统计学【第5章：概率】

1、 甲、乙二人赌博，各出赌注甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共元，共60元，每局元，每局甲、乙胜的机会均等，都是甲、乙胜的机会均等，都是1/2。约定：谁先胜满。约定：谁先胜满3局则他赢得全部赌注局则他赢得全部赌注60元，现已赌完元，现已赌完3局，甲局，甲2胜胜1负，而因故中断赌局，问这负，而因故中断赌局，问这60元赌注该如何分给元赌注该如何分给2人，才算公平？人，才算公平？分分 赌赌 注注 问问 题题 帕斯卡和费尔马一边亲自赌博，一边仔细分析计帕斯卡和费尔马一边亲自赌博，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题分赌注问题”，并将此

2、题的解法向更一般的情，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念况推广，从而建立了概率论的一个基本概念数数学期望。学期望。分分 赌赌 注注 问问 题题 而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果年，他将自己的研究成果写成了专著写成了专著论掷骰子游戏中的计算论掷骰子游戏中的计算。这本书。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。迄今为止被认为是概率论中最早的论著。 分分 赌赌 注注 问问 题题 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞在他们之后，对概率论这一学科做出贡献

3、的是瑞士数学雅可布士数学雅可布贝努利。他在前人研究的基础上，贝努利。他在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光赌徒输光问题问题”的详尽解法，并证明了被称为的详尽解法，并证明了被称为“大数定律大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。论中的极其重要的结果。分分 赌赌 注注 问问 题题 概概 率率 的的 意意 义义 了解发生意外事故的可能性大小，确定保险金额；了解发生意外事故的可能性大小，确定保险金额；了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合了解来商场购物的顾客人数的

4、各种可能性大小，合理配置服务人员；理配置服务人员；了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度；堤坝高度；了解学生报道率，以确定床位数了解学生报道率，以确定床位数基基 本本 概概 念念 在自然界和人类社会生活中，普遍存在着两类现象，在自然界和人类社会生活中，普遍存在着两类现象，一类是在一定条件下必然出现的现象，称为一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性确定性现象现象；另一类则是我们事先无法准确预知其结果的；另一类则是我们事先无法准确预知其结果的现象，称为现象，称为随机现象随机现象（带有随机性、偶然性的现（带有随机性、偶然性的现象）。象）

5、。随机随机现象现象 基基 本本 概概 念念 随机现象的特点随机现象的特点：当人们在一定的条件下对它加以：当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个。而且在每次试验或观察前都无法结果中的某一个。而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性。或者说，出现哪个确知其结果，即呈现出偶然性。或者说，出现哪个结果结果“凭机会而定凭机会而定”。随机随机现象现象 基基 本本 概概 念念 下面那些现象是随机现象？下面那些现象是随机现象？A 明天的最高温度明天的最高温度B 在地面上抛物体会下落在地面上抛物体会下落C

6、新生婴儿的体重新生婴儿的体重D 太阳从东方升起太阳从东方升起 随机随机现象现象 基基 本本 概概 念念 由于随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无由于随机现象的结果事先不能预知，初看似乎毫无规律。然而人们发现同一随机现象规律。然而人们发现同一随机现象大量重复大量重复出现时，出现时，其每种可能的结果出现的其每种可能的结果出现的频率具有稳定性频率具有稳定性，从而表，从而表明随机现象也有其固有的规律性。明随机现象也有其固有的规律性。人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的规律性称为随机现象的统计规律性统计规律性。随机随机现象现象

7、基基 本本 概概 念念 抛硬币实验抛硬币实验 随机随机现象现象 0.51810.50690.50160.500510612048601912012204840401200024000De MorganBuffonPearsonPearson正面频率正面频率( /n )正面次数正面次数( )投掷次数投掷次数(n) 试验者试验者nrnr基基 本本 概概 念念 “天有不测风云天有不测风云”和和“天气可以预报天气可以预报”有矛盾吗？有矛盾吗？天有不测风云：随机现象一次实现的偶然性天有不测风云：随机现象一次实现的偶然性天气可以预报：研究者从大量的气象资料来探索这天气可以预报：研究者从大量的气象资料来探索

8、这些偶然现象的规律性些偶然现象的规律性从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律。量的偶然之中存在着必然的规律。随机随机现象现象 基基 本本 概概 念念 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需对随为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象的观察称机现象进行重复观察，我们把对随机现象的观察称为为随机试验随机试验，并简称为试验，记为，并简称为试验，记为E。例如，观察某射手对固定目标进行射击；抛一枚硬

