自主招生第1讲-集合

1、精品文档第1讲集合“交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式：若ABB，则BA；若ABB，则AB；ABBA;(AB)CA(BC)ABBA;(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC);；I(A B) I A IB;I(AB) I AIB.容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这

2、些子集的并集是原集合，“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。通常以 | X |表示有限集合 X 中元素的个数，参照Venn 图可以得到如下计数公式:|AB| |A|B|AB|CABAB|A B C| |A| |B| |C|A B| |B C| |C A| AB C |例题精讲例 1.已知数集 A a2, (a 1) 2 , a23a3 ， B ab , 1, ab 5 。若 AB ，求实数 a, b 的值。分析两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合 A 中三个元素有且仅有一个为1。椐此可求出a ，进而求出 b 。解由AB，得1

3、A。- 1 -欢迎下载精品文档a21a1 ;( a1) 21a0 或 a2 ;a23a31a1 或 a2 .由集合 A 中三个元素有且仅有一个为1，得 a0 , A1, 2 , 3 ， B1, b , 5b 。由 AB ，得 b2 或 b3。因此，所求实数为a0 , b2 或 a0 , b3 。例 2.集合M u | u12m8n4l ,m, n , lZ N u | u20 p16q12r ,p , q , rZ 的关系是（）AMNBMNNMCMNDMN分析 1通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。解 112m8n4l4(3m2nl ) ，而 3m2nl 可取任意整数，得集合M

4、 表示 4 的倍数 的 集 合 ， 即 M u | u4k , kZ ， 20 p16q12r4(5 p4q3r ) ， 设pqk , r0 ，得 N u | u4k , kZ 。所以， MN ，应选 A 。分析2本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若aAaB ，则 AB ”；证明集合相等关系的一般方法是“若解 2.若 uMu12m8n4l 。设 mr , n2q , lAB ,则AB”。B A ,5 p ，则u20 p16q12rNMN。若uNu20 p16q12r。设pq2nl , rm ，则 u12m8n4lMNM 。MN由MN。所以应选 A。

5、NM例 3.不大于 1000 的自然数中，既不是3 的倍数，也不是5 的倍数共有多少个？分析若不大于1000 的自然数集合为全集I ，其中 3 的倍数的集合为A ， 5 的倍数的集合为 B 。则要求的是| I(AB)|。解 设不大于1000 的自然数集合为全集I ，其中 3 的倍数的集合为A ， 5 的倍数的集合为B ，则| A| 1000 333, | B | 1000 200 , | A B |1000 66 。3515。- 2 -欢迎下载精品文档因此，|AB|A|B|AB|33320066467。所以，不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有| I (AB)|1000

6、| AB |533（个）。例 4.设 a, bR ， A( x , y) | xn , yanbnZ ，B( x , y) | xm, y3m215mZ ， C( x , y) | x2y2144 ，是平面 XOY 内的点集，讨论是否存在a, b 使得（1）AB；（ 2） (a , b)C 同时成立。（ 1986 年全国高考题）分析首先应对题中的集合语言进行解读。AB，意为由集合 A, B 分别表示的两个方程组成的方程组有整数解；(a , b) C，则给出了 a , b 的允许值范围。解集 合A, B可分别化简为A( x , y) | y ax b x Z ，B( x , y) | y 3x2

7、15 xZ 。yaxb3x2ax15 b0 ，y3x215a212(15b)144b218012b(b 6)2仅当 b6 且 a63 (a2b2144)时，0 ，方程组有解。此时，原方程组的解为x3 ,y24 .由于，原方程组的解不是整数解，所以满足条件的实数a , b 不存在。例 5.一次会议有2005 位数学家参加，每人至少有1337 位合作者，求证：可以找到4 位数学家，他们中每两人都合作过。分析按题意，可以构造一种选法，找出符合条件的四位数学家。解由题意， 可任选两位合作过的数学家a, b ，设与 a 合作过的数学家的集合为A ，与 b 合作过的数学家的集合为B。则 | A| 1337

8、，| B | 1337 。又 | AB |2005。于是，|AB|A|B|AB|133713372005669。- 3 -欢迎下载精品文档因此，在集合 AB 中，有数学家且不是a, b 。从中选出数学家 c ，并设与 c 合作过的数学家的集合为C。则 |(AB)C |2005， | C | 1337 。于是，|A B C| |A B| |C| |(A B) C|669133720051因此，在集合ABC 中，有数学家且不是a , b , c 。又可从中选出数学家 d 。则数学家a , b , c , d ，他们中每两人都合作过。即原命题得证。子集例 6.求满足 a,bP a, b,c, d,

