第十二章 模态逻辑教学课件

1、逻辑学基础教程逻辑学基础教程 南开大学出版社南开大学出版社第十二章 模态逻辑第一节第一节 模态逻辑概述模态逻辑概述 模态 自然语言中的一些语词表达了不同的情态、势态。这些情态和势态在逻辑学中被通称为模态。“必然”和“可能”所表达的模态叫作逻辑模态，“应当”、“允许”所表达的模态叫作义务模态，“知道”、“相信”所表达的模态叫作认识模态，“曾经”、“将会”、“过去一直”、 “将一直会”等所表达的模态叫作时态。义务模态、认识模态和时态等通常被称为广义模态。 模态词 自然语言中表达势态的语词“必然”和“可能”被称为狭义模态词。 除了“必然”和“可能”之外，自然语言中的其他模态词，如“应当”、“允许”、

2、“知道”、“相信”、“始终”、“有时”等。这些词通常被称为“广义模态词。 模态命题 包含有模态词的命题被称为模态命题。包含有广义模态词的命题被称为广义模态命题。 模态逻辑 研究狭义模态的逻辑理论通常被称为模态逻辑，而研究广义模态的逻辑理论则被称为为广义模态逻辑。 模态模态逻辑与数理逻辑的重要区别 在数理逻辑中，一个命题形式的真值由其中所包含的原子命题的真值惟一地确定。为此，数理逻辑也被称为真值函数（或真值函项）理论。然而在模态逻辑中却并非如此。一般地说，包含有模态词的命题形式，其真值不一定能由其中所包含的原子命题的真值确定。例如，p真值不能由p的真值确定。 模态命题的真值不是简单地由其中所包含

3、的原子命题的真值所确定的。这使得模态逻辑在语义学方面较数理逻辑更为复杂。 模态逻辑是广义模态逻辑的基础。 广义模态逻辑是在模态逻辑的基础之上逐步发展起来的。在缺乏必要的基础的情况下学习广义模态逻辑是十分困难的。模态逻辑，较之广义模态逻辑，更加成熟，并且广义模态逻辑是对模态逻辑的变化和扩展。所以，学习模态逻辑可以为进一步学习广义模态逻辑提供必备的理论基础。 现代模态逻辑理论以逻辑演算为工具研究模态命题的推演，迄今，已有了非常丰富的理论。学习模态逻辑对于了解现代逻辑大有裨益。第二节第二节 模态系统的语法模态系统的语法 一、模态命题逻辑语言一、模态命题逻辑语言LPM（一）LPM的符号 1. 初始符号

4、 (1) p, q, r, s, p1, q1, r1 s1； (2) , ； (3) ； (4) ( , ) 2. 被定义的符号 LPM中还有一些通过定义引入的符号：, ,。这些符号的具体定义如下： 定义： ()df ( ) 定义： ()df ( ) 定义： df ()() 定义： df （二）LPM公式LPM的公式亦称合式公式，由形成规则来定义。LPM公式形成规则： 甲：任意命题变元是公式； 乙：若、是公式，则和（）也是公式 丙：若是公式，则也是公式 丁：是LPM公式，当且仅当是有限次使用LPM公式形成规则得 到的符号串。 根据形成规则，可以判断任一长度有限的符号串是否LPM的合式公式。

5、二、系统二、系统K 1、公理：、公理： A1: A2: A3: A4: ()()A5: （）（） 2、初始规则：、初始规则：MP（分离规则）：由和可推演出。N（必然化规则）：由可推演出。 A1、A2、A3、A4是古典命题逻辑系统PC的公理，MP是系统PC的初始规则。系统K是在系统PC的基础上加上A5和规则N构成的。所以系统K是对系统PC的扩张。 3、系统K中的定理 K中的证明 证明是一个公式序列，公式序列中的任一公式是K的公理，或者是经由前边个公式使用分离规则得出的公式。 K中的定理 对任一公式，若在K中存在关于的证明，中称是K中的定理。 4、系统、系统K的导出规则的导出规则 导出规则也是变形

