各科课件及大一数学第3章一

1、引引 言言第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学积分学分为不定积分与定积分两部分不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系 本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨公式),解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分本章主要内容：本章主要内容：第一节第一节 不定积分第二节第二节 不定积分的计算第三节第三节 定积分第四节第四节 定积分的计算第五节第五节 广义积分3.1.1 3.1.1 不定积分的概

2、念不定积分的概念3.1.2 3.1.2 不定积分的基本公式和不定积分的基本公式和 运算法则运算法则不定积分在小学和中学我们学过逆运算：如：加法的逆运算为减法如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数指数的逆运算为对数不定积分的概念不定积分的概念问题提出问题提出微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算定义定义1 1 若在某一区间上，若在某一区间上，F(x) F(x) f(x) f(x) ，则在这个区间上，函数则在这个区间上，函数F F（x x）叫做函数）叫做函数f(x)f(x)的一个原函数（的一个原函数（primitive functionpr

3、imitive function） 一个函数的原函数并不是唯一的一个函数的原函数并不是唯一的，而是有无穷多个而是有无穷多个比如比如， ( (sinsinx)x) coscosx x 所以所以 sinsinx x 是是 coscosx x 的一个原函数的一个原函数，而而sinsinx x C C （C C 可以取任意多的常数可以取任意多的常数）是是 coscosx x 的无穷多个原函数的无穷多个原函数 一般的，若一般的，若F F(x)x)f(x),F(xf(x),F(x) )是是f(x)f(x)的一个原函数的一个原函数，则等式则等式 F(x)F(x)+ + CC F F(x)x) f(x)f(x

4、)成立成立（其中其中 C C 为任意常数）为任意常数），从而一簇从而一簇曲线方程曲线方程 F(x)F(x) C C 是是f(x)f(x)无穷多个原函数无穷多个原函数问题提出问题提出 如果一个函数一个函数f(x)f(x)在一个区间有一个在一个区间有一个原函数原函数F(x) F(x) ，那么，那么f(x)f(x)就有无穷多个就有无穷多个原函数存在，无穷多个原函数是否都有原函数存在，无穷多个原函数是否都有一致的表达式一致的表达式 F(x)F(x) C C 呢？呢？定理定理1: 1: 若若 F(x)F(x)是是 f(x)f(x)的一个原函数，的一个原函数，则则f(x)f(x)的所有原函数都可以表示成的

5、所有原函数都可以表示成 F(x)F(x) C C （C C为任意常数）为任意常数）YESYESx x 称为积分变量称为积分变量f(x)f(x)称为被积函数称为被积函数，f(x)f(x)d dx x 称为被积表达式称为被积表达式其中其中 称为积分号称为积分号, ,C C 称为积分常数称为积分常数定义定义2 2：若：若 F(x)F(x)是是 f(x)f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)f(x)的所有原函数的所有原函数 F(x)F(x) C C 称为称为f(x)f(x)的的不定积分（不定积分（indefinite integralindefinite integral）, ,记为记为 f

6、 f（x x）dx dx F F（x x） C C 例1 求函数 f(x) x 的不定积分例2 求函数 f(x) /x 的不定积分解：(x3)x，所以xdx=x3+C解：(ln|x|)=1/x，所以1/xdx=ln|x|+C 由于函数f(x)的不定积分F(x)C 中含有任意常数C ，因此对于每一个给定的C ，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线 因为C 可以取任意值，因此不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，即 F(x) C 二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义yxo0 x例3 求经过点（,），且其切线的斜率为x 的曲线方程解：y=2xdx=x

7、2+C 代入x=1,y=3 得C=2 于是，曲线方程为y=x2+2.3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则一、不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式xkd) 1 ( k 为常数)Cxk Cx111xxd)3(Cx lnxx d)2() 1(xxdcos)5(Cx sinxxdsin)4(Cxcosxaxd) 6 (Caaxlnxexd)7(Cexxx2cosdxxdsec )9(2Cx tanxx2sindxxdcsc )8(2Cxcot21d)10(xxCxarctan21d)11(xxCxarcsinx

8、xxdtansec)12(xxxdcotcsc)13(cxseccxcsc.d3xxx解解: 原式 =xxd34Cx313134134xC例例 求xxxdcossin22解解: : 原式=xxdsin21Cx cos21关于不定积分，还有如下等式成立： f(x)dx f(x) 或 df(x)dx f(x)dx F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C二、不定积分的运算法则 不为零的常数因子，可移动到积分号前不为零的常数因子，可移动到积分号前 af(x)dx af(x)dx af(x)dxaf(x)dx（aa） 两个函数的代数和的积分等于函数积分的两个函数的代数和的积分等于函数积

9、分的 代数和代数和 f(x)f(x)g(x)g(x)dxdxf(x)dxf(x)dxg(x)dxg(x)dx例4 求dxexxx)12(sin2dxedxxxdxx212sin解：原式=Cexxxarctan2cos例5 求dxxx241dxxdxxxx2222111) 1)(1(解：原式dxxdxx2211) 1(Cxxxarctan33dxxx24111例6 求dxx2cos2dxx2cos1解：原式=Cxxsin2121dxxdx2cos21例7 求xdx2tandxx) 1(sec2解：原式=Cxx tandxxdx2sec 本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法则。3.