9、e 的集合 P 的个数。分析本题要求的是集合 a,b, c, d, e 中，必定含有元素 a,b 的子集的个数，只要求出集合 c, d, e的子集数。解由集合 c, d, e 的子集数为 238，得所求集合 P 的个数为 8。例 7.已知集合 A2,3,4,5,6,7 ，对 XA，定义 S( X ) 为 X 中所有元素之和。 求全体 S( X ) 的总和 S。分析要求出全体 S( X ) 的总和 S ，只要求出每个元素出现的次数。解由集合元素的互异性，得集合A 中某个元素在总合S 中出现的次数，就是集合A 中含有该元素的子集数。所以，全体 S( X ) 的总和 S(234567)258640。

10、例 8. 在某次竞选中，各个政党共作出p 种不同的诺言 ( p0 ) ，任何两个政党都至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。试证明，政党的数目不多于2p1个。（1972 年加拿大数学竞赛）分析 这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题意，将“诺言”作为元素，运用集合进行分析和研究。证明将 p 种不同的诺言构成集合A ，则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合A 的子集。因而政党数应不大于集合A 的子集数。又任何两个政党都至少有一种公共诺言，所以任何两个政党所对应的子集不可能是一对互补的子集。故政党数2 p2 p 1。2例 9. 证明：任意一个有限集的全部子

11、集可以这样排列顺序，使得任何两个相邻的子集仅相差一个元素。分析 本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列方法，满足题设的要求。为此，可从特殊情况入手进行探索。- 4 -欢迎下载精品文档若有限集元素的个数 n1 时，子集数为2，可排列为, a ；1当 n2时，子集数为22，可排列为 , a, a, a2, a ；112当 n3时，子集数为23，可排列为, a1, a1 ,a2, a2, a2 , a3, a1, a2 , a3, a1, a3, a3;每增加1 个元素，子集数增加1 倍。将原来已排列好的所有子集分别增加一个新元素，得到又一列排列好的子集。再将排列好的子

12、集倒序后，接排在原来已排好的子集列后面，得到符合条件的新的子集列。证明设有限集的元素个数为 n。当n1时，子集数为，全部子集可排列为:, a ；21当 n2时，子集数为22，全部子集可排列为: , a , a, a, a ；1122当 n3时，子集数为23，全部子集可排列为:, a1, a1 ,a2, a2, a2 , a3, a1, a2 , a3, a1, a3, a3;若 nk 时，子集数为2k，全部子集可排列为:A1, A2 , , A2 k ,且任何两个相邻的子集仅相差一个元素。当 nk 1 即增加一个元素ak1 时，按下面的方法可得由k1个元素组成的有限集的全部子集的一个排列，A1

13、, A2 , , A2k , ak 1A2k , ak 1A2k 1, ak 1A1 。因为 A1, A2, A2k 共 2k 个 子 集 中 任 何 两 个 相 邻 的 子 集 仅 相 差 一 个 元 素 ， 所 以 ，ak 1A2 k , ak 1A2 k1 , ak 1A1 共2k个子集中任何两个相邻的子集也仅相差一个元素。又A2 k 与 ak1A2 k 也相差一个元素，因此，上述由k1个元素组成的有限集的全部子集的一个排列是符合条件的排列。由此，我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法，即原命题得证。例 10. 对 1,2, n 及其每一个非空子集， 定义一个唯一确定的

14、“交替和” ：对每一个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替的减或加后继的数（例如，1, 2, 4, 6, 9 的“交替和”是96 4 21 6 ; 5 的“交替和”是 5）。对 n7 ，求所有这些“交替和”的总和。分析求所有这些“交替和”的总和的关键，在于每一个数字在“交替和”中出现的次数及符号。解对集合 1,2, n 的全部子集分为两类：含元素n的子集共有 2n 1 个，不含元素 n的子集也有。- 5 -欢迎下载精品文档2n 1 个。将含元素 n的子集 n,a , a2, a 与不含元素 n的子集 a ,a2, a 相对应，得这两个子集的1k1k“交替和”恒为 n。所以，所有这