6、规则。所不同的是，导出规则必须经过证明之后才能使用。仅仅使用初始规则，往往使推演和证明过于复杂、冗长。为了简化推演或证明的过程，可以使用导出规则。 系统K的导出规则有很多。较为常用的导出规则有RK、RE和RK等。 三对系统三对系统K的若干扩张的若干扩张 在一个形式系统S中加进新的公理，可以推出S中无法证明的定理，从而形成一个新的系统S。S是S的真扩张，而S是S的真子系统。这时称是S的特征公理。如系统K是系统PC的扩张，公式Ax.5是K的特征公理。下面介绍几个系统K的扩张。 （一）系统（一）系统D与系统与系统T 1、系统、系统D 在系统K中加上公理A6，就形成了系统D。A6： D的定理： ThD

7、1： （） ThD2：（）（） 导出规则： RP：由可推出。 2、系统、系统T 在系统K上增加特征公理A7，就形成了系统T。A7： 系统T的若干定理：ThT1: ThT2: （）（）ThT3: （二）系统（二）系统S4和和S5 模态系统S4和S5都是对T的扩张。它们的特征公理分别是，A8：A9： S4是在系统T的基础上加进公式A8得到的。 S5是在系统T的基础上加进公式A9得到的。 若干S4定理： ThS41: ThS42: ThS43: ThS44: 若干S5定理： ThS51： ThS52： ThS53： ThS54： 正规系统 包含公式 （）（）和规则N的系统被称为正规系统。系统K、D、

8、T、S4、S5都是正规系统，其中K是最小的正规系统。 第三节第三节 模态系统的语义模态系统的语义 逻辑语义学首先对语言符号做出解释，然后根据这种解释考察命题形式的真值和命题之间的真假关系。有效性概念是逻辑语义学的核心概念，我们根据有效性的概念确定什么样的公式是有效公式，什么样的推理是有效推理。 关于模态系统有不同的语义理论，如代数语义学和可能世界语义学。与代数语义学相比，可能世界语义学更加直观一点，而且它被广泛地应用于广义模态逻辑中，所以这里我们只介绍可能世界语义学。 一、可能世界与可达关系一、可能世界与可达关系 （一）可能世界（一）可能世界 可能世界语义学不是孤立地考虑一个模态命题的真假，它

9、将模态命题与可能世界联系起来，考察某个模态命题在某个可能世界中的真假值。例如，我们不说命题是真的，或假的，而说在可能世界w中是真的，或假的。为此，“可能世界”是可能世界语义学的基本概念之一。 在模态逻辑中，现实世界没有特殊的地位，它只是众多可能世界中的一个。 我们通常用w，w1，w2，w3 表示不同的可能世界，用W, W, W1 表示可能世界的集合。 （二）可达关系（二）可达关系 为了讨论某个模态命题，如，等，在某个可能世界w中的真值，为们需要考虑在w的可能世界w中的真值。所谓w的可能世界，即与w有某种关系的世界。这种关系可以称为可达关系，或可及关系，记作R。由w的w有可达关系可记作 Rww。

10、 可能世界语义学抽象掉可达关系的具体内容来考察可达关系的性质，如可达关系的自返性、对称性、传递性等。可达关系的性质对模态命题在可能世界中的真值是有影响的。为此，考察具有不同性质的可达关系对模态命题的真值及有效性的影响是可能世界语义学的重要内容。 可能世界语义学的基本思想 在加进了可达关系的概念之后，可以这样描述模态命题在可能世界w中的真值：在w中是真的，当在所有与w有可达关系的可能世界中都是真的；在w中是真的，当至少存在一个与w有可达关系的可能世界w，使得在w 中是真的。 二、模态公式的语义分析二、模态公式的语义分析 1. 解释： V（，w）1，当且仅当，对于任一w，若Rww，则V（，w）1。

11、 V（，w）0，当且仅当，存在一个w，Rww且V（，w）0。 2. 解释： V（，w）1，当且仅当，存在一个w，Rww且V（，w）1。 V（，w）0，当且仅当，对于任一w，若Rww，则V（，w）0。 3. 解释： V（，w）1，当且仅当，对任一w，w，若Rww, Rww，则V（，w）1 4.p解释： V（p，w）1，当且仅当，对任一w，Rww, 存在w， Rww，且V（p，w）1 三、框架与模型三、框架与模型 定义定义1（框架）：有序对W, R是一个框架，当且仅当，W是任一非空集合，R是W上的任一二元关系。 定义中的W是可能世界的集合。在形式语义学中，可能世界已经成为抽象的元素，它与我们平常所

