高二椭圆中面积问题

1、高二(9)班培优：椭圆中面积问题2019-11-4221.(2013新课标2)平面直角坐标系xOy中，过椭圆Ma卜(a>b>0)右焦点的直线x+y-6=0交M于A,B两点，P为AB的中Jj点，且OP勺斜率为2.(I)求M的方程(II)QD为M上的两点，若四边形ACBD勺对角线CDLAR求四边形ACBDT积的最大值.Fy22. (2014年新课标1)已知点A(0,-2),椭圆E:a#=1(a>V3273b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(I)求E的方程;(n)设过点A的直线1与E相交于P,Q两点，当 OPQ勺面积最大时，求1的方程./y

2、23. (2013年浙江)如图，点P(0,-1)是椭圆C:1+b=1(a>b>0)的一个顶点，C的长轴是圆C：x2+y2=4的直径，1i,12是过点P且互相垂直的两条直线，其中1i交圆G于A、B两点，12交椭圆C于另一点D.(1)求椭圆。的方程;(2)求AABD®积的最大值时直线11的方程.4. (2016年新课标1)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交A叶点E.(I)证明|EA+|EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C,直线l交C于MN两点，过B且与l垂直的直线

3、与圆A交于P,Q两点，求四边形MPN面积的取值范围.5. (2018年江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点血F2他,0),圆。的直("S'2),焦点Fi(-石，0),径为FlF2.(1)求椭圆C及圆。的方程；(2)设直线l与圆。相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB勺面积为，求直线l的方程.6. 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(I )若西江6而，求k的值;(II)求四边形AEBF®

4、;积的最大值.7. (2016年新课标2)已知椭圆E:y+ ：一=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上,MALNA(I)当t=4,|AM=|AN时，求AMN勺面积;(H)当21AM=|AN时，求k的取值范围.8.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(I)若而=6而，求k的值；(II)求四边形AEBF®积的最大值.答案1.解：(I)把右焦点(c,0)代入直线x+y-夷=0得c+0-爪=0,解得c=.设A(xi,yi),B(X2,y2)

5、,线段AB的中点P(X0,y。,22x2丫2下+下二abx-=o町-冷2kd 2ya戈+消X 5二。第口2b2.联立得"电b 士a2 =6-1. M的方程为 一 ,(H) CDL AB 二可设直线CD勺方程为y = x+t,联立I 6,消去 y 得至U 3x2+4tx+2t26 = 0,直线CDW椭圆有两个不同的交点,.=16t212 (2t26) =72 8t2>0,解3<t<3,由C, D在椭圆上，可得-V5<t<6.|CD设 C(X3,2V2FV38-2 t2'/v五二0* 22联立63 一，得到3x2-4丘X=0,解得. . | AB =

6、交点为A （0,近）,W6=3。_ICDI一S四边形ACBD上1 D 岷 2 2/2 is-2t2-X -x当且仅当t=0时，四边形ACB面积的最大值为满足（*）.四边形ACB画积的最大值为小2.解：（I）设F（c,0）,由条件知!善,得吟佰若考，所以a=2,b?=a2c?=1,故E的方程号-+铲二.（5分）(II)依题意当l±x轴不合题意，故设直线l：y=kx-2,设P(xi,yi),Q(左,y2)将y=kx-2代入亍+/=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0,当4=16 (4k23) >0,即 时,_8k±15 广H4p-从而 iPQlWk'+l

7、I 工士 I-NkJj, 山 k?-31 +业2又由O到直线PQ的距离dh=,所以OPQ勺面积S加口芸dlPQlVkl"fQ2设44谓-3=t，则t>0,*AjOPQ1,t+4t+当且仅当t=2,k=±乎等号成立，且满足>0,所以当OPQ勺面积最大时，l的方程为：y=咚x-2或y=-'Ujx2.（12分）3.解：（1）由题意可得b=1,2a=4,即a=2.椭圆。的方设A（xi,y。，B（X2,y2）,D（",y”.由题意可知：直线li的斜率存在，设为k,则直线li的方程为y=kx-1.又圆J+/=4的圆心O（0,0）到直线11的距离d=-U-.

8、Vk2+1又l2，li,故直线12的方程为x+ky+k=0,联立产kT”，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0,解得孙二一.|PD=HJS.“4fk24+k2三角形ABD勺面积S=5lABl|pdI=色囱至,24+d令4+k2=t>4,贝Uk2=t4,.Sa=!叵，当且仅考，即/J,当k:土乎时取等号, J.占<i*Lj故所求直线11的方程为尸士平门.4.解：(I)证明：圆x2+y2+2x-15=0即为(x+1)2+y2=16,可得圆心A(-1,0),半径r=4,由BE/AG可彳#/C=/EBD由AC=AD可彳导/D=/C,即为/D=/EBD即有EB=EQ则|EA+|EB=|EA