9、例如，观察某射手对固定目标进行射击；抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；记录某市币三次，观察出现正面的次数；记录某市120急救急救电话一昼夜接到的呼叫次数等，均为随机试验。电话一昼夜接到的呼叫次数等，均为随机试验。随机随机试验试验 基基 本本 概概 念念 可重复性可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；：试验可以在相同的条件下重复进行；可观察性可观察性：试验结果可观察，所有可能的结果是明：试验结果可观察，所有可能的结果是明确的；确的；不确定性不确定性：每次试验出现的结果事先不能准确预知。：每次试验出现的结果事先不能准确预知。随机随机试验试验 基基 本本 概概 念念 我们把随机试验的每个基本结

10、果称为样本点，记作我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或或. 全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间。样本空间。样本空间用用S或或表示表示.样本样本空间空间 样本点样本点e. S基基 本本 概概 念念 例如：如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空例如：如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：间由如下四个样本点组成： S=(正正,正正), (正正,反反), (反反,正正), (反反,反反)样本样本空间空间 样本空间在如下意义上提供了样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：在每次一个理想试验的模型：在每次试验中试验中必有必有一个样本点出现且

11、一个样本点出现且仅有仅有一个样本点出现一个样本点出现 。基基 本本 概概 念念 如果试验是测试某种灯泡的寿命如果试验是测试某种灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故样本空间故样本空间S = t t 0样本样本空间空间 基基 本本 概概 念念 在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，还关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特还关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为

12、一个征，概率论中将这一可观察的特征称为一个事件事件：随机事件随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件;必然事件必然事件：在每次试验中都必然发生的事件：在每次试验中都必然发生的事件;不可能事件不可能事件：在任一次试验中都不可能发生的事件。：在任一次试验中都不可能发生的事件。随机随机事件事件 基基 本本 概概 念念 在抛掷一枚骰子的试验中，假设我们关心出现的点在抛掷一枚骰子的试验中，假设我们关心出现的点数是否为奇数，数是否为奇数， “点数为奇数点数为奇数”就是一个事件。就是一个事件。它在试验中可能发生也可能不发生，是一随机事件。它在试验中可能发生也可能不发生

13、，是一随机事件。同样，同样，“点数小于点数小于7”与与“点数为点数为8”也分别是一个也分别是一个事件，前者在试验中是必然发生的，即是必然事件，事件，前者在试验中是必然发生的，即是必然事件，后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。随机随机事件事件 基基 本本 概概 念念 引入样本空间后，事件便可表示为样本空间的子集。引入样本空间后，事件便可表示为样本空间的子集。用用A，B，来表示。来表示。例如，掷一颗骰子，观察出现的点数例如，掷一颗骰子，观察出现的点数样本空间：样本空间： S = 1,2,3,4,5,6事件事件B:“点数小于点数小于5” B=1,2

14、,3,4；事件事件B就是就是S的一个子集的一个子集。B发生当且仅当发生当且仅当B中的样中的样本点本点1，2，3，4中的某一个出现。中的某一个出现。集合集合表示表示 基基 本本 概概 念念 称仅含一个样本点的事件为称仅含一个样本点的事件为基本事件基本事件；称含有两个或两个以上样本点的事件为称含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件复合事件。集合集合表示表示 基基 本本 概概 念念 事件事件关系关系 关系关系 符号符号 概率论中的意义概率论中的意义 集合论集合论 BA包含包含若若A发生必有发生必有B发生发生（B不发生则不发生则A必不发生）必不发生） A是是B的子集的子集等价等价BA 事件事件A包含

15、包含B 事件事件B包含包含A A与与B相等相等基基 本本 概概 念念 事件事件关系关系 关系关系 符号符号 概率论中的意义概率论中的意义 集合论集合论 互不相容互不相容（互斥）（互斥）对立对立（逆事件）（逆事件）AAB事件事件A与与B不能同时不能同时发生发生A与与B无公共无公共元素元素事件事件“非非A”A的余集的余集基基 本本 概概 念念 事件事件运算运算 运算运算 符号符号 概率论中的意义概率论中的意义 集合论集合论 )(BABA 事件的和事件的和 （并）（并）事件事件A与与B至少至少有一个发生有一个发生A与与B的并集的并集 事件的积事件的积（交）（交）)(BAAB事件事件A与与B同时发生同