12、理解的世界没有直接的关系。R是可能世界之间的可达关系。用集合论的语言表达，R是卡氏积WW的子集，即RWW。定义定义2（PM-赋值）：设W, R是一个框架，V是W, R上对LPM-公式的一个PM-赋值，当且仅当，V是由LPM-公式集合与W的卡氏积到集合0, 1上的映射，并且满足以下条件：对于任意的LPM-公式、，任意wW， 若是命题变元，则V（，w）1 或V（，w）0。 V（，w）V（，w） V（，w）1 V（，w）=10 否则1 V（，w）0 或V（，w）10 否则 1 任意wW，若Rww，则V（，w）1 0 否则定义定义3（模型）：设W, R, V是任一有序三元组，W, R, V是一个LPM

13、 -模型，当且仅当，W, R是一个框架，V是W, R上的一个PM-赋值。 一个LPM-模型，简称模型，就是对LPM的一个解释。框架虽然是构成模型所必需的，但框架并不依赖于语言。没有LPM，我们也可以构造出许多不同的框架。 四、不同的有效性四、不同的有效性为了考察LPM-公式的有效性，首先应该定义LPM-公式的真假。定义定义1（可满足）：设W, R, V是任意模型，是任意LPM-公式，w是W中的任意元素，(1) 若V（，w）1，则称在w上是真的，记作W, R, Vw 若V（，w）0，则称在w上是假的，记作W, R, Vw(2) 若存在wW，使得W, R, Vw，则称在W, R, V上可满足。 定

14、义定义2（模型有效）：设W, R, V是任意模型（记作M）,是任意LPM-公式，w是W中的元素，称在模型M上有效，记作M，当且仅当，对任一wW，都有Mw。 定义定义3（框架有效）：设W, R是任意框架（记作F）,是任意LPM-公式，称在框架F上有效，记作F，当且仅当，对于F上的任一赋值V，都有F, V。 定义定义4（框架类有效）：设F是任意框架类，是任意LPM-公式，称在F上有效，记作F，当且仅当，对于任一FF，都有F。 定义定义5（模型类有效）：设M 是任意模型类，是任意LPM-公式，称在M上有效，记作M，当且仅当，对于任一MM，都有M。 以上定义了四种不同的有效性，这四种有效性中与模态逻辑

15、系统的有效性关系最直接的是框架类有效。 五、模态系统的解释五、模态系统的解释 （一）模态系统（一）模态系统S的不同解释的不同解释 与模态公式四种不同的有效性相对应，模态系统S的解释也有四种，它们分别是，S-模型、S-框架、S-框架类和S-模型类。 S-模型：一个模型W, R, V是模态系统S的模型（S-模型），记为MS，当且仅当，对于任意LPM-公式，如果S,那么W, R, V 。 S-框架：一个框架F是系统S-框架，记为FS，当且仅当，对于F上的任意模型M，有M 。 S-框架类：一个框架类F是S-框架类，记为FS，当且仅当，对于任意FS，有 FSFS。 S-模型类：一个模型类M 是S-模型类

16、，记为MS，当且仅当，对于任意MS，有MSMS。 （二）（二）-解释解释 前边所说的解释是相对于模态系统给出的。我们还可以用其他的方式给出解释，例如，根据可达关系R所具有的性质给出解释。 设W, R是任意框架，框架中的R具有性质，则称此框架为-框架，记作F。 设F是任一-框架，则称F与任一赋值V所构成的模型F, V为-模型，记作M。 所有的-框架构成的框架类称为-框架类，记作F 所有的-模型构成的模型类称为-模型类，记作M 在S-解释-解释之间存在着一定的联系，特别地，在某些S-模态系统的框架类和某些-框架类之间存在着对应关系。可以证明： 任何框架都是K-框架，任何框架类都是K-框架类。 如果一个框架F的R具有持续性（记为Fe），那么Fe是D框架，由这样的框架构成的框架类Fe都是D-框架类，并且FeFD 如果一个框架F的R具有自返性（记为Fre），那么Fre是T