的振动的叠加。的瞬时力上而冲量为间为作用在很短的时间区其中，dxFddtxFdtxfdtxFtxFtt),(),()(),()(),()(),(),(00n“瞬时”力引起的振动记为u()(x,t)，其定解问题为：0, 00, 0)(

42、),()(),(0)(0)()(0)()(2)(tttlxxxxttuuuudtxfdtxFuau(1)dxfuddxFudddddtxFdttdt),(),(00),()(),()()(速度不为零，导致在时刻时冲量，而瞬位移依然为零，刻不及”位移，因此在时很短，弦上各点还“来结束，由于力开始作用，至时刻，该瞬时然是静止的，时刻，它尚未起作用，弦仍时刻直到上，从零作用的时间区间为由于瞬时力问题变成，定解用过了，弦上不受外力，由于该瞬时力已经作以后引起的振动在时刻时力作为初始时刻，考察瞬如果改时刻),()(),()(txuddtxFddxfuuuuuaudttdtlxxxxtt),(, 00,

43、00)()()(0)()(2)(2)定解问题（定解问题（1）和（）和（2）是等价的。）是等价的。n从定解问题（2）的初始条件可以看出，u()必含有因子d，因此可以令： u()(x,t) = v(x,t,)d，则定解问题变为，),(, 00, 0002xfvvvvvavtttlxxxxttn现在可以用分离变数法或者傅里叶级数法莱求解这个定解问题，唯一要注意的问题是，前面讲的两种方法的初始时刻是零，这里的初始时刻为，因此前两种方法解中的t，在这里应该换成t-。n原定解问题的解应该是所有瞬时力引起的振动的叠加，ttdtxvtxutxu00)(), ,(),(),(例题例题2：求解定解问题)0(0,

44、00, 0sincos0002lxuuuutlxAuautttlxxxxxxtt解：应用冲量定理，先求解)0(sincos, 00, 000002lxlxAvvvvvavtttlxxxxxxttn参照边界条件，把v展开为傅里叶余弦级数0cos),(),(nnlxntTtxvn代入泛定方程，分离出Tn的常微分方程00cos222202222nnnnnTlanTlxnTlanTnTn的解是)0()(sin)()(cos)(),()()(),(000nltanBltanAtTtBAtTnnn100cos)(sin)()(cos)()()(),(nnnlxnltanBltanAtBAtxvnv的解为n

45、系数由初始条件确定sincoscos)()(0cos)()(1010lxAlxnlanBBlxnAAnnnnn比较两边系数，得比较两边系数，得) 1(0)(,sin)(0)(1nBalABAnnnv的解最终为的解最终为lxltaalAtxvcos)(sinsin),(n所求的解为所求的解为lxtlatlalaaAldltalxaAldtxvtxuttcossinsin/1)(sinsincos),(),(222200回顾：非齐次方程的求解回顾：非齐次方程的求解n傅里叶级数法傅里叶级数法nnnxXtTtxu)()(),(试探解：对应齐次方程齐次边对应齐次方程齐次边界条件的本征函数族界条件的本征函

46、数族分离出关于分离出关于T的的方程和初始条件方程和初始条件n冲量定理法冲量定理法0, 00, 0),(0002tttlxxxxttuuuutxfuau),(, 00, 0002xfvvvvvavtttlxxxxttttdtxvtxutxu00)(), ,(),(),(例题例题3：求解定解问题：求解定解问题0|0|, 0|)0(,sin002tlxxxxxtuuulxtAuaun 解法解法1：（傅里叶级数法）：（傅里叶级数法）02) 12(sin)(),(unnxlntTtx令：tAlxnTlanTnnnsin2) 12(sin4) 12(02222定方程中，把这个试探解代入到泛) 12(sin

47、42) 12(sinsin24) 12(02222ntAdlntAlTlanTlnn得：叶正弦级数，比较系数把方程右边展开为傅里0)0(nT件中，得：把试探解代入到初始条tlannettlanlanAtT22224)12(222224445cossin4) 12(/) 12(322)(解关于解关于T的常微分方程，得：的常微分方程，得：最后得到所求的解：最后得到所求的解：tlannettlanlanlxnAtxu22224)12(2222244450cossin4) 12(/) 12(322) 12(sin2),(n解法解法2：（冲量定理法）：（冲量定理法）sin|0|, 0|)0(, 0002

