数值分析 引论

1、 计算方法计算方法 郑海标郑海标数学学院数学学院Email：n计算的目的不在于数据，而在于洞察事物计算的目的不在于数据，而在于洞察事物。 理查德理查德哈明哈明nThe purpose of computing is insight，not numbers. Richard Wesley Hamming理论分析理论分析 科学实验科学实验 科学计算科学计算计算方法课程简介计算方法课程简介n教材教材 数值计算数值计算方法方法 李乃成李乃成 邓建中编邓建中编n参考书目参考书目 数值计算数值计算方法方法 冯康等编冯康等编 数值数值分析简明教程分析简明教程 王能超编王能超编 Numerical Analy

2、sis (Seventh Edition) 数值分析数值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）（高等教育出版社）计算方法学什么？计算方法=数值分析=科学计算n计算方法n数值逼近n数值代数或者矩阵计算n微分方程数值解法n非线性数值解法 成绩的评定方法n期末考试：70% 闭卷n平时成绩：30%=10%平时 +20%上机n上机： 周四 7：00-10:30 理科楼二楼西侧机房 考试： 暂定十月底十一月初第一讲第一讲 引论引论引论n数值计算的研究内容n误差与有效数字n数值算法设计要点1 1、数值计

3、算的研究内容、数值计算的研究内容研究过程 （理论上有解，而无求解公式或计算（理论上有解，而无求解公式或计算量过大难以用手工实现的数学问题）量过大难以用手工实现的数学问题）实际问题数学模型数值分析理论程序设计上机计算重点内容重点内容研究并求解数学问题的研究并求解数学问题的数值（近似）解的方法数值（近似）解的方法地球外部大气流动模型地球外部大气流动模型飞机外形优化设计问题飞机外形优化设计问题研究内容n线性方程组的直接法n插值方法n数值积分n常微分方程的差分方法n方程求根的迭代法n线性方程组的迭代法数值分析课程的期望n掌握各种解决数学问题的数值方法n对近似解进行评估n在计算机上实现求解n仿真模拟2

4、2、误差与有效数字、误差与有效数字误差无处不在防不胜防误差无处不在防不胜防例例 (病态问题)（系数保留小数点后4位,再精确计算）x1=x2=x3=1 x1=1.1788, x2= 0.0006, x3= 1.9658. 病态问题病态问题:失之毫厘谬之千里12312312349321949 36440360336310614144107202137693739401036003600 xxxxxxxxx1231231231.36110.75000.52502.63610.75000.43600.30001.47360.52500.30000.21361.0386xxxxxxxxxa. 误差来源与

5、分类误差来源与分类 从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 求求(数学表达的数学表达的)近似解近似解 方法误差方法误差 (截断误差截断误差) 模型的准确解模型的准确解与用与用数值方法求得的准确解数值方法求得的准确解之差称为之差称为“截断误差截断误差”。 机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差（理论计算误差）（理论计算误差）模型误差 ( Modeling Error )n处理实际问题时，要建立数学模型，通常模处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只是近似的。由此产生的型只是近似的。由此产

6、生的数学模型解数学模型解与与实实际问题的解际问题的解 之间的误差叫之间的误差叫模型误差模型误差。n例如例如 是是实际问题的解，而若数学模型的解是实际问题的解，而若数学模型的解是 由此由此产生的误差叫作模型误差。产生的误差叫作模型误差。8656sin,010yxxx656,010 ,yxx观测误差 ( Measurement Error )n数学模型中包含某些变量，如时间、长度、数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压等，它们一般是通过观测来获得。由于电压等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到的数据与实际数据之间有误差，这观测得到的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫种误差叫观测误差观测误

7、差。截断误差 ( Truncation Error)n求解数学模型所用的数值计算方法，如果是求解数学模型所用的数值计算方法，如果是一种近似的方法，只能得到模型的近似解，一种近似的方法，只能得到模型的近似解，由此产生的误差称为由此产生的误差称为 截断误差截断误差 或或 方法误差方法误差。71513114,9171513114舍入误差 ( Roundoff Error )n由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误差叫舍入误差舍入误差 或 计算误差计算误差。n例如，在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有1 3 0.333

8、333 3, (1.000 002)2 1.000 004 0;后者的准确结果是 4 1012。dxex 102 近近似似计计算算: :例例解法之一解法之一：将将 作作Taylor展开后再积分展开后再积分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4dxex 102 近近似似计计算算: :例例,104 Sdxe2x取取则则 111!5191!414R称为称为截断误差截断误差 ( Truncation Error ).005091!414.R 这这里里7430024010333014211013114.S 0010200050. |

9、舍入误差舍入误差 ( Roundoff Error ) |006000100050102.dxe-x 的的总总体体误误差差计计算算= 0.747 由截掉部分引由截掉部分引起起( excluded terms )由留下部分引由留下部分引起起( included terms )b. 误差误差与误差限与误差限 绝对误差绝对误差xxe *其中x为精确值，x*为x的近似值。 10006074302.dxex，例如：，例如：*xx 上常记为上常记为|*e*，称为，称为绝对误差限，绝对误差限，一般地，一般地， 的上限记为的上限记为e*0 时，时，x*称为强近似值，称为强近似值，e*0 时，时，x*称为弱近似

