多元时间序列分析及应用

1、框架1、理论基础2、向量自回归模型简介3、向量自回归模型应用弱平稳与交叉相关矩阵 考虑一个K维时间序列 如果它的一阶矩与二阶矩是不随时间变化的，则称序列 是弱平稳的。 特别的，弱平稳序列 的均值向量和协方差矩阵不随时间变化。除了明确地说明为相反的情况，我们都假定金融资产的收益序列是弱平稳的。12(,)tttktrr rrtrtr 对一个弱平稳时间序列 ，我们定义它的均值向量和协方差矩阵为 这里的期望是对 的联合分布对每个分量取期望。均值 是由 的分量的无条件期望组成的 维向量。协方差矩阵 是 矩阵。 的第 个对角线上的元素是 的方差，而 的第 个元素是 与 的协方差。需要时我们记为 tr( )

2、tE r0()() ttttE rr ,(8.1)trtrk0kk0iitr0( , )i jitrjtr1(,) ,k0 (0)ij交叉相关矩阵（CCM）令D表示由 的标准差构成的对角矩阵。换句话说 的同步或延迟为0的交叉相关矩阵定义为更具体地， 的第 个元素为它是 与 间的相关系数。(1,)itr i ，kkk11(0),(0).kkDdiag，tr1100(0),ijDDitrjtr0( , )i jij(0)( ,)(0),( )()(0)(0)ijitjtitjtiijjCov r rstd r std r 在时间序列分析中，这样的一个相关系数称为一个同时或同步相关系数，因为它是两个

3、序列在同一时刻t的相关性。很容易看出 且 这样， 是具有单位对角元素的对称矩阵。 ij(0)(0), 1(0)1;jiij ii(0)1(1,).i jk0 多元时间序列分析中的一个重要的主题是分量序列之间的引导-延迟关系（lead-lag）.为此，用交叉相关矩阵来衡量时间序列之间线形依赖的强度。 的延迟 的交叉协方差矩阵定义为 其中 是 的均值向量。因此， 是 的函数，而不是时间指数 的函数。trl( )()() lijtt llE rr (8.2)trllt 的延迟 的交叉相关矩阵（CCM）定义为 同前面一样，D是由单个序列 的标准差构成对角矩阵。由定义 是 与 的相关系数 trl11(

4、)lijllDD(8.3)itr,1ij( )( ,)( )( )()(0)(0)ijitj titjtiijjlCov r rlstd r std r(8.4)itr,1j tr 当 0时，此相关系数衡量了 对发生在 时刻以前的 的线性依赖。因此，如果 且 0，我们就说序列 在延迟 处引导着序列 。类似的， 衡量了 对 的线性依赖，并且如果 且 0，我们就说 在延迟 处引导着序列 。方程（8.4） 还表明对角元素 仅仅为 的延迟 的自相关系数。lritt,1rj tij( )0llrjtlitrij( ) lrjti,1rtij( )0llritlrjtii( ) lritl交叉相关矩阵的性

5、质1、对 有 。因为这两个相关系数衡量的是 与 之间的不同的线性关系。因此 与 一般是不对称的。2、由 以及弱平稳性假定 我们有 因为 为矩阵 的第 个元素，且这个等式对 成立。所以，我们有i, j( )( )ijjillrit rjt ll,1,1ov( ,)(,),itj tj titCr rCov rr,()(,)(,),j t litjti t ljti tlCov rrCov rrCov rr ( )()ijjill ()jill( , )i j1, i jk,llll 因此，与一元情形不同，对一般的向量时间序列来说，当 时， 。因为 ，所以在实际中，只考虑 时的交叉矩阵 就足够了。