16、时发生A与与B的交集的交集 事件的差事件的差BA 事件事件A发生，发生，B不发生不发生 A与与B的差集的差集 基基 本本 概概 念念 韦恩韦恩 图图S B A BA S B A BAorBA S B A ABorBA S B A BA S B A BAS A A ASA 基基 本本 概概 念念 假定某个试验有有限个可能的结果，假定某个试验有有限个可能的结果，e1, e2, ，en，假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其，比任一其它结果它结果ej,更有优势，则我们只好认

17、为所有结果在试更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即验中有同等可能的出现机会，即1/n的出现机会。的出现机会。古典古典概率概率 基基 本本 概概 念念 定义定义 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同。每个样本点出现的可能性相同。称这种试验模型为称这种试验模型为等可能概型等可能概型或或古典概型古典概型。古典古典概率概率 基基 本本 概概 念念 古典古典概率概率 ,21kiiiAAAA 则事件则事件A发生的概率发生的概率 kjiSAnkAPAP

18、j1)()(中基本事件的总数中基本事件的总数包含的基本事件数包含的基本事件数称此概率为称此概率为古典概率古典概率, 这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法.设事件设事件A包含其样本空间包含其样本空间S中中K个基本事件个基本事件, 即即基基 本本 概概 念念 古典古典概率概率 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：排成一列

19、，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE基基 本本 概概 念念 古典古典概率概率 拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：这个概率很小，如果多次重复这一抽卡试验，则我这个概率很小，如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在们所关心的事件在1260次试验中大约出现次试验中大约出现1次。次。422解解：七个字母的排列总数为：七个字母的排列总数为7！00079. 012601! 74 p古古 典典 概概 率率 例例：一个袋子中装有：一个袋子中装有 10 个大小相同的球，其中个大小相同的球，其中 3个黑球，个黑球，7个

20、白球，求：个白球，求：(1) 从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；(2)从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率。概率以及两个球全是黑球的概率。古古 典典 概概 率率 (1) 从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；从袋子中任取一球，这个球是黑球的概率；(1)解解10 个球中任取一个个球中任取一个, 共有共有10110 C种种. 从从而根据古典概率计算而根据古典概率计算, 事件事件:A“取到的球为黑球取到的球为黑球”的概率为的概率为)(AP11013CC .103 古古 典典 概概 率率

21、(2)从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率。概率以及两个球全是黑球的概率。解解(2) 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有210C种种, 其中其中刚好一个白球刚好一个白球, 一个黑球的取法有一个黑球的取法有1713CC 种取法种取法,记记B为为事件事件“刚好取到一个白球一个黑球刚好取到一个白球一个黑球”，)(BP2101713CCC ,157 4521 古古 典典 概概 率率 (2)从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的从袋子中任取两球，刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率。概率以及两个球全是

22、黑球的概率。解解(2) 10 个球中任取两球的取法有个球中任取两球的取法有210C种种, 其中其中两个球均是黑球的取法有两个球均是黑球的取法有23C种种,C为为球均为黑球球均为黑球”，则：，则：事件事件“两个两个 )(CP21023CC 453 .151 频频 率率 的的 定定 义义 次数为次数为，)(Arn频率具有下述基本性质频率具有下述基本性质:1.; 1)(0 Afn2.; 1)( sfn3.设设nAAA,21是是两两互不相容两两互不相容的事件的事件,则则).()()()(2121nnnnnnAfAfAfAAAf 定义定义：若在相同条件下进行：若在相同条件下进行n次试验，次试验，其中其中

23、 发生的发生的 A则称则称nArAfnn)()( 为事件为事件A发生的发生的频率频率.频频 率率 的的 稳稳 定定 性性在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做这个性质叫做频率的稳定性频率的稳定性。频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非相当大，频率与概

24、率是会非常接近的。常接近的。定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验, 若事件若事件A发生的频率发生的频率 nArAfnn)()( 随着试验次数随着试验次数n的增大而的增大而稳定地在某个常数稳定地在某个常数P附近摆动附近摆动,则称则称P为事件为事件A的的概率，概率，记为记为P(A).概概 率率 的的 统统 计计 定定 义义 概率被视为频率的稳定值概率被视为频率的稳定值, 从而应具有与频率相应的从而应具有与频率相应的性质性质:1.; 1)(0 Ap2.; 1)( Sp3.设设nAAA,21是两两不相容的事件是两两不相容的事件, 则则).()()()(2121nnApApAp