10、1节 课堂思考? ? )()()()( 除法呢对吗乘法dxxgdxxfdxxgxfxg(x)f(x),例如不对. 不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法: 换元积分法与分部积分法. 不定积分的计算3.2.1 换元积分法3.2.4* 积分表的使用3.2.3* 有理函数积分简介3.2.2 分部积分法3.2.1 换元积分法一、第一类换元积分法（凑微分法）有一些不定积分有一些不定积分，将积分变量进行一定将积分变量进行一定的变换后的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变积分表达式由于引进中间变量而变为新的

11、形式为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来量可直接由基本积分公式求出不定积分来.例如)4(41)4(41444xdexdedxexxx想到基本积分公式Cedueuu若令ux，把x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来)4(4144xdedxexxCeCeduexuu4414141又如)2()2cos()2cos(2xdxdxxCuudusincosCx )2sin(u=2x( )( ),f uF u设有原函数( ),ux 可导则有换元公式( )( )dfxxx( )d( )fxx( )ux ( )F uC

12、( )df uu( )FxC( )xu例8 求 dxx12)12(1221xdx解：原式=Cx23) 12(3221Cx23) 12(31推广：)0( )( adxbaxm求)()(1)( 1 baxdbaxadxbaxmmm时当解：Cbaxabaxbaxdabaxdxm|ln1)(1 1 时当Cmabaxm) 1()(1例9 求xdxtandxxxcossin解：原式=Cxxdx|sin|lncot类似可得Cxxxd|cos|lncos)(cos例10 求)0( 22axadxdxxaxaa)11(21解：原式=Cxaxaa|ln21xadxaxadxa2121例11 求xdxcscdxxs

13、in1解：原式=Cxx|cos1cos1|ln21dxxx2sinsinxxd2cos1cos1coscos2xxdCxxCxx|cotcsc|ln|sincos1|ln类似可得 dxxxdxcos1secCxx| )2cot()2csc(|ln)2sin()2(xxdCxx|tansec|ln二二、第二类换元积分法第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式形式，但是但是，有时不易找出凑微分式有时不易找出凑微分式，却可以设却可以设法作一个代换法作一个代换 x

14、 x(t)t)，而，而积分积分 f(x)f(x)d dx xf f(t)t)(t)t)d dt t可用基本积分公式求解可用基本积分公式求解定理2设f(x)连续，x(t)是单调可导的函数，且其导数(t)，并且 f(t)(t)dtH(t) C则 f(x)dx f(t)(t)dt H(t) C H-1(x) C.)0( d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22. )

15、0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C22d(0).xxaxa解解: 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa被积函数含有22xa时, 22ax或可采用三角代换消去根式 例1

16、5 求2)1(dxxx解：设2xt，则tdtdxtx2 22从而 原式1d2)1(d222ttttttCtt11lnCxx1212ln小结：小结： 当被积函数含有当被积函数含有 时时，只需做代只需做代换换 ，就可将根号去掉就可将根号去掉不定积分就不定积分就变成容易的积分了。变成容易的积分了。nbaxntbax 上述第二类换元积分均是利用变换去掉被上述第二类换元积分均是利用变换去掉被积函数中的根式积函数中的根式，把积分转化成容易积把积分转化成容易积分分3.2.2 3.2.2 分部积分法分部积分法（integration by parts） 如果如果u uu(x)u(x)与与v vv(x)v(x)

17、都有连续的导数，则由函都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式数乘积的微分公式 d(uv)d(uv)vduvduudv udv 移项得移项得 udvudvd(uv)d(uv)vduvdu从而从而 udvudvuvuvvdu vdu 或或udvudvuvuvvudxvudx这个公式叫作分部积分公式，当积分这个公式叫作分部积分公式，当积分udv udv 不不易计算，而积分易计算，而积分vdu vdu 比较容易计算时，就可以使比较容易计算时，就可以使用这个公式用这个公式.dcosxxx解解: 令,xu xdxdvcos则,dxdu xvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin在计算方法熟

18、练后，分部积分法的替换过程可以省略例例17 17 求不定积分求不定积分xexxd2解：原式解：原式xdex222xdeexxxCexeexxxx222)(22dxexeexxxxdxexexxx22.dsinxxex解解: 原式xxexexxdcoscosxdxexexexxxsinsincos移项整理可得)cos(xdexCxxex)cos(sin21xxexdsin.darctanxxx解：原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21)2(darctan2xxxxdln解解:原式 =xxdxxlnlnCxxxlndxxxxx1ln思考：如何求思考：如何求xxxndln.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tett