48、Auuulxuautlxxxxxttdtxvtxu0),(),(首先，令：则原定解问题变为求解则原定解问题变为求解v的定解问题：的定解问题：运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，运用分离变量法或者傅里叶级数法均可求解，最后，得到与解法一相同的结果。（过程略）最后，得到与解法一相同的结果。（过程略）8.3 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理n运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求运用分离变数法、傅里叶级数法或冲量定理法求解的定解问题只是解的定解问题只是齐次边界条件问题齐次边界条件问题。n在实际问题中，常常有在实际问题中，常常有非齐次边界条件非齐次边界条件出现，这出现，这样的问题又如何

49、求解呢？能不能运用我们学过的样的问题又如何求解呢？能不能运用我们学过的这几个方法求解呢？这几个方法求解呢？n方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转方法：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进化为另一个未知函数的齐次边界条件问题，再进行求解。行求解。n例题例题1：求解定解问题)(),(|)(|),(|)0(, 00002xuxututulxuautttlxxxxtt选取一个函数v(x,t)，使其满足非齐次边界条件，不妨取v(x,t)为x的线性函数，即)()()(),()()()()(),(txltttxvtBtAtBxtAtxv，于是，和去，得到把它代

50、入到边界条件中满足的定解问题为则得到函数代入到定解问题中去，利用叠加原理，令),(),(),(),(txwtxwtxvtxu)0()0()0()()()0()0()0()()(0, 0)()()(0000022 lxxvxwlxxvxwwwtttlxvavwawttttttlxxxxttxxttl 尽管这个定解问题的泛定方程是非齐次的，但边界条件 是齐次的。因此可以利用傅里叶级数法求解。l 如果是第二类非齐次边界条件，则v(x,t)的形式可以设为xtBxtAtxv)()(),(2n例题例题2：弦的x=0端固定，x=l端受迫做谐振动 Asint，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。0, 0

51、|sin|, 0|)0(, 00002tttlxxxxttuutAuulxuau定解问题为：更简单的方法呢？求解比较麻烦，有没有，泛定方程变成非齐次的但是，这样做的结果使级数法求解。的，可以利用傅里叶，则边界条件变成齐次一般地，取：分析tlxAvavwawxltAtxvxxttxxttsin)()/sin(),(222txXtxvsin)(),(代入到定解问题中去，可分离出关于X(x)的方程和定解条件， AlXXXaX)(, 0)0(022求解这个常微分方程的定解问题，最后可以得到特解v为taxalAtxvsinsinsin),(的定解问题为：，得到，代入到原定解问题中于是令),(),(),(

52、),(txwtxwtxvtxualaxAwwwwvavwawtttlxxxxttxxtt/sin/sin, 00, 00)(00022这个定解问题是齐次方程、齐次边界条件，可用分离变数法求解，其解为：xlntlanBtlanAtxwnnnsinsincos),(1222220/12) 1(sin)/sin()/sin(20*lnaalAdlnalaAanBABAnlnnnn可由初始条件得到：和其中系数最后，所求的解为：最后，所求的解为：122222sinsin/12sin)/sin()/sin(),(),(),(nlxnlatnlnaalAtalaxAtxwtxvtxu回顾拉普拉斯方程的求解回

53、顾拉普拉斯方程的求解n矩形区域矩形区域000, 000uUuuuuuubyyaxxyyxxxaneBeAyxunaynnaynnsin)(),(1n圆形区域圆形区域)(, 0|01122222auuuua1100)sincos()sincos(ln),(mmmmmmmmmDmCmBmADCu8.4 泊松方程泊松方程n泊松方程是有外源的稳定场方程，它的形式为：),(zyxfu n由于泊松方程与时间无关，显然不能用冲量定理来求解。n求解的思路是：采用特解法，即先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令u=v+w，把问题转化为求w，而w满足拉普拉斯方程。cuyxbau0)(1220问题上求解泊

54、松方程的边值：在圆域例2cos124)(124)(12)(4)12/(,)12/()2/(,)2/(42222224422242422bayxyxbayxbyxavbybybxbxaayaax：程的一个特解可以取为因此，满足泛定泊松方解，先设法找方程的一个特程。根据外源的特点，这是一个二维的泊松方：分析),(2cos124),(),(),(42wbawvu 令：2cos1240420bacwww的定解问题，为条件中，就把问题转化代入到泊松方程和边界1100)sincos()sincos(ln),(mmmmmmmmmDmCmBmADCw* 在极坐标中运用分离变数法求解拉普拉斯方程在极坐标中运用分