9、+|ED=|AD=4,故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，且有2a=4,即a=2,c=1,b=则点E的轨迹方程为手隹=i (y*0)；(n)椭圆C：=i,设直线 l : x = myM,由 PQLl ,设 PQy= - m(xT),可得(3n2+4) y2+6my- 9=0,设 M (Xi, yi), N (X2y2),可得 yi+y2=-6m3d2+4yiy2=93nl? +4则imn=VT? I yi - y2| =Tw?r36nl . 36(3d2+4 )2 3m2 +436(4 m。/3m2+4= i2?l+ip23d2+4A到PQW距离为d=I-m(-l-l)|Vl+m212m|PQ

10、= 21641+ mW3id2+4Vl+lD21 c Mm% 一? ? 12?1-Fni23m2f4则四边形MPN面积为S=W|PQ?|MIN=J当m0时，S取得最小值12,又三>0,可得S<24?呼=形，即有四边形MPN面积的取彳1范围是12,8/3）.225.解：（1）由题意可设椭圆方程为白+堂1，Q>b>0）,/b:焦点Fi（正，0）,F2（内，0）,c=Vs.37=1，又a2b2=c2=3,a24b2解得a=2,b=1.椭圆C的方程为：5+小1,圆O的方程为：x2+y2=3.（2）可知直线l与圆O相切，也与椭圆C,且切点在第一象限，因此k一定小于0,可设直线l的

11、方程为y=kx+mi,（k<0,m>0）.由圆心（0,0）到直线l的距离等于圆半径6,可得2上下心即足部时2.1+1：由"做+m,可得(4/+1)x2+8km)+4ni-4=0,=(8km2-4(4k+1)(4m-4)=0,可得m=4k2+1,3k2+3=4k2+1,结合k<0,m>0,解得k=-Vs，m=3.22将卜=-m=3代入-工4y可得铲t加西十河,Ly=ki+ni解得x=应,y=i,故点P的坐标为(立,1).设A(Xi,yi),B(X2,y2),nL>0由1坨2=3+3J?k<-V2.>0I联立直线与椭圆方程得(4k2+1)x2+8

12、kmxMn2-4=0,O到直线l的距离d =I AB = ' I. I x2- x1lOAB的面积为S=:x对量冥访'*手=24k2+l/l+k£罚"平，解得k=-近，(正值舍去)，nr3/2.y=-小算+皿为所求.6.解：(I)依题设得a=2,b=1,2椭圆的方程为子4V%1,直线AREF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图，设D(xo,kxo),E(xi,kxi),F(X2,kx2),其中xi<x2,且xi,X2满足方程(1+4k2)x2=4,故广向.由ED-6DF,知XoXi=6（X2xo）,得又口二一.77TVlMk2由D在

13、AB上知xo+2kxo = 2,得即二 l+2k 化简得24k2-25k+6=o,解得(n)解法一：根据点到直线的距离公式和式知,点E,F到AB的距离分别为屋l+2j2|二2门：选+停也1在也(3)Kg+lk'z_Zl_2（+Zk-V+4k2）2-m6（1芯）I -、1 L 4(1 + 21:)阿阳电)=万小H酉又i"|-,四边形AEBF的面积为2(1+2k)J1+北2&卜+4k2+4k N l+4k?42谯,当2k=1,即当晨时，上式取等号.S的最大值为|2&.解法二：由题设，|BO=1,|AO=2.设yi=kxi,y2=kx2,由得X2>0,y2=y

14、1>0,故四边形AEBF勺面积为S=Sxbef+Sxaef=X2+2y2=J（工2+2y2）2=+4耳2y2当X2=2y2时，上式取等号.S的最大值为|2«.227,解：（I）方法一、t=4时，椭圆E的方程为4工=1,A（-2,430）,直线AM的方程为y=k（x+2）,代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0,3+4-由AN!AM可得|AN=Ji+（4）2?=卬？12,“卜四钎Mild嘀由|AM=|AN,k>0,可得内？亲=内？合，k整理可得（k-1）（4k?+k+4）=0,由4k?+k+4=0无实根，可得k=1,即有AAMN勺面积为）|

15、AM2二（E?号）2=噜；方法二、由|AM=|AN,可得MN关于x轴对称，由MA_NA可得直线AM勺斜率为1,直线AM勺方程为y=x+2,代入椭圆方程乎。1,可得7x2+16x+4=0,解得X=-2或-,，M（-申，竿），N（谓,一竿）,则4AM响面积为/2）=爵；（U）直线AM勺方程为y=k（x+n）,代入椭圆方程,可得(3+tk2)X2+2tk?x+t2k之3t=0,解得x=-或x=-3+tk2'即有1A怕内？12<G?黑由 21AM = | AN,可得羽7?,整理得t =6k2-弘k3-2由椭圆的焦点在x轴上，贝Ut>3,即有且为>3,即有空斗无义k3-2k3-2<0,可得电<k<2,即k的取值范围是（如，2）.28.解：（I）依题设得椭圆的方程为七十尸二1,直线ABEF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图，设D(xo,kxo),E(xi,kxi),F(X2,kx2),其中x1<x2,且Xi,X2满足方程（1+4k2）由而二6而知 Xo Xi=6（X2 Xo）,得1 ” -510石中如