6、0lllll0l l线性依赖性 联合考虑一个弱平稳向量时间序列的交叉相关矩阵 包含下面的信息：1）对角元素 是 的自相关函数；2）非对角元素 衡量的是 与 之间的同步线性关系。3）对 ，非对角元素 衡量的是 对过去值的线性依赖。因此，如果对所有的 都有 ,则 并不线性依赖于 序列的任何过去值|0,1,ll|0,1,iilitr(0)ijitrjtr0l( )ijlitr, j t lr0lij( )0litrjtr, j t lr 一般地，两个时间序列 与 之间的线性关系可以概括如下： 1）如果对于所有的 ，都有 ，则 与 没有线性关系。 2）如果 ，则 与 是同步相关的。 3）如果对于所有的

7、 ， ，且 ，则 与 没有引导延迟关系。这时称这两个序列是分离的。 4）如果对于所有的 ， ，但是对某些 ，有 ，则从 到 有一个单向 关系。在这种情形， 不依赖于 的任何过去值，但是 却依赖于 的某些过去值。rjt rit 0l ij( )( )0jillitrjtr(0)0ijitrjtr0lij( )0l( )0jilitrjtr0lij( )0lv0( )0jivitrjtritrjtrjtritr5）如果对某些 ， ；而且对某些 ， ，则 与 之间具有一种反馈关系。 前面陈诉的条件都是充分条件。研究时间序列之间关系的更加有效的方法是对序列构造一个多元模型，因为一个恰当指定的模型同时考

8、虑了时间序列间的序列相关性及交叉相关性。0l( )0ijl0v( )0jivitrjtr样本交叉相关矩阵 给定数据 其交叉协方差矩阵可以通过下式估计这里 为样本均值向量。交叉相关矩阵估计为其中 是分量序列的样本标准差构成的对角矩阵 |1,tr tT，l1()() ,Ttt lt lrrrr 0l 1/Tttrr T l11,llDD0l Dkk 类似于一元情形，样本交叉相关矩阵 在各种假定之下的渐近性质都已经被研究了。这个估计是相合的，但是对于有限样本是有偏的。对于资产收益率序列， 的有限样本分布相当复杂，部分原因是由于条件异方差与高峰度的出现。如果需要交叉相关的有限样本分布，建议用适当的重新

9、抽样方法得到分布的渐近估计。对于许多应用而言， 方差的一个粗糙估计就足够了。ll ( )ijl多元混成检验 Hosking（1980，1981）与Li和McLeod（1981）已经把一元的Ljung-Box统计量Q(m)推广到多元情形，对一个多元序列，检验统计量的原假设为 ： 备择假设为 ：对某些 这样，利用这个统计量来检验 没有自相关和交叉相关性。假定检验统计量的形式为 其中T为样本容量，K为 的维数 是矩阵A的 迹，即A的对角线元素的和。在原假设以及一些正则 条件下 渐进服从一个自由度为 的 分布。0H01maH. 0, 1imi 1010121llmlktrlTTmQtr Atr mQk

10、mk22 统计量是对 的前m个交叉相关矩阵的一个联合检验。如果原假设被拒绝，那么我们必须对序列建立一个多元模型来研究分量序列之间的引导延迟关系。 mQktr向量自回归模型（VAR） 向量自回归(VAR ) 技术自Sim s (1980首先将其引入宏观经济结构建模领域后, 近年来获得广泛应用 , 成为一种定量分析宏观经济问题的有力工具. VAR 的核心是由一组等式方程式构成的方程组, 方程中每一变量都被其自身的滞后变量和方程组中其它变量以及它们的滞后变量所决定. VAR 方法特别适用于对复杂宏观经济现象无须提出先验假设的情形VAR 本身不排除任何假设, 但可以使我们通过信息的时间序列将这些假设区

11、分出来,向量自回归理论向量自回归理论 向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响。 VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的需要。一个VAR(p) 模型的数学形式是： 这里 yt 是一个k 维的内生变量，xt 是一个 d 维的外生变量。A1, ,Ap 和B是待估计的系数矩阵。t 是扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关。ttptpttBxyAyAy 11由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不出现同期性问题，并且OLS能得到一致估计。即使扰动向量 t 有同期相关，但OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，所以其与GLS是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而被调整（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不严格。ktttt