55、离变数法求解拉普拉斯方程 可以得到一般解：可以得到一般解：0, 0, 0ln0mmmCDDww，即无限大，所以应当排除在圆心为和的一般解中，但在圆内部应当处处有限：讨论0)sincos(),(mmmmmBmAww的一般解可以表示为：于是，0),2, 0(012,42cos124)sincos(202200402000mmmmmmBmAbAacAbacmBmA比较两边系数得到：代入边界条件，有2cos)(12)(42022202bacwvu所求的解为：0, 00, 020,02002byyaxxuuuuubyax问题上求解泊松方程的边值：在矩形域例)(),(0,21212xaxyxvvcaccx

56、cxvv为，因此特解件有，方程，根据齐次边界条满足泛定，显然解先找泊松方程的一个特解：)(),(0, 00)(),(00axxwaxxwwwwwwxaxwvyxubyyaxx的定解问题：则定解问题转化为令：这是一个拉普拉斯方程的定解问题，可以利用分离变数法求解。1sin)(),(naynnaynnaxneBeAyxww的一般解为次边界条件的满足拉普拉斯方程和齐13321332) 12(sin2/) 12cosh() 12(/ )2/() 12cosh(8)(),(),(),() 12(sin2/) 12cosh() 12(/ )2/() 12cosh(8),(kkaxkabkkabykaxax

57、yxwyxvyxuaxkabkkabykayxww的解为中，确定系数，最后代入到非齐次边界条件本章小结本章小结n基本方法n齐次问题：分离变量法；n非齐次问题：特解法。n常用本征方程n齐次边界条件n第一类齐次边界条件n第二类齐次边界条件n第三类齐次边界条件In第三类齐次边界条件IIn自然边界条件n周期性边界条件n有界性边界条件xwXkLkwwLXXXXkksin, 2 , 1,/,0)()0(0 2xwXkLkwwLXXXXkksin, 2 , 1 , 0,/)(,0)( ) 0 (0 212xwXkLkwwLXXXXkkcos, 2 , 1 , 0,/)(,0)() 0 ( 0 212xwXk

58、LkwwLXXXXkkcos, 2 , 1 , 0,/,0)( )0( 0 2mxBmxAXmmxXxXXXmmmsincos, 2 , 1 , 0,)2()(0 2Chap. 10 球函数球函数轴对称球函数轴对称球函数n 连带勒让德函数连带勒让德函数n 一般的球函数一般的球函数n 本章小结本章小结n球坐标系下的拉普拉斯方程球坐标系下的拉普拉斯方程0sin1sinsin112222222ururrurrrn球坐标系球坐标系cossinsincossinrzryrx直角坐标与球坐标：n球坐标系下拉普拉斯方程的求解球坐标系下拉普拉斯方程的求解)()(),()(),(YrRYrRru探解表示为：运用

59、分离变数法，把试0) 1(sin1sinsin10) 1(2222YllYYRlldrdRrdrd和角度部分的方程到径向系拉普拉斯方程中，得把试探解代入到球坐标球函数方程球函数方程欧拉型常欧拉型常微分方程微分方程11)(llrDCrrRn球函数方程的求解球函数方程的求解0sin) 1(sinsin0)()(),(*2 llddddY得到：分离变数对球函数方程继续进行 mBmAmmsincos)(), 2 , 1 , 0()()2(0*2值和本征函数为：构成本征值问题，本征结合周期性边界条件方程。阶勒让德方程情况下，称为，在，其中阶连带勒让德方程称为的方程可以表示为关于lmxlxmlldxdxd

60、xdx0cos01) 1(2)1 (*2222210.1 轴对称球函数轴对称球函数0) 1(2)1 (222lldxdxdxdx在在m=0情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程情况下，连带勒让德方程简化为勒让德方程勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）勒让德方程结合自然边界条件（在球坐标系的极轴上有限）构成本征值问题，定解称为勒让德多项式构成本征值问题，定解称为勒让德多项式)(2/ ) 1()(2/2/2/2/)!2()!( !2)!22() 1()(2/02loddllevenllllxklklkklxPlkkllkl的最大整数，表示不超过其中记号一、勒让德多项式的性质一、勒让