25、AAAP 概概 率率 的的 统统 计计 定定 义义 例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录。个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录。若他射击若他射击n发，中靶发，中靶m发，发，当当n很大时，可用很大时，可用频率频率m/n作为他中靶概率的估计。作为他中靶概率的估计。概概 率率 的的 统统 计计 定定 义义 例例：从某鱼池中取：从某鱼池中取 100 条鱼条鱼,做上记号后再放入该鱼做上记号后再放入该鱼池中。先从该池中任意捉来池中。先从该池中任意捉来 40 条鱼，发现其中两条鱼，发现其中两条有记号，问池内大

26、约有多少条鱼条有记号，问池内大约有多少条鱼?解解设池内有设池内有n条鱼，条鱼，则从池中捉到一条有记号鱼的则从池中捉到一条有记号鱼的 概率为概率为100/n ，它近似于捉到有记号鱼的频率它近似于捉到有记号鱼的频率2/40，即即402100 n,2000 n故池内大约有故池内大约有2000条鱼条鱼.概概 率率 的的 统统 计计 定定 义义 概概 率率 的的 统统 计计 定定 义义 抛硬币试验中正反面出现的概率各是抛硬币试验中正反面出现的概率各是1/2，如果你做，如果你做了了100次试验，出现正面这个事件发生了次试验，出现正面这个事件发生了20次，你会次，你会有什么想法？如果另外一位同学做了有什么想

27、法？如果另外一位同学做了100次试验，前次试验，前99次都是正面，你又会有什么想法？次都是正面，你又会有什么想法？基基 本本 概概 念念 主观主观概率概率 一些概率既不能由等可能性来计算，也不可能从试一些概率既不能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。比如，你五年内去欧洲旅游的概率等。这验得出。比如，你五年内去欧洲旅游的概率等。这种概率称为种概率称为主观概率主观概率(subjective probability)。可以说，主观概率是一次事件的概率。或为基于所可以说，主观概率是一次事件的概率。或为基于所掌握的信息，某人对某事件发生的自信程度。掌握的信息，某人对某事件发生的自信程度。概概 率率 的

28、的 性性 质质 性质性质1. 0)( P性质性质2 (有限可加性有限可加性)设设nAAA,21是两两互不相容是两两互不相容的事件，则：的事件，则：).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 性质性质3).(1)(APAP S B A BA概概 率率 的的 性性 质质 性质性质4).()()(ABPAPBAP 性质性质5 对任一事件对任一事件A,. 1)( AP性质性质6 对任意两个事件对任意两个事件A,B,有有).()()()(ABPBPAPBAP S B A BAorBA S B A BA 例例 某城市中发行某城市中发行 2 种报纸种报纸.,BA经调查经调查, 在这在这2 种报纸的订

29、户中种报纸的订户中,订阅订阅A报的有报的有45%, 订阅订阅B报的有报的有35%, 同时订阅同时订阅 2 种报纸种报纸BA,的有的有10%,求只订一种报纸的概率求只订一种报纸的概率. 例例S B:35% A:45% AB10% 例例 )()(ABBPABAP )()()()(ABPBPABPAP 1 . 035. 01 . 045. 0 . 6 . 0 S B:35% A:45% AB10% 条条 件件 概概 率率 Monty Hall problem 条条 件件 概概 率率 如在事件如在事件A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B发生的概率，将此发生的概率，将此概率记作概率记作P(B|A).

30、P(B)=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，B=掷出掷出2点点， A=掷出偶数点掷出偶数点， P(B|A)=？已知事件已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是合就是A，于是于是P(B|A)= 1/3. A中共有中共有3个元素，它们的出现是等可能个元素，它们的出现是等可能的，其中只有的，其中只有1个在集个在集A中，中，条条 件件 概概 率率 定义定义 设设A、B是两个事件，是两个事件， 且且, 0)( AP则称则称)()(APABPABP ）（(1)为在事件为在事件A发生的条件下，发生的条件下， 事件事件B的的条件概率条件概率.注注：若

