哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案A卷(2007)

1、概率论与数理统计试卷(A)2007题号一二三四总分得分学号:班级:1.对任意事件A, B,下列结论正确的是一.选择题(15分，每题3分)姓名:(A) P(A B) P(AB)P(A B);(B) P(A) P(B) P(AB)P(A B);2.3.4.(C) P(A B)P(AB) P(A)P(B);卜列函数中可作为连续型随机变量(A)(B)(C)(D)(D) P(A) P(B) P(AB)(X ,Y)的联合密度函数是P(BA).fl (x, y)f2(x,y)f3(x,y)f4(x, y)设X服从指数分布(A) D(X Y)(C) E(X Y)cosx,0,cosx,0,cosx,0,cos

2、x,0,/2/2,0,0/2, 0 y 0.5他；/2,0 y 1他 ；0.5E( ), Y服从泊松分布P(),则下列等式不成立的是1/(B)(D)设总体X B(1, p)(二项分布)，其样本(Xi , X2,一2 一 2D(X) 1/, E(Y2)D(Y) , E(X2) 2/,X100)均值为X1100一 Xi,(x)100 i 1A卷共6页第1页为标准正态分布函数，则下列结论不正确的是(A)在概率意义下X近似等于p ；(B)P(a 100X b)(b)(a);(C) 100X B(100, p)；(D)E(X) p, D(X)p(1 p)/100.5.设正态总体XN( , 2),其中2未

3、知，样本容量n和置信度1都不变，则对于不同的样本观察值，总体期望的置信区间长度L()(A)变短；(B)变长；(C)不变；(D)不能确定.2 .填空题(15分，每题3分)1 .设两随机事件 A,B 满足：P(A) 0,7, P(B A) 0.2, P(AB) P(AB),则P(AB) .2 . 10件产品中有3件次品，任取5件，其中次品数 X的分布律(用解析式表达)为.3 .已知二维随机变量(X , Y)的联合分布函数为 F (x, y),则P(0 X 3, Y 1).4 .设随机变量 X和Y的期望分别为-1和1,方差分别为1和4, XY 0.5 ,则根据切比雪夫不等式 P(| X Y| 3)

4、.5 .设(X1，X2,Xg)为来自正态总体X N( , 2)( 2未知)的样本，样本均值与方差分别为x 12, s2 144,则参数的置信度为0.9的置信区间 下FM为.3 .计算题(共63分，每题9分)1 .设有甲，乙两个相同口袋，甲袋中有 4个红球，3个白球，乙袋中有 3个红土2个白 球,先从两口袋中任取一袋；然后再从该口袋中不放回地任取一球，共取二球.(1)已知第一次取的球是红球，求该红球来自甲袋的概率；(2)求第二次取出的是红球的概率 .A ex/3,x 0 ,2 .设随机变量X的分布函数为F(x)2x，求B e /3, x 0(1) 常数A,B ； (2)问X是否为连续型随机变量

5、？(3) P( 1 X 1/2).3 .设随机变量 XU( 0 , 2 )(均匀分布)，YE(1)(指数分布)，且它们相互独立.试计算Z X Y的概率密度函数fz(z)； (2) P(X Y).4 .闵行水果店准备进一批南汇水蜜桃，据统计每年这个季节顾客对水蜜桃的需求量X(单位：公斤)服从100, 400上的均匀分布，若每售出 1公斤水蜜桃可盈利1元，但如果 售不出则亏损2元.求要进货多少公斤水蜜桃，才能使收益达到最大？5 .学校要新建宿舍有 500学生居住，据统计每人每天傍晚约有10%的时间占用一个水龙头.设每人需用水龙头是相互独立的，问该宿舍至少需要安装多少个水龙头，才能以95%以上的概率

6、保证用水需要？6x( x)6.设总体Xf(x)0未知,(X1,L ,Xn)为其样本.3，x (0,)0, x (0,)求(1)的矩估计量？和口(3； (2)设(1.2,1.5, 2.1,2.3)为样本的一个观察值, 的矩估计值 ？，并求出密度函数 f(x).7.设某种电池的工作时间服从正态分布，一批电池要出厂为检查其质量，现抽取了5个电池并观察到五个电池的工作时间(小时)为3241424953出厂标准为0 50 (小时)，方差 2未知。在 0.1下，按出厂标准分别用(1)双侧假设检验 ；(2)相应的单侧中验检验 四.证明题(7分)设连续型随机变量X ,Y相互独立，其密度函数和分布函数分别为f(

