总复习第三章导数与微分讲解第三章课后习题

1、微积分（微积分（）复习）复习导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分1.基本概念基本概念(1)导数定义导数定义设函数设函数 在点在点 及其附近有定义，及其附近有定义，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数 在在 可导，可导， 在在 的导数记作的导数记作 。)(xf)(xf)(xf0 x0 x0 x)( 0 xfxxfxxfx )()(lim000 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数函数)(x

2、f在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.3 3、求导法则、求导法则设设)(),(xvvxuu 可可导导，则则（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常数数),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydx

3、dyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(5) (5) 隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6)

4、参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则4 4、高阶导数、高阶导数,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二二阶阶导导数数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)5、微分的定义微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(

5、000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在

6、点函数函数定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(l

7、n)( arc 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx dxxfdy)( 3.导数的运算法则导数的运算法则(1)导数的四则运算法则导数的四则运算法则(2)复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则(3)隐函数求导法隐函数求导法(4)反函数求导法反函数求导法(5)参数方程求导法参数方程求导法(6)对数微分法对数微分法(7)高阶

8、导数的莱布尼兹公式高阶导数的莱布尼兹公式要求要求(1)掌握导数概念、物理意义及几何意义，掌握导数概念、物理意义及几何意义，会用定义求分段函数在分点处的导数。会用定义求分段函数在分点处的导数。(2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。数的关系。(3)熟记基本导数（微分）公式。熟记基本导数（微分）公式。(4)熟练运用各种求导熟练运用各种求导(微分微分)法则求初等函法则求初等函数的导数、微分。数的导数、微分。二、典型例题例1 设设)(xf2x, 32)(lim2xxfx求求 ).2(f 解解 因为因为 , 32)(lim2xxfx且且)(xf2x在在连续且连

9、续且在在连续连续，. 32)(lim2)2()(lim)2(22xxfxfxffxx于是于是 故故 当当2x 是是)(xf2x即即 故故 , 0)(lim2xfx. 0)2(f时时 ,的同阶无穷小，的同阶无穷小，),cos(22yxexyy.y解法解法1 方程两边同时对方程两边同时对x)21 ()sin(222yyyxeyyxyyy .)sin(22)sin(222yxyexyyxyyy故可解得故可解得例例4设方程设方程求求 求导，得求导，得 解法解法2 利用一阶微分形式不变性，方程两边同利用一阶微分形式不变性，方程两边同时求微分，得时求微分，得 d d )(2yexy).cos(2yx d d + d = (d d ), 2yxyx2yye)sin(2yx yx2yy例5 .y 设设 求求 ,)35)(1 ()23()3()2(3324222xxxxxy解解 ).35ln(31)1ln(3132xx.)35 ()1 ()23 () 3() 2(313312342322