15、些“交替和”的总和为2n 1 n 。当 n7 时，“交替和”的总和为 7 26448 。例 11. 已知集合 S 中有 10 个元素，每个元素都是两位数。求证：一定可以从S 中取出两个无公共元素的子集，使两个子集的元素和相等。分析本题要求的是从集合S 的子集中，找到两个元素和相等的子集。这两个子集即使有公共元素，只要同时除去公共元素就可以满足题意。证明由集合S中每个元素都是两位数，故它们的总和不超过1000。S共有21024个子而集合10集。由抽屉原理，得集合S 的子集中至少有两个子集的和相等。若这两个子集有公共元素，只要同时从这两个子集中同时除去公共元素，得到两个无公共元素的子集，且使两个子

16、集的元素和相等。即命题得证。课后练习：1若 A x | 0x2ax54 是单元素集合，则实数a 的值为（）A23B2C3D不存在这样的实数2某班期末对数学、物理、化学三科的总评成绩进行统计：数学有21 人优秀，物理有 19 人优秀，化学有 20人优秀，数学和物理都优秀的有9 人，物理和化学都优秀的有6 个，数学和化学都优秀的有8 个。若该班有7 人数学、 物理、化学三科中没有一科优秀，试确定该班总人数S 的范围及仅数学一科优秀的人数 x的范围。3.设f ( x) x2bx c ( b , cR )，A x | x f ( x) , xR，B x | xf ( f ( x) ,xR 。若集合A

17、是单元素集，则AB 。4设 aR, A x R | | xa |1,B xR | | x1|a2 。若 A 不是 B 的真子集，则 a的取值范围是()A 1 a 1B a 2 或 a 1C 2 a 1D 2 a 05已知A(,y) |y ax1 ,B(,) |y x2 ，又A B，求实数a的取值范xx y围。6 设 A x | 2 x a , B y | y2x 3, x A ，。- 6 -欢迎下载精品文档C z | zx2 , xA 且CB ，求实数 a 的取值范围。7设M a | ax2y2 , x, yZ ，求证：（ 1）一切奇数属于M ；（ 2）形如4k2 (k Z )的数不属于 M

18、；（ 3）M 中任意两个数的积仍属于 M 。8 设A n |100n600 , nN ，则集合 A中被7 除余2 且不能被 57整除的数的个数为_。（ 1994 年江苏省数学竞赛）9 已 知 对 任 意 实 数 x ， 函 数 f (x) 都 有 定 义 ， 且 f 2 ( x) 2x2 f ( x)，如果集合2A a | f (a) a2 不是空集，试证明A 是无限集。（ 1994年江苏省数学竞赛）x2ax541 集合 A 表示不等式组的解集。 当两个不等式的解集有共同的边界点，或者两个x2ax50不等式的解集中，有一个是单元素集时，不等式组解集有可能为单元素集。由此，不等式x2ax54可化

19、简为 x2ax10，当 a2 时 ，此不等式的解集为单元素集。故应选 B。2. 设A 该班数学成绩优秀的学生B 该班物理成绩优秀的学生 C 该班化学成绩优秀的学生 则| A |21,| B |19 ,| C |20 ,| AB |9 ,| B C | 6 , | C A | 8 , | A B C | k .|A B C| |A| |B| |C| |A B| |B C| |C A| ABC |211920968 k37k .由 ABC 是 AB , BC , CA 的子集，得kmin 9 , 6 , 8 0k6。因此， 3707S376744S50。- 7 -欢迎下载精品文档x | A I B

20、 I C | | A I (B C) | ABC | BC |A B C| (|B| |C| |B C|)37k(19206)k4因此， 4x10。所以，该班总人数S 的范围是44S50 ；仅数学一科优秀的人数x 的范围是4x10 。3. 若集合 A 是单元素集，设A 即 f (x)x(x)2，则f ( x)( x) 2x，f ( f ( x)x( x) 2x2( x) 2xx( x)2( x1)21(x1)210f ( f ( x)x0x.BA .4 A x R | | x a | 1 a 1, a 1 ，B x R | | x 1 | a2 1 a2 , 1 a2 .若 A是 B 的真子集，则a 1 1 a2,a 1 1 a2,或a 1 1 a2.a 1 1 a2.解得 a2 或 a1。所以，若 A 不是 B的真子集，则2a 1。故应选 C 。5. 由题意，方程组yax 1yx2无解。由方程组yax1x2ax10，得yx2a2402a2.。- 8 -欢迎下载精品文档所以实数 a 的取值范围是2a2。6. B y | y 2x 3, x A 1, 2a3 ， a2 , 4 ,2 a0 ,C z | z x2 , x A0, 4,0 a 2,0 , a2 ,a2.当2a 0时， 2a 3 4a1 .1a0 ;2