31、事件若事件A已已发生，且又是发生，且又是B中的样本点，则此点中的样本点，则此点必属于必属于AB. 因已知因已知A已发生已发生,故故A成为新的样本空间。成为新的样本空间。用韦恩图表达用韦恩图表达(1)式式.SABBA条条 件件 概概 率率 定义定义 设设A、B是两个事件，是两个事件， 且且, 0)( AP则称则称)()(APABPABP ）（为在事件为在事件A发生的条件下，发生的条件下， 事件事件B的的条件概率条件概率.P(AB)为事件为事件A、B同时发生的概率，即同时发生的概率，即联合概率联合概率。 P(A)或或P(B)为事件为事件A或或B的的边缘概率边缘概率。 (1)用定义计算用定义计算;(

32、2)根据加入条件后改变了的情况来计算根据加入条件后改变了的情况来计算.条条 件件 概概 率率 的的 计计 算算 1) 用定义计算用定义计算:316361)()()|( BPABPBAP例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点条条 件件 概概 率率 的的 计计 算算 条条 件件 概概 率率 的的 计计 算算 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点个数所含样本点个数

33、条条 件件 概概 率率 Monty Hall problem 联联 合合 概概 率率 由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(A)0，则，则P(AB)=P(A)P(B|A)()()|(APABPABP 而而 P(AB)=P(BA)将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(B)0，则，则P(AB)=P(B)P(A|B) 若若 P(B)0，则，则P(BA)=P(B)P(A|B) 条条 件件 概概 率率 例例 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为年以上的概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的这种岁的这种动物

34、，它能活到动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解：设解：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为P(B|A) .)()()|(APABPABP 5 . 08 . 04 . 0)()( APBP一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽签的方搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽签的方法来解决。法来解决。入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其，其余的什么也没写。

35、将它们放在一起，洗匀，让余的什么也没写。将它们放在一起，洗匀，让5个个人依次抽取。人依次抽取。 到底谁说的对呢？到底谁说的对呢？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”. ”“大家不必争先恐后，你们一个一个按大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”.”事事 件件 的的 独独 立立 性性 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说，这就是说，已知事件已知事件B发生，并不影响事件发生，并不影响事件A发生发生的概率，这时称事件的概率，这时称事件A、B独立独立。 A=第二次掷出第二次掷出6点点， B

36、=第一次掷出第一次掷出6点点，将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次， 设设 事事 件件 的的 独独 立立 性性 由乘法公式知，当事件由乘法公式知，当事件A、B独立时，有：独立时，有： P(AB)=P(A) P(B)P(AB)=P(B)P(A|B)定义：若两事件定义：若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立。相互独立。例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的，问事件问事件A、B是否独立是否独立？可见可见, , P(AB)=P

37、(A)P(B)，由于由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件说明事件A、B独立。独立。解：解： P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2例例5 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个个红球红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。求取得红球的概率。 1 2 3 1 2 3解解：记：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱， i=1,2,3; B =取得红球取得红球 即即 B= A1B+A2B+

38、A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生， P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得运用加法公式得 1 2 3将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的在概率计算中常用的全概率公式全概率公式。对求和中的每一项对求和中的每一项运用乘法公式得运用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15全全 概概 率率 公公 式式设设S为

39、随机试验的样本空间，为随机试验的样本空间，A1,A2,An是两两互斥是两两互斥的事件，且有的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, niiiABPAPBP1)()()(称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组. .,1SAnii 则对任一事件则对任一事件B，有有全全 概概 率率 公公 式式niiiABPAPBP1)()()(全概率公式的来由全概率公式的来由, , 不难由上式看出不难由上式看出:“:“全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和。被分解成了许多部分之和。它的理论和实用意义在于：它的理论和实用意义在于：在较复杂情况下直接计在较复杂情况下直接计

40、算算P(B)不易，但不易，但B总是伴随着某个总是伴随着某个Ai出现，适当地去出现，适当地去构造这一组构造这一组Ai往往可以简化计算往往可以简化计算. .全全 概概 率率 公公 式式某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果如果B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生的概率是发生的概率是每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各发生的概率是各原因引起原因引起B发生概率的总和，即发生概率的总和，即全概率公式全概率公式. .P(B)=P(Ai)P(B |Ai)我们还可以从另一个角度去理解全概率公式：我们还可以从另一个角度

41、去理解全概率公式：例例: :（敏感性问题的调查）学生阅读黄色书刊和看黄（敏感性问题的调查）学生阅读黄色书刊和看黄色影像会影响学生身心健康发展，但这些都是避开色影像会影响学生身心健康发展，但这些都是避开家长进行的，属于个人隐私行为。要调查观看黄色家长进行的，属于个人隐私行为。要调查观看黄色书刊和影像的学生在全体学生中所占的比例书刊和影像的学生在全体学生中所占的比例p是一件是一件难事。这里的关键是要设计一个调查方案，使被调难事。这里的关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意做出真实的回答又能保守个隐私。查者愿意做出真实的回答又能保守个隐私。Stanley L.Warner发明了一种可以消除人们抵触

