分类计数原理和分步计数原理一

1、关于分类计数原理和分步计数原理一现在学习的是第一页，共15页甲甲问题问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班。那么一天中，乘班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？法？乙乙火火 车车 2火火 车车 1火火 车车 3汽汽 车车 1汽汽 车车 23+2=5（种）（种）现在学习的是第二页，共15页分类计数原理分类计数原理分类计数原理又称分类计数原理又称“加法原理加法原理” 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法，在第，在第1类

2、办法中类办法中有有m1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有 m2 种种不同的方法，不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn 种不同种不同的方法，那么完成这件事共有的方法，那么完成这件事共有 Nm1 m2 mn种不同的方法种不同的方法现在学习的是第三页，共15页关于分类计数原理的几点注意：关于分类计数原理的几点注意： 各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；法相加，所以这个原理又叫做加法原理； 分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定分类时

3、，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；的分类标准下进行分类； 完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的两类的两种方法都是不同的不重不漏不重不漏 现在学习的是第四页，共15页火火 车车 2火火 车车 1火火 车车 3问题问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，班，汽车有汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种班，那么两天中，从甲地到乙地

4、共有多少种不同的走法？不同的走法？ 甲甲乙乙丙丙汽汽 车车 2汽汽 车车 1种）(623火车火车1汽车汽车1 火车火车1汽车汽车2 火车火车2汽车汽车1火车火车2汽车汽车2 火车火车3汽车汽车1 火车火车3汽车汽车2现在学习的是第五页，共15页分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种步有种不同的方法，做第不同的方法，做第2步有种不同的方法步有种不同的方法做第做第步有种不同的方法那么完成这件事共有步有种不同的方法那么完成这件事共有 N种不同的方法种不同的方法1m2mnmnmmm.21分步计数原理又叫作分步计数原理又叫作“乘法原理乘法原理”

5、现在学习的是第六页，共15页关于分步计数原理的几点注意关于分步计数原理的几点注意各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；的分步标准下分步； 完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤 现在学习的是第七页，共15页分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别

6、 分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分类计数原件事的不同方法总数的问题区别在于：分类计数原理针对的是理针对的是“分类分类”问题，其中各种方法相互独立，问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是针对的是“分步分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事只有各个步骤都完成才算做完这件事现在学习的是第八页，共15页例题例题例例1. 某班级三好学生中男生有某班级三好学生

7、中男生有5人人,女生有女生有4人。人。 (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ 分析分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有共有2类办法类办法, 第一类办法第一类办法, 从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人, 共有共有 m1 = 5 种不同的方种不同的方法法; 第二类办法第二类办法, 从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人, 共有共有m2 = 4 种不

8、同的方种不同的方法法; 所以所以,根据加法原理根据加法原理,得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9。 (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加完成从三好学生中任选男、女各一人去参加 座座谈会这件事谈会这件事, 需分需分2步完成步完成, 第一步第一步,选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 m1 = 5 种方法种方法; 第二步第二步, 选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 m2 = 4 种方法种方法; 所以所以, 根据乘法原理根据乘法原理, 得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种。种。点评点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情

9、是解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成分类完成”,还是还是“分步完成分步完成”。“分类完成分类完成”用用“加法原理加法原理”;“分步完成分步完成”用用“乘法原理乘法原理”。现在学习的是第九页，共15页例题例题例例2 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体本不同的体育书。育书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种取法？）从书架上任取一本书，有多少种取法？ （2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有多有多少种不同的取法少种不同的取法?注意区别注意区别“分类

10、分类”与与“分分步步”现在学习的是第十页，共15页解解 : (1)从第从第1层任取一本层任取一本,有有4种取法种取法,从第从第2层任取一本层任取一本,有有3种取法种取法,从第从第3层任取一本层任取一本,有有2种取法种取法,共有共有 4+3+2=9种取法。种取法。答：从书架上任意取一本书，有答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。种不同的取法。(2) 从书架的从书架的1 、 2 、 3层各取一本书层各取一本书,需要分三步完成需要分三步完成, 第第1步步,从第从第1层取层取1本书本书,有有4种取法种取法,第第2步步,从第从第2层取层取1本书本书,有有3种种取法取法,第第3步步, 从第从第3层取

11、层取1本书本书,有有2种取法种取法.由分步计数原理知由分步计数原理知,共有共有 432=24种取法。种取法。答：从书架上的第答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有层各取一本书，有24种不同的取法。种不同的取法。分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步分步时做到不缺步现在学习的是第十一页，共15页例例3 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解解：从从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选可以看成是经过先选1名上日班，再选名上日班，

12、再选1名上晚名上晚班这两个步骤完成。先选班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有名上日班，共有3种种选法；选法；上日班的工人选定后上日班的工人选定后再再选选1名上晚班，名上晚班，上晚班的工人有上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是所求的不同的选法数是 . 623N答：有答：有6种不同的选法。种不同的选法。现在学习的是第十二页，共15页 日班日班 晚班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法相应的排法不同排法如下图所示不同排法如下图所示甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲丙丙 乙乙 日班日班 晚班晚班现在学习的是第十三页，共15页 1 一件工作可以用两种方法完成。有一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方人会用第一种方法完成，另有法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？完成这件工作，共有多少种选法？2乘积乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展开后共有项？展开后共有项？ 4 + 5 = 9练习练习2：1、把四封不同的信任意投入三个信箱中、把四封不同的信