7、x),F(x)和 g(x),G(x).若对任意 x,有 F(x) G(x).试证明 P(X Y) 1/2.备查分布表(0.95) 0.8289,(0.97) 0.8340,(1.645) 0.95,(1.88) 0.97,t0.05 (4)2.1318,t0.1 (4)1.28,t0.05(8) 1.8595, t0.1(8) 1.396822t0.25 (15) 2.1315, t0.05(15) 1.7531 )0.05(8) 15507)0.05(4) 9.488.A卷共6页第10页概率统计试卷A （评分标准）2007.选择题（15分,每题3分)方括弧内为B卷答案二.填空题（15分,每题

8、3分)1.0.8 ；0.7；2.P(Xk)k 5 kC3 C7C；00,1, 2,3P(Xk)C；C；C2k，k 0,1, 2, 3；3.F(3,1)F(3,F(0,1)F(0,)F( ,3)F(,0) F(2,3)F(2,0);4.1/3 9/165. 6.4128 12.5062.计算题（63分,每题9分）1.解：设 A=取到甲袋, A=取到乙袋;B=第一次取到红球, B=第一次取到白球；C =第二次取到红球, C =第二次取到白球;(1分)(1)P(A|B) P(A)P(B|A)_P(A)P(B| A) P(A)P(B | A)1 42 714 1g2 7 2 5200.487841(4

9、分)P(C) P(A)P(B|A)P(C | AB) P(A)P(B|A)P(C| AB)- c - - -41P(A)P(B1A)P(C|AB) P(A)P(B1A)P(C|AB)-0.5857(4分)P(AB)50.4167, 12P(C)290.41437002.解：(1)1limxF(x)lim (A x(2)由于lim(3) P( 1lim F (x)x 0limxF(x)limx(B1e 31-e3x)(3分)F(x)F(0)2x)X 2)1 134 41F(2) F( 1)1口 ，-，、口一,所以X不是连续型随机变量.321e3(3分)(3分)1111F(0) 4，P( 1 X

10、2) F(2) F( 1) 1 2e1y -八3. (1) f(x, y)(1分)e , 0 x 2, y 020, otherwiseFz(z)(5分)127(1 e )e , z 022(z 1 ez2), 0 z 20, z 2-(1 e 2)ez,z 021 ， ofz(z)-(1 e ), 0 z 220, z 2(3分)1 X1P(X Y) 2e 2ydydx - (1 e2)0 024.解：(1)已知 X : fX(x)1300100,400，设进a公斤(2分)2 x1 y12(2) P(X Y) -e ydydx -(1 e )0 02.2(1 e2)ez, z 0 fZ(z)

11、1 e2z2, 0 z 1,0, z 10, x 100,400Y g(X)a, X a3X 2a, X a(2分)1 at(a) E(Y) 300100(3x 2必300400adx300600a 1500)(3分)dt(a)da3a 600 0d2t(a)dt23 0),时平均收益为最大(2分)t(a) E(Y)350a(3x 100'4502a) dxaadx1 / 3一(-a350 2650a 1500)甯3a650 0650217.75.设需要k个水龙头，且Xi则1,第i个学生用水龙头0,其他,i=1,L ,500.(2分)(3分)E(Xi)=0.1, D(Xi)=0.9 0

12、.1=0.09, 500YnXi,E(K) 500 0.1 50, D(工)500 0.09 45i 10.95 P (0 Ynk)CHP(0 50 .45(0-50 ).45Yn_E (Yn)二D (Yn 厂k 50 ).45k 50 (,45k 50.45)0.951.645,k 501.6454561.035答至少装62个水龙头。k 501.88 455 62.61 ,至少装63水龙头(4分)6x ( x)6.解(1) E(X) 0H-dx -2E(X),得的矩估计量？ 2X ,(3分)32又 E(X2) 6X ( 3 X) dx 2, D(X) E(X2) E2(X) - 2 (-)2

13、 , 031010220D(?) 4D(X) 5n(3分)2?0.4761X 0.1341X , x (0,3.55) 小八、(2)矩估计值？ 2x 3.55, f (x),' ,)(3 分)0, x (0,3.55)? 2x 2 2.025 4.05, f(x)7. (1)双侧检验提出假设H0:50; H1:500.3658x 0.09x2, x (0,4.05)0, x (0,4.05)(1分)X n当H 0为真，T 尸：t(n 1),S/ . n0.1,t0.05(4)2.1318,W (, 2.1318 2.1318,)(2分)22 xn 5, x 43.4, s 8.08 ,T0-音1.83 W,故接受 H。(2 分)s/nn 5, x 43.6, s27.72, T0x 01.859 W ,故接受 H0s/ n(2)单侧检验，由于 x 43.40 50,提出左侧假设H0 :50; H1 :501.859 W,故拒绝 Ho（2分）（2分）（2分）（3分）（2分）X n当 Ho为真，T： t(n 1),01t0