42、情发明了一种可以消除人们抵触情绪的随机化应答方法。调查方案的核心是如下两个绪的随机化应答方法。调查方案的核心是如下两个问题：问题：问题问题A：你的生日是否在：你的生日是否在7月月1日之前？日之前？ 问题问题B：你是否看过黄色书刊或影像？：你是否看过黄色书刊或影像？ 被调查者事先从一个装有黑球和白球的箱子中随机被调查者事先从一个装有黑球和白球的箱子中随机抽取一个球，看过颜色后又放回。若抽出白球则回抽取一个球，看过颜色后又放回。若抽出白球则回答问题答问题A；若抽出黑球则回答问题；若抽出黑球则回答问题B。箱中黑球所占比率箱中黑球所占比率a是已知的，即是已知的，即 P 任意抽取一个是黑球任意抽取一个是

43、黑球=a P 任意抽取一个是白球任意抽取一个是白球= 1-= 1-a 被调查者无论回答被调查者无论回答A 题或题或 B，都只需在一张只有，都只需在一张只有“是是”和和“否否”两个选项的答卷上作出选择，然两个选项的答卷上作出选择，然后投入密封的投票箱内。后投入密封的投票箱内。答卷答卷 是是 否否 上述抽球和答卷都在一间无人的房间内进行，任何上述抽球和答卷都在一间无人的房间内进行，任何人都不知道被调查者抽到什么颜色的球以及在答卷人都不知道被调查者抽到什么颜色的球以及在答卷中如何选择，这样就不会泄露个人秘密，从而保证中如何选择，这样就不会泄露个人秘密，从而保证了答卷的真实可靠性。了答卷的真实可靠性。

44、 当有较多的人参加调查后，打开投票箱进行统计。当有较多的人参加调查后，打开投票箱进行统计。设共有设共有n张有效答卷，其中张有效答卷，其中k张选择张选择“是是”，则可用，则可用频率频率k/n估计回答估计回答“是是”的概率的概率 ，记为：，记为：=p答答是是= k/n回答回答是是有两种情况：有两种情况：一种是摸到白球对问题一种是摸到白球对问题A回答回答是是，也就是被调查者，也就是被调查者“生日在生日在7月月1日之前日之前”的概率，一般认为是的概率，一般认为是0.5，即，即 P 答答是是| |抽白球抽白球 =0.5另一种是摸到黑球后对问题另一种是摸到黑球后对问题B回答回答是是，这个条件概，这个条件概

45、率就是看不健康书刊或影像的学生在参加调查的学率就是看不健康书刊或影像的学生在参加调查的学生中的比率生中的比率p，即：，即：P 答答是是| |抽黑球抽黑球 =p利用全概率公式得：利用全概率公式得： P 答是答是=P 抽白球抽白球 P 答是答是| |抽白球抽白球 P 抽黑球抽黑球 P 答是答是| |抽黑球抽黑球 )1(5 . 0 p )1(5 . 0 nk p )1(5 . 0即即：如在一项调查大学生看过不健康书刊或影像的调查如在一项调查大学生看过不健康书刊或影像的调查时共有全校时共有全校1583名学生参加，最后统计答卷，全部名学生参加，最后统计答卷，全部有效。其中回答有效。其中回答“是是”的有的

46、有389张，据此可估算出张，据此可估算出: : 0762. 06 . 0)6 . 01(5 . 01583389 p假设箱子中共有假设箱子中共有50个球，其中个球，其中30个黑球，则个黑球，则a= =0.6 。 1 2 3实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见：已知某结果发生条这一类问题在实际中更为常见：已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。件下，求各原因发生可能性大小。某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球发现是红球, ,求该求该球是取自球是取自1 1号箱的概率。号箱的概率。或者问或者

47、问: :该球取自哪号箱的可能性最大该球取自哪号箱的可能性最大? 1 2 3有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1 1个红个红球球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，球，发现是红球发现是红球, ,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率。)()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B) 1 2 3将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式贝叶斯公式贝贝 叶叶 斯斯 公公 式式该公式于该公式于1763年由贝叶斯