10、值称为弱近似值 由于通常准确值 x 是不知道的，所以误差e* 的准确值也不可能求出，但根据具体情况根据具体情况，可事先估计出误差事先估计出误差的范围的范围误差绝对值不能超过某个正数 ，我们把 叫做误差绝对值的“上界”，或称“误差限”。 *xx*xxx *工程工程c. 相对误差相对误差与相对误差限与相对误差限xeer* |*xr x 的的相对误差限相对误差限 常定义为常定义为*r *re*xexe*xe*xeer 实际计算中，相对误差通常取为：实际计算中，相对误差通常取为：相对误差相对误差 d. 有效数字有效数字 若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位,该位到 x* 的第一位非零数字共有 n

11、位,就说 x*有 n 位有效数字.1415.3*;8979321415926535.3 例例:问：问： 有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请证明你的结论。* 43* 用科学计数法，记用科学计数法，记 （其中（其中 ）。若）。若 （即（即 的截取按四舍五入规则），则的截取按四舍五入规则），则 有有n 位有效数字，精确到位有效数字，精确到 。mnaa.ax10021* 01 anm.xx 1050|*na*xnm 10注：关于有效数字有以下几点说明：注：关于有效数字有以下几点说明：1、用四舍五入法取准确值的前、用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则位作为近似值，则x*必必有有n位

12、有效数字；位有效数字；2、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一、有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；定相同；3、将任何数乘以、将任何数乘以10m(m为整数为整数)，等于移动该数的小数，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；点，并不影响它的有效数字的位数；4、准确值被认为具有无穷位有效数字、准确值被认为具有无穷位有效数字.e. 有效数字有效数字与相对误差的关系与相对误差的关系 有效数字有效数字 相对误差限相对误差限11121102102101001050* nnmnnmra.aaa.a.x*已知已知 x* 有有 n 位位有效数字有效数字，则其，则其相对误差限相

13、对误差限为为 相对误差限相对误差限 有效数字有效数字nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(210100)1(210|*|*|*|111121111110)1(21* nra已知已知 x* 的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见 x* 至少至少有有 n 位位有效数字有效数字。3.数值算法设计要点数值算法设计要点算法设计的几算法设计的几点注意事项点注意事项1. 避免相近二数相减避免相近二数相减例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效数字。位有效数字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。

14、 几种经验性避免方法：几种经验性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx当当 | x | 1 时：时：;2sin2cos12xx .6121112xxxex2. 避免小分母避免小分母 : 分母小会造成舍入误差增大分母小会造成舍入误差增大3. 避免大数避免大数吃吃小数小数例：用单精度计算例：用单精度计算 的根。的根。010)110(992 xx精确解为精确解为110291 x,x x 3.81574 y 0.0001= 38157.4 x 3.81574 y+ y 0.0001+0.00001= 34688.5 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在计算机内，在计算

15、机内，109存为存为0.1 1010，1存为存为0.1 101。做加法时，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为的指数部分须变为1010，则：，则：1 = 0.0000000001 1010，取，取单精度时就成为：单精度时就成为： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010024,102422921 aacbbxaacbbx大数大数吃吃小数小数算法算法2：先解出先解出 再利用再利用2914102bbacxa 11010991221 xacxac

16、xx求和时求和时从小到大从小到大相加，可使和的误差减小。相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为一般来说，计算机处理下列运算的速度为 exp ,例：多项式求值：给定例：多项式求值：给定x x, , 求求n n次多项式的值次多项式的值方法方法1 1：直接求和法；：直接求和法；方法方法2 2：利用前一次求幂的结果进行计算；：利用前一次求幂的结果进行计算；方法方法3 3：秦

17、九韶方法；：秦九韶方法；2012( )nna xaPaaxxx5. 选用稳定的算法。选用稳定的算法。.210110,n,dxexeIxnn 例：计算例：计算11.nnIn I公式一：公式一：111111000011dd1d .nxnxnxnxnx exx en xexxexeee 此公式成立此公式成立, 因为因为 10011d1063212056 xIex.ee记为记为*0,I80000 5 10 .EII.则初始误差则初始误差 1101001111dd ,(1)1nnnnxexIxexIeee nn39141423151959424941412276480713163289600012103

18、0592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !考察第考察第 n 步的误差步的误差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE1nn|E|(unstable algorithm), 我们有责任改变。我们有责任改变。 这种算法是这种算法是不稳定的算法不稳定的算法 迅速积累迅速积累, ,可见初始的小扰动可见初始的小扰动801050| .E误差递增误差递增. .0!|nE2(1)nn nE11,(1)1NIe NN*111,2(1)1NNI

19、Ie NN可取可取当 N 时，*|0.NNNEII1111(1)nnnnIn IIIn 公式公式方法：先估计一个方法：先估计一个IN , ,再反推要求的再反推要求的 In ( n N )。 避免误差积累的方法避免误差积累的方法101nxnIx e dxe11010011dd ,nnnxexIxexee632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13